1

5. Processi di diffusione termica in una dimensione.

Ovvero: soluzioni esplicite dell’equazione di diffusione

Sistema monodimensionale: barra/cilindro nel limite di piccola sezione

0 L

x

),(),,(: txjtxTT0L qxquj

Regime lineare: x

txTTtxj txTT

q

),(|)(),( ),(

Equazione di diffusione termica non lineare:

x

txTT

xTc

1

t

txTtxTT

txTTV

),()(

)(

),(),(

),(

2

2

x

txTD

t

txT

),(),(VcD /:

Se costanti: equazione di diffusione lineare Vc,

Nel seguito utilizziamo l’equazione di diffusione lineare!

2

Analisi degli stati stazionari

Barra a contatto con due termostati a differenti temperature L0 TT ,

0x

termostato a 0T

Lx

termostato a LT

barra

Nel tempo la barra raggiunge uno stato stazionario descritto campo delle

temperature indipendente dal tempo con condizioni al contorno: )(xTss

Lss0ss TLTT0T )()(

Stato stazionario come soluzione dell’equazione di diffusione:

2

ss

2

ss

x

TD0

t

T

Condizioni al contorno: xL

TTTxT 0L

0ss

)(

bxaxT0dx

xTdss2

ss

2

)()(

gradiente costante della temperatura

3

L

TT

x

xTj 0Lssq

ss

)(:Flusso costante:

Nota: lo stato stazionario non è uno stato di equilibrio, anche se le proprietà del

sistema (barra) sono indipendenti dal tempo. Lo stato termodinamico dei

termostati cambia nel tempo e la barra è sottoposto ad un flusso di calore.

Determinazione del coefficiente di conduttività termica dalla misura della quantità

di calore assorbita/ceduta dai termostati:

LTT

j

0L

q

ss

/)(

0L TT come parametro di controllo della linearità della diffusione termica.

4

Effetti della conduttività termica non uniforme: stato stazionario con due barre a

contatto.

11 D,22 D,

0

x

0TL2TLT

L L2

termostato termostato

Equazioni di diffusione

per i due cilindri

2

1 2

2

2 2

( , ) ( , )0 :

( , ) ( , )2 :

T x t T x tx L D

t x

T x t T x tL x L D

t x

Condizioni al contorno: 0 2(0 , ) (2 , ) ( , ) ( , )LT t T T L t T T L t T L t

Quarta condizione: conservazione del flusso al contatto dei due cilindri

2Lx

2

Lx

1

qq

x

txT

x

txTtLjtLj

),(),(),(),(

5

Calcolo della soluzione stazionaria lineare con ( )stT x x

0 0

2

0 : ( ) [ ( ) ]

2 : ( ) ( ) [ ( )]

st st

st st L st

xx L T x T T L T

L

x LL x L T x T L T T L

L

L

TLTj 0ss

1

q

1ss

)(,

L

LTTj ssL2

2

q

2ss

)(,

L’incognita è calcolata dall’uguaglianza dei flussi

21

L2201ssL

q

2ss

q

1ss

q

ss

TTLTTjjj

)(:,,

Implicazione dell’uguaglianza dei flussi: il gradiente termico è inversamente

proporzionale al coefficiente di conduttività termica

2

q

ssLL2

1

q

ss0L j

L

TTj

L

TT

6

Interpretazione secondo un sistema omogeneo con coefficiente di conduttività

termica efficace eff

21eff

2

q

ss

21

1

q

ss

210L

21LL2

210L2

eff

q

ss

111

jj

L

TT

L

TT

L2

TTj

/: 1R Coefficiente di resistenza termica:

21eff RRR

Le resistenze termiche si sommano come le resistenze dei circuiti elettrici

7

Diffusione termica nel dominio infinito

Barra isolata con x

Equazione di diffusione in termini operatoriali

2

2

xDtxT

t

txT

:ˆ),(ˆ),(

operatore di diffusione

Analogia con l’equazione di Schroedinger per il moto inerziale (in una dimensione)

2

22

xm2HtxH

t

txi

:ˆ),(ˆ),(

operatore Hamiltoniano

m2DH 2 / se ˆˆ

Differenze

1) Funzione d’onda come campo a valori complessi

2) Unità immaginaria nel termine temporale

L’analogia nella struttura matematica consente di applicare all’equazione di

diffusione gli stessi metodi di soluzione dell’equazione di Schroedinger.

