Progetto ArAl 1 U2. La griglia dei numeri Progetto SeT 1. L’Unità Il lavoro sulla griglia dei numeri, ispirato ad alcune attività proposte nell’inglese The National Numeracy Strategy del Department for Education and Employment, ha avuto inizio nell'anno scolastico 1998/99, ed ha via via assunto un ruolo importante nel progetto ArAl quale campo di applicazione delle equazioni e palestra di allenamento per il pensiero pre-algebrico arricchendosi autonomamente di spunti e suggerimenti originali. 2. Aspetti didattici L’unità parte dalla costruzione di una griglia quadrata numerata da 0 a 99 e, attraverso attività sempre più sofisticate, conduce gli alunni ad esplorare: • la forma polinomiale del numero • le operazioni e le loro proprietà • gli operatori additivi e moltiplicativi e la loro composizione • le strategie di calcolo mentale • la regolarità • la ricerca delle condizioni di risolvibilità di problemi. L’attività si sviluppa anche in ambito algebrico attraverso problemi simili ai precedenti aritmetici ma proposti in forma parametrica. 3. Aspetti generali L’unità può essere svolta in tutte le classi della scuola di base secondo le modalità illustrate al paragrafo 6. L’Unità, sino dalle sue prime fasi, è organizzata per problemi; la classe – divisa in gruppi o attraverso attività individuali – esplora situazioni di crescente complessità e cerca di risolverle. La verbalizzazione e il confronto collettivo delle strategie adottate consentono di diffondere e consolidare i risultati delle scoperte. La soluzione dei problemi porta sempre a discussioni collettive , che diventano importantissime perché obbligano ciascuno a riflettere sui propri processi mentali, a verbalizzare i propri pensieri e le proprie strategie, ad ascoltare gli altri, contribuendo così ad esaltare non solo gli aspetti cognitivi ma anche quelli metacognitivi e metalinguistici. I problemi sono stimolanti e spesso si presentano sotto forma di gioco, di sfida intellettuale. È molto semplice inventare problemi nuovi o di struttura analoga a quelli già presentati alla classe. L’unità contiene problemi con una soluzione, con più soluzioni, con infinite soluzioni, problemi impossibili, contribuendo così a scalzare lo stereotipo del problema con una sola soluzione.
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Progetto ArAl 1 U2. La griglia dei numeri Progetto SeT
1. L’Unità Il lavoro sulla griglia dei numeri, ispirato ad alcune attività proposte nell’inglese The National Numeracy Strategy del Department for Education and Employment, ha avuto inizio nell'anno scolastico 1998/99, ed ha via via assunto un ruolo importante nel progetto ArAl quale campo di applicazione delle equazioni e palestra di allenamento per il pensiero pre-algebrico arricchendosi autonomamente di spunti e suggerimenti originali. 2. Aspetti didattici L’unità parte dalla costruzione di una griglia quadrata numerata da 0 a 99 e, attraverso attività sempre più sofisticate, conduce gli alunni ad esplorare: • la forma polinomiale del numero • le operazioni e le loro proprietà • gli operatori additivi e moltiplicativi e la loro composizione • le strategie di calcolo mentale • la regolarità • la ricerca delle condizioni di risolvibilità di problemi. L’attività si sviluppa anche in ambito algebrico attraverso problemi simili ai precedenti aritmetici ma proposti in forma parametrica. 3. Aspetti generali L’unità può essere svolta in tutte le classi della scuola di base secondo le modalità illustrate al paragrafo 6. L’Unità, sino dalle sue prime fasi, è organizzata per problemi; la classe – divisa in gruppi o attraverso attività individuali – esplora situazioni di crescente complessità e cerca di risolverle. La verbalizzazione e il confronto collettivo delle strategie adottate consentono di diffondere e consolidare i risultati delle scoperte. La soluzione dei problemi porta sempre a discussioni collettive, che diventano importantissime perché obbligano ciascuno a riflettere sui propri processi mentali, a verbalizzare i propri pensieri e le proprie strategie, ad ascoltare gli altri, contribuendo così ad esaltare non solo gli aspetti cognitivi ma anche quelli metacognitivi e metalinguistici. I problemi sono stimolanti e spesso si presentano sotto forma di gioco, di sfida intellettuale. È molto semplice inventare problemi nuovi o di struttura analoga a quelli già presentati alla classe. L’unità contiene problemi con una soluzione, con più soluzioni, con infinite soluzioni, problemi impossibili, contribuendo così a scalzare lo stereotipo del problema con una sola soluzione.
