Date post: | 01-May-2015 |
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Sistemi posizionali, numeri binari, complemento a due
Rappresentazioni numeriche
Conversione dalla base 10 alla base 2
Dato un numero N la sua rappresentazione in base due sarà del tipo ck ck-1ck-2 … c1c0 (dove “ci” è una cifra binaria)
Per convertire un numero in base dieci nel corrispondente in base due si devono trovare i resti delle divisioni successive del numero N per due
Conversione dalla base 10 alla base 2
Esempio: il numero 610:
6/2 = 3 resto 03/2 = 1 resto 11/2 = 0 resto 1
Leggendo i resti dal basso verso l’alto, si ha che la rappresentazione binaria del numero 610 è 1102
Conversione dalla base 10 alla base 2
Esempio: il numero 34510:
345/2 = 172 resto 1172/2 = 86 resto 086/2 = 43 resto 043/2 = 21 resto 121/2 = 10 resto 110/2 = 5 resto 05/2 = 2 resto 12/2 = 1 resto 01/2 = 0 resto 1
Leggendo i resti dal basso verso l’alto (in quanto si ottengono a partire dalla cifra meno significativa, l’unità), si ha che rappresentazione binaria del numero 34510 è 1010110012
Conversione dalla base 2 alla base 10
Sia cm cm-1cm-2 … c1c0 un numero rappresentato in base 2, usiamo:
cm x 2m + cm-1 x 2m-1 + cm-2 x 2m-2 + … + c1 x 21 + c0 x 20 = N
Esempio: 1010110012
1 x 28 + 0 x 27 + 1 x 26 + 0 x 25 + 1 x 24 + 1 x 23 +
0 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 =
256 + 64 + 16 + 8 + 1=
345
Altri basi: ottale, esadecimale
Sistema ottale Utilizza una notazione posizionale basata su
otto cifre (0,1,…,7) e sulle potenze di 8 Esempio: 1038 = 1 x 82 + 0 x 81 + 3 x 80 = 67
Sistema esadecimale Utilizza una notazione posizionale basata su
sedici cifre (0,1,…,9,A,B,C,D,E,F) e sulle potenze di 16
Esempio: 10316 = 1 x 162 + 0 x 161 + 3 x 160 = 259
Esempio: AC416 = 10 x 162 + 12 x 161 + 4 x 160 = 2756
Operazioni su numeri binari
Vediamo solo il caso della addizione nella codifica binaria: Si mettono in colonna i numeri da sommare Si calcola il riporto ogni volta che la somma
parziale supera il valore 1Addizione:
0 + 0 = 0 con riporto 00 + 1 = 1 con riporto 01 + 0 = 1 con riporto 01 + 1 = 0 con riporto 1
Operazioni su numeri binari
Addizione:0 + 0 = 0 con riporto 00 + 1 = 1 con riporto 01 + 0 = 1 con riporto 01 + 1 = 0 con riporto 1
Esempi:
1 + 1 =1 0
1 0 1 + 1 1 = 1 0 0 0
1 0 1 1 0 1 0 1 + 1 0 0 0 1 1 0 =1 1 1 1 1 0 1 1
1 1 1 + 1 1 = 1 0 1 0
Codici a lunghezza fissa
Se si usa un numero prestabilito di cifre si ha un codice a lunghezza fissa
In questo modo si pone anche un limite al numero massimo rappresentabile
Esempio: qual è il numero più grande rappresentabile con 4 cifre? In base 10: 9999 In base 2: 1111 (=1510) In base 16: FFFF (=6553510) In base 8: 7777 (=409510)
Codici a lunghezza fissa
Numeri maggiori di quello massimo rappresentabile causano problemi di overflow Ovvero per essere rappresentati richiedono
più cifre di quelle a disposizioneEsempio: 4 cifre
In base 10: 9999 + 1 = 1000010
In base 2: 1111 + 1 = 100002 (=1610)
In base 16: FFFF + 1 = 1000016 (=6553610)
In base 8: 7777 + 1 = 100008 (=409610)
Codici a lunghezza fissa
In generale, con N cifre a disposizione e base b il più grande numero (intero positivo) rappresentabile si può esprimere come
bN – 1Esempio: N=4
In base 10: 9999 = 104 - 1 In base 2: 1111 = 24 - 1 In base 16: FFFF = 164 - 1 In base 8: 7777 = 84 - 1
