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Teoria a molti-corpi della materia nucleare
Teoria a molti-corpi della materia nucleare
Lezione III
1.Metodo variazionale per sistemi con interazione centrale
2. Metodo variazionale per la materia nucleare
3. Confronto formale con BBG e CCM
4. Risultati per l’ equazione di stato (EoS) della materia neutronica
5. Risultati per la EoS della materia nucleare
IntroduzioneIl metodo variazionale e’ stato introdotto sin dagli inizi dello sviluppodella meccanica quantistica. Esso si basa sul principio di Ritz,secondo cui il valor medio dell’ hamiltoniana (“funzionale dell’ energia”) e’stazionario per variazioni attorno agli autovettori
0 H
per una variazione arbitraria di
In particolare lo stato fondamentale sara’ lo stato di energia minima. Se si restringe la ricerca della stazionarieta’ in un sottospazio ristretto si otterra’un’ approssimazione allo stato fondamentale che ottimizza l’ energia. Un esempio storico e’ il caso dell’ atomo di He. L’ approssimazione di particelleindipendenti darebbe come stato fondamentale il prodotto (antisimmetrizzato)di due orbitali idrogenoidi (identici ma di spin opposto). Un miglioramentosi puo’ ottenere moltiplicando tale funzione d’ onda per una funzione di correlazione che faccia diminuire la probabilta’ che i due elettroni siano vicini,per tenere conto della repulsione coulombiana
))()(()())()(( 212121 rrArrfrrA
ed esprimere la funzione di correlazione in termini di parametri da determinareminimizzando l’ energia.
The variational method in its practical form
The problem of non-central correlations
Channel dependent correlation factors
The pair distribution function
Caso di un sistema di bosoni con interazione centrale
In questo caso la funzione d’ onda dello stato fondamentale imperturbato e’semplicemente una costante e la funzione d’ onda di prova e’ dunque
)( ijijrf somma su ij estesa alle coppie distinte di particelle
Il valor medio dell’ energia cinetica si puo’ esprimere in termini della fattore dicorrelazione e della funzione di distribuzione g(r)f
)(log)(22
1 32
rfrgrdm
T
L’ energia cinetica e’ influenzata dalle correlazioni, come ci si aspetta in basealla variazione dei numeri di occupazione. Tuttavia questo indica una diversita’rispetto allo sviluppo BBG, dove l’ energia cinetica e’ eguale a quella imperturbataa qualunque ordine dello sviluppo.Per quanto riguarda il valor medio del potenziale, il prodotto che rappresenta ilquadrato della funzione d’ onda si puo’ scrivere
]1[)( 22ijijijijhrf
e si possono ordinare i termini dello sviluppo secondo il numero di fattorih (“dynamical correlation factor”) che in essi compaiono
.............1]1[ klijijklijijijijhhhh
E’ conveniente usare una rappresentazione diagrammatica dei diversi termini.Innanzitutto le coordinate che compaiono nell’ interazione devono essere isolate dalle altre e l’ interazione stessa sara’ rappresentata da
ijV
Da tenere presente che l’ interazione e’ simmetrica nelle coordinate e quindie’ sufficiente fare il calcolo per una particolare coppia di particelle (diciamo 1-2)e moltiplicare il risultato per il numero di coppie N(N-1)/2.Si puo’ poi introdurre un simbolo per ciascun fattore di correlazione
ji
ijh
Tutti i termini che si ottengono dallo sviluppo, sia al numeratore che al denominatore del valor medio dell’ interazione, si possono rappresentaremediante diagrammi composti da questi due simboli. Vertici (cerchi pieni)in comune corrispondono a variabili eguali. In ogni caso si puo’ tener contodella simmetria nelle coordinate dell’ interazione totale.
Caso di un sistema di bosoni con interazione centrale isomorfo al “virial expansion” classico.