Progetto ArAl 2 U2. La griglia dei numeri Progetto SeT
4. Terminologia e simbologie Fase Successione di situazioni di difficoltà crescente facenti riferimento allo
stesso tema. Situazione Problema attorno al quale si sviluppano attività di tipo individuale, di
gruppo, di classe. Espansione Ipotesi di lavoro su un possibile ampliamento dell’attività verso una
direzione algebrica. La sua realizzazione dipende dalle condizioni ambientali e dagli obiettivi dell’insegnante.
Nota Suggerimento per l’insegnante di carattere metodologico o operativo. Riquadro colorato contenente la descrizione di una situazione problematica. Il testo è indicativo; può essere anche presentato così com’è ma in genere la sua formulazione rappresenta il frutto di una mediazione sociale fra l’insegnante e la classe Riquadro contenente la traccia di una discussione tipo; possono comparire i seguenti simboli P Intervento dell’insegnante ] Intervento di un alunno ^ Compendio di alcuni interventi
_ Risultato di una discussione collettiva (un principio, una regola, una conclusione, un’osservazione, e così via)
Rappresentazione Una parola in blu sottolineata evidenzia un collegamento attivo con un tema illustrato nella parte generale (all’occorrenza nel Glossario). Se l’unità viene visionata in rete, è sufficiente cliccare sopra la parola per attivare il collegamento; se viene stampata, il lettore sa che essa rimanda a delle spiegazioni che andranno cercate nella parte generale. 5. Fasi (F), situazioni (S) e argomenti (Tutte le fasi sono ampiamente corredate di estratti significativi di Diari di attività nelle classi) FASI SITUAZIONI ARGOMENTI
Prima 1 – 6 Costruzione della griglia 0 – 99 ed analisi delle regolarità che vi compaiono: attività necessarie in tutte le classi per l’avvio del lavoro.
Seconda 7 – 10 Strategie per il calcolo mentale a partire dalla griglia.
Terza 11 – 13 Attività con la griglia incompleta: applicazione di regolarità, esercizi di calcolo mentale, uguaglianza come relazione di equivalenza, regole per risolvere espressioni.
Quarta 14 Attività con frammenti di griglia: utilizzo delle regolarità individuate nelle situazioni precedenti.
Quinta 15 – 17 Il gioco dell’isola: problemi-gioco, anche con casi di problemi senza soluzione; problemi impossibili e studio delle condizioni in cui diventano risolvibili.
Sesta 18 – 20 Avvio alla generalizzazione. Numerazione posizionale, notazione polinomiale del numero.
Settima 21 – 25 Approccio alla lettera come parametro.
Ottava 26 - 29 Problemi di applicazione. Estensione a problemi parametrici e a griglie di dimensioni n x n. Attività con frammenti di griglia da analizzare e da completare.
Progetto ArAl 3 U2. La griglia dei numeri Progetto SeT
6. Distribuzione delle situazioni in relazione all’età degli alunni La distribuzione rappresenta una proposta indicativa basata sulle esperienze accumulate nel corso degli anni; ogni situazione può restringersi o dilatarsi in base alle scelte di metodo o di opportunità dell’insegnante. FASI E SITUAZIONI I II III IV V VI VII VIII 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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1 2 10 ore 3 15 ore 4 15 ore
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5 15 ore 1 15 ore
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3 15 ore
Progetto ArAl 4 U2. La griglia dei numeri Progetto SeT
Attività adatte alle classi 1 2 3 4 5 1 2 3 Commenti Prima fase Prima fase 1. L’attività si sviluppa sulla base di una griglia numerata da 0 a 991 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69
70 71 72 73 74 75 76 77 78 79
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1 Conviene preparare un cartellone e piccole griglie individuali da far incollare di volta in volta sui quaderni. Si potrebbe anche usare una griglia 1-100; si preferisce quella 0 - 99 perché abitua gli alunni alla presenza dello zero.
2. Si pongono questioni iniziali che invitano ad esplorare la griglia . Ad es: • Quali sono il più piccolo e il più grande numero della griglia? • Quante sono le righe? • Quante sono le colonne?