8

Soluzione dell’equazione di Schroedinger via autofunzioni dell’Hamiltoniano

m2

qExfExfHiqxxf

22

qqqqq

)()(ˆexp:)(

Stato stazionario per la funzione d’onda:

/exp)()()()(

)()()(ˆ)()()(),(

)()(),(

tiE0ctctcEi

dt

tdc

xfEtcxfHtcxfdt

tdci

t

txixftctx

qq

qqqqq

/(exp),( tEqxitx q

Soluzione come onda stazionaria

con lunghezza d’onda e periodo qEhT / 2q /

Controparte per l’equazione di diffusione:

0Dqxfxfiqxxf 2

qqqqq )()(ˆexp:)(

t0ctctcdt

tdc

xftcxftcxfdt

tdc

t

txTxftctxT

qq

qqqqq

exp)()()()(

)()()(ˆ)()()(),(

)()(),(

9

tiqxtxT q exp),(

Nota: assenza dell’unità immaginaria nell’equazione di diffusione dipendenza

temporale oscillatoria rimpiazzata da un decadimento esponenziale!

Campo deve essere a valori reali

t

qqeqxbatiqxbatxT

)cos(expRe),(

),( txT

oppure

t

qqeqxbatiqxbatxT

)sin(expIm),(

o loro combinazioni lineari: tqeqxTatxT

)sin(),(

Decadimento allo stato di equilibrio a tempi lunghi:

aeqxTatxTTt

tteqq

)sin(lim),(lim

t

eqqeqxTTtxT

)sin(),(

eqTT0t0txT per ),(Temperatura positiva:

10

Soluzione del problema diffusivo poco interessante: come si fa ad imporre una

dipendenza periodica della temperatura allo stato iniziale?

Situazione sperimentalmente rilevante: riscaldamento locale del sistema

precedentemente equilibrato salvo in un dominio finito eqT0xT ),(

Problema formale: data la condizione iniziale determinare il campo di

temperature a tempi successivi (t>0) come soluzione dell’equazione di

diffusione

),( txT

),( 0xT

0txTt

),(ˆ

Si possono utilizzare le onde stazionarie a tale scopo?

Ingredienti metodologici:

1) L’onda stazionaria diffusiva

),(),(ˆ:exp:),( txftxfDqtiqxtxf qqq

2

qqq

è una soluzione dell’equazione di diffusione

0txft

q

),(ˆ

11

2) Le combinazioni lineari di onde stazionarie diffusive sono soluzioni

dell’equazione di diffusione

jjqj

j qc0txfct j

,),(ˆ

3) Estensione al continuo della combinazione lineare

)(),()(ˆ qc0txfqcdqt

q

Questione: come scegliere la funzione peso c(q) affinché si riproduca il profilo

iniziale della temperatura T(x,0)?

),()(),()( 0xTeqcdq0xfqcdq iqx

q

Ingrediente matematico necessario: trasformate di Fourier

Data una funzione g(x), la sua trasformata di Fourier è definita come

)(:)(~ xgedxqg iqx

Teorema: sotto opportune condizioni (per l’esistenza dell’integrale) la funzione

originaria è data come anti-trasformata di Fourier

)(~)( qgedq2

1xg iqx

12

Se con g(x) che si annulla esponenzialmente per )(),( xgT0xT eq x

eq

iqxiqx T0xTedxxgedxqg

),()()(~

Allora )(~),( qgedx2

1T0xT iqx

eq

e la funzione di peso risulta determinata: 2

qgqc

)(~)(

Soluzione del problema diffusivo con condizione iniziale data:

)(~),()(~),( qgtxfdq2

1Tqgedq

2

1TtxT qeq

tiqx

eqq

Nota: non si pone nessun vincolo sulla condizione iniziale T(x,0) , salvo il

decadimento sufficientemente veloce all’infinito.