)2/)(exp()( TrVrF
Termini sconnessi : prodotti di termini indipendenti
453412 hhh
Termini riducibili : quelli con un punto di “articolazione”
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Come integrali sono ancora prodotti di integrali indipendenti
Classificazione dei diagrammi (termini dello sviluppo)
Irriducibili
Semplici
Composti
Nodali
Elementari
Teorema : all’ energia e alla funzione di distribuzione g(r) contribuiscono solo i diagrammi connessi e irriducibili, quelli riducibili o sconnessi si cancellano identicamente.(similarita’ con il teorema “linked-cluster”)
Chain summations
E+ + . . . . . .+
g(r)+ + . . . . . .+
+ + . . . . . .+
Se chiamiamo N questa somma, si ha
N = N _
3213321312 ffNfN
Equazione integrale per N
Integrale sulle variabili ripetute
21
+ +
= +
. . . . . . .
. . . . . . .
Somma dei diagrammi composti
N
N
N
N+
N
N
N
N
N
N+ . . . . . . .N
(1 + h) NxN/2! (1 + h)NxNxN/3!
X
12122
1212 )1)(exp( NNfX Generalizzando la precedente equazione integrale per N
3213321312 XXNXN Si ottengono cosi’ due equazioni integrali (non lineari) accoppiate chepermettono di ottenere si N che X e quindi g(r), che, con analogoragionamento si trova avere l’ espressione
)exp( 122
1212 Nfg Da notare che, essendo le equazioni integrali delle convoluzioni, si puo’ adoperareil metodo della trasformata di Fourier.E i diagrammi elementari ? Presto fatto !
)exp( 12122
1212 ENfg 0,........ 0210 EEEEE
HNC/0 HNC/1 HNC/2 ………….
Equazioni chiuse per N ed X in assenza di diagrammi elementari
Una volta che si e’ espresso o calcolato la funzione di distribuzione g(r)in termini del fattore di correlazione, si deve minimizzare il funzionaledell’ energia. Questo in principio dovrebbe condurre ad equazioni di Eulero-Lagrange per f . A livello HNC/0 si trova
0)())()(()(
)()(2
rGrSrVrGm
rgrG
)(rSdove e’ direttamente collegato al fattore di struttura statico, che a suavolta si esprime in termini della funzione di distribuzione g(r) .
Significato fisico ?
1. Esprime l’ effetto del mezzo sull’ interazione particella – particella e tiene conto principalmente delle correlazioni a lungo range (“schermaggio”)
2. Le equazioni di Eulero Lagrange tengono conto delle correlazioni a corto range In generale i diagrammi elementari esprimono correlazioni a corto range
)(rS
Minimizzazione dell’ energia
A.D. Jackson et al., Phys. Rep. 86 (1982) 55
Caso di Fermioni con interazione centrale
In questo caso la funzione d’ onda dello stato imperturbato e’ un determinnantedi Slater. Il modulo quadro di un determinante di Slater e’ ancora un determinantedi Slater
)()exp(),(
,|),(|det.....),( ,21
jjnjjk
jjk
rikr
rrr
n
n
|),(|det|| 2 ji
)||(
))((exp),(
ijFF
ijnkk
rrks
rrkiji
ji
Fnji
|),(|det|| 22 jifijij
Nel caso di Fermioni si hanno pertanto due tipi di fattori, uno statisticodovuto al principio di Pauli, ed uno di correlazione. Il primo contienela statistica per la sua forma e per il fatto che e’ un prodotto antisimmetrizzato.Si puo’ ancora sviluppare la funzione d’ onda ed ordinare i vari termini in base al numero di fattori sua statistici che “dinamici”. I diagrammi conterranno pertanto due tipi di linee, uno che rappresentera’un fattore ed uno il fattore usuale di correlazione Anche per Fermioni rimangono solo i diagrammi irriducibili.Si possono ancora classificare i diagrammi come nodali, composti, elementarietc. Un ‘ ulteriore classificazione riguarda i tipi di linee che si originanodai punti fissi esterni ( per la funzione di distribuzione g(r) ). Ci sono quattro classi di diagrammi , a seconda del tipo di fattori statistici che compaionosu tali linee.