3. Il Gioco delle Regole : gli alunni devono scoprire ed esplicitare le relazioni fra i numeri di una qualsiasi • riga (+1, -1) • colonna (+ 10, - 10) • diagonali N.E. – S.O. (+ 9, - 9) • diagonali N.O. – S.E.2 (+ 11, - 11). L’esplorazione consente di capire che ogni direzione ha due versi. È produttivo far rappresentare le situazioni mediante grafi; questo consente di riflettere sulle operazioni e le loro inverse. Ad esempio:
2 In seconda elementare può essere necessario sostituire alla terminologia legata ai punti cardinali parole meno specialistiche come ‘in alto a destra’ o ‘in basso a sinistra’.
3 La verbalizzazione, il confronto e l’analisi delle definizioni date dagli alunni sono molto importanti. Due esempi di terza elementare; nel primo la classe è all’inizio dell’attività ArAl, nel secondo ha già lavorato con le piramidi (v. U3 Piramidi di numeri). (a)«Per passare da 38 a 56 ho contato e poi ho diviso 18 per 2» (b) «Per Brioshi scriverei 38 + n = 56 e così n = 18» (proposta molto interessante anche se non corretta).
Progetto ArAl 5 U2. La griglia dei numeri Progetto SeT
Attività adatte alle classi 1 2 3 4 5 1 2 3 Commenti 4 Nel descrivere la ‘regola’ (detta
anche ‘passo’) gli alunni più giovani usano spesso frasi come «Le unità vanno avanti di una» o «Le unità crescono di una». È un tipico atteggiamento ‘concreto’ descrittivo; esso comporta l’uso di verbi che danno l’idea dell’azione: ‘andare avanti’, ‘crescere’, ‘aumentare’. Allo stesso modo alunni di prima media usano per la geometria termini del tipo: «Il segmento parte da e arriva a». Si può approfittare si queste occasioni per potenziare le competenze linguistiche introducendo o rinforzando i concetti di antecedente e successivo
4. Partendo da un frammento della griglia, si possono esplorare le regole operative che consentono gli spostamenti da una casella all'altra5. Ad esempio:
5 Può succedere che non tutti gli alunni colgano immediatamente le analogie fra le due rappresentazioni (la tabella a doppia entrata e il grafo). È opportuno che l’insegnante si accerti se manca questa consapevolezza e intervenga con opportuni chiarimenti.
27 28 (a) da 27 a 38 (b) da 28 a 37 (c) da 38 a 27 37 38
-1 27 28 27 28
+10 +11 +9 +10 -11 -10
37 38 37 38 38
+1 -1
5. Si costruisce un grafo che illustri i passi possibili all’interno della griglia. Si può portare la classe a capire che esso è valido in un settore qualsiasi della griglia; in questo modo non è più necessario scrivere nei nodi del grafo dei numeri, perché esso assume una validità generale, per lo meno nella griglia 0-99 con la quale stiamo lavorando 6
6 Nella Sesta fase si introdurranno griglie quadrate con un numero variabile di righe e di colonne.
� +1 �
-11
+11 +9
-9
+10
-10
� -1 �
Progetto ArAl 6 U2. La griglia dei numeri Progetto SeT
Attività adatte alle classi 1 2 3 4 5 1 2 3 Commenti 6. L’esplorazione della griglia e la contemporanea discussione collettiva conducono ad una continua costruzione di definizioni che illustrano la scoperta di regolarità. Il confronto fra le definizioni permette di individuare le migliori in termini di correttezza e chiarezza. Alcuni esempi (terza elementare): • «Lungo ogni riga ci si sposta +1 verso destra, -1 verso sinistra» • «Verso destra l’ordine è crescente, verso sinistra è decrescente» • «Lungo ogni colonna la regola è + 10 verso il basso e – 10
verso l’alto» • «Lungo ogni freccia obliqua NW - SE il passo è + 11 o – 11» • «Lungo ogni freccia obliqua NE – SW il passo è + 9 o – 9»
Espansione
� Ipotesi di lavoro con alunni di quinta – prima media: avviare al concetto di somma dei vettori
+1
� �
+10 +11
� �
� Ipotesi di lavoro con alunni di quinta – prima media: giungere alla descrizione algebrica dei nodi del grafo in funzione di uno di essi, ad esempio:
n � � n + 1
n + 10 � � n + 11
� Si può osservare, dalla quarta in avanti, che gli operatori si compongono con le leggi dell'aritmetica. Per esempio:
Generalizzando si scopre che:
ma anche, molto importante, che:
cioè che la composizione degli operatori non gode della proprietà commutativa.