Codici a lunghezza fissa
Esempio di overflow nel sistema binario dovuto a operazioni aritmetiche: 5 + 4 = 9 (in sistema decimale) abbiamo usato solo un cifre decimale per il
risulto Ricordiamo: 510 = 1012 , 410 = 1002
Errore: overflow (non può essere codificato
910 = 10012 con tre bit)
1 0 1 + 1 0 0 =1 0 0 1
(in sistema binario)
Rappresentazione dei numeri
In realtà, una semplice codifica binaria come quella discussa fino ad ora non è sufficiente, per due motivi: Numeri negativi Numeri con la virgola
Per questi numeri vengono utilizzate delle rappresentazioni differenti Per esempio “complemento a due” per
rappresentare i numeri negativi
Rappresentazione dei numeri negativi
Si può pensare di usare un bit per il segno “0” identifica “+” “1” identifica “-”
Gli altri bit vengono usati per codificare il valore assoluto (modulo) del numero
Rappresentazione dei numeri negativi
Con 3 bit avremo:
000 +0
001 +1
010 +2
011 +3
100 -0
101 -1
110 -2
111 -3
Problemi: Il numero 0 ha
due rappresentazioni
Per l’operazione di somma si deve tener conto dei segni degli addendi 0 0 1 0 + (+2)
1 0 1 1 = (-3) 1 1 0 1 (-5 ERRATO)
Rappresentazione dei numeri negativi
Complemento a due: Il bit più significativo rappresenta il segno del numero:
0 per i numeri positivi e 1 per i numeri negativi La rappresentazione di un numero positivo si ottiene
codificando il valore assoluto del numero con i bit restanti
La rappresentazione di un numero negativo si ottiene in tre passi: Si rappresenta in complemento a due il numeri positivo con
lo stesso valore assoluto del numero negativo da codificare Si invertono tutti i bit in tale rappresentazione (01,10) Si somma uno al risultato ottenuto al passo precedente
Complemento a due
Esempio (con 4 bit a disposizione): La codifica di +5 è 0101 La codifica del numero –5 avviene in tre
passi: La rappresentazione in complemento a due di +5 è
0101 Invertendo tutti i bit si ottiene 1010 Sommando 1 si ottiene 1011, la rappresentazione in
complemento a due di -5
Complemento a due
Per ottenere un numero con segno data la sua rappresentazione in complemento a due: Se il primo bit è 0 il numero è positivo: per
calcolarne il valore assoluto si esegue la conversione da binario a decimale
Se il primo bit è 1 il numero è negativo: Si ignora il primo bit Si invertono i restanti bit Si converte il numero da binario a decimale Si somma uno al numero ottenuto per ottenere il valore
assoluto del numero negativo
Complemento a due
Esempio: 1011 Si esclude il primo bit Invertendo 011 si ottiene 100 che è codifica
di 4 Va aggiunto 1 per ottenere il valore assoluto
5 Il risultato è quindi -5
Esercizio
Esercizio: Rappresentare -3510 in complemento a 2
001000112 = +35
10
11011100 + 1 =------------11011101
Complemento a uno
Complemento a due
Con 3 bit avremo:
000 +0
001 +1
010 +2
011 +3
100 -4
101 -3
110 -2
111 -1
Esempi di addizione: 0 0 1 0 +
(+2) 1 0 1 1 = (-5) 1 1 0 1
(-3)
0 1 1 1 + (+7) 1 0 1 1 = (-5) 0 0 1 0
(+2)
Nel secondo esempio, l’overflow è ignorato
Codifica dei numeri
Codificare il numero 13210 nella corrispondente rappresentazione binaria
Ordinare in modo crescente i seguente numeri: 10410 , 128 , 1000100002 , 1001110
Codificare il numero negativo –1210 nella rappresentazione in complemento a due
Concludendo …
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