13

Applicazione: condizione iniziale gaussiana

per dati )(),( xaGT0xT

0eq

00eq x00a0T ,,,

Gaussiana normalizzata: 2

22

2

2xxG

)/exp()(

: “larghezza” della gaussiana

22xxGdx1xGdx

)()(

Proprietà: la trasformata di Fourier di una gaussiana è ancora una gaussiana

)/exp()()(~

2qxGedxqG 22iqx

0 x

)(xG

355222 .ln

14

2Dt2qedq2

aT

eedq2

aTqGtxfdq

2

aTtxT

2

0

2iqx

eq

2qtiqx

eqqeq

20

2q

0

/)(exp

)(~

),(),(/

Soluzione dell’equazione di diffusione:

)(

/)(exp),(

)( xGaT

2tqedq2

aTtxT

teq

22iqx

eq

Definizione: larghezza della gaussiana dipendente dal tempo 2

0Dt2t :)(

Conclusione: il profilo della temperatura è gaussiano a tutti i tempi.

Quale stato per tempi infiniti?

eqt TtxT0xGtt ),()()(: )(

L’energia termica in eccesso viene distribuita equamente su una barra infinita,

non producendo alcun incremento di temperatura rispetto a eqT

15

0/x x

( , )T x t T

1a00 ,

Il coefficiente di diffusione controlla la rapidità della redistribuzione di energia

termica.

16

Delta di Dirac: 0 0( ) ( ) ( )f x dx f x x x

0 00

lim ( ) ( )G x x x x

Quale condizione iniziale per ? 00 )(

Se , allora )(),()( xaT0xT00 eq

Nota:

0tx0TtxT2

0x0T0xT1

eq

eq

fissato per , per ),()

per ),()

Implicazione: nei punti con , c=velocità della luce, risulta una

propagazione dell’energia termica a velocità superluminale.

ctx ||

Nota: il campo della temperatura risulta indeterminato per t<0.

Data una condizione iniziale arbitraria T(x,0), l’equazione di diffusione determina

univocamente il campo di temperature T(x,t) nei tempi successivi, t>0, ma non

necessariamente nei tempi antecedenti, t<0.

L’equazione di diffusione è il generatore di un semigruppo di trasformazioni

dinamiche (invece di un gruppo, come nella Meccanica Classica o Quantistica).

17

0 L

x

Diffusione termica in un cilindro finito e isolato.

Condizione al contorno: assenza di flusso! 0tLjt0j qq ),(),(

0x

txT

x

txT

x

txTtxj

Lx0x

q

),(),(),(),(

cioè condizioni al contorno di tipo riflessivo.

Obiettivo: data la condizione iniziale , trovare per ( ,0)T x ( , )T x t 0t

Isomorfismo con l’equazione di Schroedinger per la particella in una scatola:

possiamo utilizzare gli stessi metodi di soluzione, in particolare l’espansione su

una base di autofunzioni dell’operatore di evoluzione temporale

18

( ) ( )n n nx x Problema agli autovalori con 0,( ) / | 0n x Ld x dx

Spazio vettoriale Hilbertiano delle funzioni che soddisfano alle condizioni al

contorno, con prodotto scalare definito come

0| ( ) ( )