Fs ijh
d d e d e e c c
“Chain summations” si possono ottenere anche in questo caso per mezzo diequazioni integrali accoppiate, mentre di nuovo i diagrammi elementaridevono essere calcolati a parte ( FHNC ).
PRC 66 (2002) 0543308
Il caso della materia nucleare
I fattori di correlazione devono essere in questo caso degli operatori, con la stessastruttura dell’ interazione NN (spin-spin,tensore, etc….). Questo complica moltola teoria. In particolare non e’ piu’ possibilesommare tutte le serie di “hypernetted chain”in maniera chiusa, ma solo alcune sotto-serie,ad esempio quelle che selezionano soloun particolare operatore, le “single operatorchain” ( SOC ).I diagrammi elementari sono complessiperche’ includono molte combinazionioperatoriali.
Possibili connessioni tra BBG e metodo variazionale
Alternative methodsA link between BBG and variational method
Structure of the wave function in CCM
The energy in the CCM scheme
The CCM scheme from the variational principle
Problem of the hard core
Incorporating the “G-matrix” in the CCM scheme
Summary of the formal comparison
1. The CCM and BBG are essentially equivalent, which indicates that the w.f. is of the type
Se 2SS , if one gets the Brueckner approximation
Once the single particle potential is introduced, the methods are not variational at a given truncation.
2. The main differences in the variational method
a) The correlation factors are local and momentum independent (eventually gradient terms). b) No single particle mean field is introduced, so that the meaning of “clusters” is quite different c) Chain summations include long range correlations Short range 3-body cluster calculated in PRC 66 (2002) 0543308
density (fm-3)
E/A(MeV))
Comparison between BBG (solid line) Phys. Lett. B 473,1(2000)and variational calculations (diamonds) Phys. Rev. C58,1804(1998)
Pure neutron matterTwo-body forces only.
density (fm-3)
E/A
(M
eV)
Including TBF and extending the comparison to “very high”density.CAVEAT : TBF are not exactly the same.
Confronting with “exact” GFMC for v6 and v8
Variational and GMFC : Carlson et al. Phys. Rev. C68, 025802(2003)BBG : M.B. and C. Maieron, Phys. Rev. C69,014301(2004)
Neutron and Nuclear matter EOS.Comparison between BBG and variational method.
HHJ : Astrophys. J. 525, L45 (1999
BBG : PRC 69 , 018801 (2004)AP : PRC 58, 1804 (1998)
The baryonic Equations of State
Summary for the nucleonic EOS1. Similarities and differences between variational and BBG
2. At v6-v8 level excellent agreement between var. and BBG as well as with GFMC (at least up to 0.25 fm-3) for neutron matter.
3. For the full interaction (Av18) good agreement between var. and BBG up to 0.6 fm-3 (symmetric and neutron matter).
4. The many-body treatment of nuclear matter EOS can be considered well understood. Main uncertainity is TBF at high density (above 0.6 fm-3).
Il metodo Dirac-Brueckner
Equazione di Bethe-Salpeter
Three-dimensional reduction an projection on positive energy states
Decomposizione in onde parziali usando stati di elicita’
Esistono sei ampiezze invarianti che soddisfano sei equazioniintegrali accoppiate
Equazione di Dirac nel mezzo nucleare
Contributo “saturante” degli effetti relativistici
Gli spinori di Dirac sono “ruotati”nella materia nucleare. Questointroduce una componenete dianti-nucleone che genera una forzaa tre corpi se espressa negli spinoriimperturbati nel vuoto.
Lezione IV
1. Implicazioni per le stelle di neutroni
2. Cenni sulla fase superfluida
3. Indicazioni sulla EoS da dati osservativi e da collisioni fra ioni pesanti
4. Confronto con EoS fenomenologiche
5. Formulazione relativistica, l’ approssimazione Dirac-Brueckner
6. Transizione alla fase di quark, modelli per la fase deconfinata