L

f g dx f x g x

Possibili forme funzionali per le autofunzioni: exp( ), sin( ), cos( )Kx Kx Kx

Solo soddisfa alla condizione al contorno per cos( )Kx 0x

Condizione al contorno per : x L

0 cos( ) / | sin( )x Ld Kx dx K KL KL n

0,1,2, ( ) cos( / )nn x n x L 2 2 2/n n D L

=costante, : soluzione per lo stato di equilibrio

Per

00 0

Le autofunzioni normalizzate

costituiscono una base ortonormale ,0( ) (2 ) / cos( / )n nx L n x L

,|n m n m

19

Espansione del campo di temperatura sulla base:

),()(:)()()(),( txTxtcxtctxT nn

n

Calcolo della dipendenza temporale:

),()(/),()(:)(

txTxdttxdTxdt

tdcnn

è un operatore hermitiano

t

nnnnnne0ctctctxTx

dt

tdc )()()(),()(

)(

Coefficienti deteminati dall’espansione della condizione iniziale

),()()( 0xTx0c nn

)(0cn

Conclusione:

soluzione esplicita, ma non analitica: bisogna sommare una serie!

0

( , ) ( ) | ( ,0)nt

n n

n

T x t e x T

Stato di equilibrio

determinato dalla temperatura media iniziale : la conservazione

dell’energia interna implica che la temperatura media sia costante

0 0 0 .0

lim ( , ) (0) (0) / ( ,0) / (0)L

eq avt

T T x t T T L dx T x L T

0,

.0 0

( )0 ( , ) ( , ) / ( )

L LL

v v av

dU t d d ddx u x t c L dxT x t L c L T t

dt dt dt dt

.(0)avT

20

0 0.25 0.5 0.75 1.0/x L

( , ) 298T x t

21

Esempi di problemi con condizioni al contorno di tipo non riflessivo

Cilindro in equilibrio per con un termostato a temperatura a contatto con

Il bordo a , che per viene posto a contatto al bordo con un

termostato a temperatura

0t LTx L 0t 0x

0T

Equazione di diffusione per :

condizioni al contorno:

condizione iniziale:

0t 2

2

( , ) ( , )( , )

T x t T x tD T x t

t x

0lim ( , ) per 0Lt

T x t T x

0(0, ) ( , ) LT t T T L t T

Soluzione stazionaria: 0 0( ) lim ( , ) ( )st Lt

xT x T x t T T T

L

Soluzione esatta via espansione sulle autofunzioni di

( , ) ( , ) ( ) (0, ) ( , ) 0stT x t T x t T x T t T L t

00

0 : lim ( , ) ( )(1 / )Lt

x T x t T T x L

( , )( , )

T x tT x t

t

22

Autofunzioni di con condizioni al contorno per ( , )T x t

,1,2,3, ( ) 2/ sin( / ) |n n m n mn x L n x L

2 2 2( ) ( ) ( / )n n n nx x n D L

Soluzione del problema

( , ) ( ,0) ( ) | ( ,) ( ) | ( ,0)ntt t

n n n n

n n

T x t e T x e x T e x T

0

2| ( ,0) ( 1) ( )n

n L

LT T T

n

20

0

2( ) ( 1)( , ) sin( / ) ( / ) 2

nn tL

n

T TT x t e n x L t t D L

n

23

00.20.40.60.81.0/x L

0

( , ) L

L

T x t T

T T

24

Soluzione analitica per il cilindro semi-infinito ( )L

0(0, ) 0 : ( ,0) LT t T x T x T T

Funzione errore: 2

0

2erf ( ) erf ( ) 0 erf ( ) 1

yzy e dz y

Funzione di prova: con erf ( 2 / )x ( )t

Dopo sostituzione nell’equazione di diffusione:

con la soluzione di interesse poichè

2( ) 1 ( )( )

2

d t d tt D

dt dt

( ) 2t Dt

0lim erf[ 2 / ( )]x

x t

1 per 0

0 per 0

x

x

Soluzione esplicita: 0 0( , ) ( )erf ( / )T x t T T T x Dt