→=→+→ +++ 11110
→=→+→ ++++ baba
→=→+→ −+−+ baba
→+→≠→+→ +××+ abba
Progetto ArAl 7 U2. La griglia dei numeri Progetto SeT
Attività adatte alle classi 1 2 3 4 5 1 2 3 Commenti Seconda fase 7. Individuazione del ‘passo’ in percorsi che portano in modo ‘diretto‘ da un numero di partenza ad uno di arrivo. Alcuni esempi7 :
7 Da 6 a 33: con passo +9 Da 36 a 69: con passo +11 Da 56 a 51: con passo –1 Da 94 a 50: con passo –11
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69
70 71 72 73 74 75 76 77 78 79
80 81 82 83 84 85 86 87 88 89
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
8. La griglia può essere usata per attività di riflessione e di rinforzo sui calcoli mentali in quanto aiuta a visualizzare differenti percorsi – e quindi differenti strategie - per ‘passare’ da un numero ad un altro. Per esempio alla domanda «Quanto bisogna aggiungere a 23 per ottenere 79?» si possono individuare almeno tre percorsi (naturalmente ce ne sono molti altri, ma sono meno economici)7,8. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69
70 71 72 73 74 75 76 77 78 79
80 81 82 83 84 85 86 87 88 89
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
7 Si ricorda l’importanza della verbalizzazione e del confronto tra le espressioni usate dagli alunni. Ad esempio, il percorso viola della situazione 8 viene descritto da alunni di terza elementare in modi molto diversi: • «Aggiungo a 23 cinque volte 11 e poi
aggiungo 1» • «Faccio più 11 cinque volte e poi
faccio più1» • «Sommo 23 e 55 e poi aggiungo 1». La discussione può mettere in evidenza la maggiore trasparenza , per quanto riguarda il processo , delle prime due strategie rispetto alla terza e, inoltre, la maggiore correttezza linguistica della prima rispetto ai generici “Faccio” della seconda 8Può succedere, con gli alunni più giovani, che la casella di partenza venga compresa nel conteggio dei passi, e che quindi la regolarità venga applicata una volta di più. Per esempio nel percorso blu qualcuno afferma che la regolarità +11 è applicata sei volte.
9. Attività collettiva: si passa alla scrittura dei calcoli sino a questo momento effettuati mentalmente e detti a voce; la complessità del passaggio varia a seconda dell’età degli alunni. Per esempio, i percorsi della situazione 8 possono essere espressi in queste forme:
percorso verde: 23 + 50 + 6 oppure 23 + 10 Í 5 + 1 Í 6 percorso rosso: 23 + 6 + 50 oppure 23 + 1 Í 6 + 10 Í 5 percorso viola : 23 + 55 + 1 oppure 23 + 11 Í 5 + 19 Le seconde rappresentazioni sono più trasparenti rispetto al processo.
9 Si può approfittare di queste situazioni per affrontare argomenti quali il rapporto fra l'uso delle parentesi e le priorità delle operazioni nelle espressioni aritmetiche.
Progetto ArAl 8 U2. La griglia dei numeri Progetto SeT
Attività adatte alle classi 1 2 3 4 5 1 2 3 Commenti 10. Attività individuale sulla scrittura di calcoli mentali seguita dal confronto fra scritture e dalla discussione collettiva10. Si scelgono dei numeri sulla griglia e si rappresentano i diversi modi di passare dall’uno all’altro; non si seguono più solo percorsi diretti.
10 Si può approfittare di questa situazione per riflettere sull’organizzazione dei calcoli mentali e sull’efficacia di strategie ‘furbe’ per eseguirli con maggiore facilità (in matematica si parla di principio di economia).
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69
70 71 72 73 74 75 76 77 78 79
80 81 82 83 84 85 86 87 88 89
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
Alcuni esempi di possibili situazioni problematiche.
Rappresenta le operazioni che permettono di passare da 63 a 85 e viceversa11
11 Per chiarire il significato nella consegna del verbo ‘rappresenta’ si può ricorrere a Brioshi chiarendo che lui deve riprodurre sulla sua griglia i percorsi e che quindi bisogna spiegargli in linguaggio matematico i calcoli da effettuare (v. Unità 1 ‘Progetto Brioshi’).
12 Si può parlare delle precedenze nelle operazioni e dell’uso delle parentesi. 13 Nelle classi quinte sarebbe importante far rilevare l’equivalenza delle scritture:
- 1 -1 -1 = - (1 + 1 + 1) che permette di rappresentare in un modo ancora diverso il percorso (b) con l’introduzione delle parentesi:
16 + 10 Í 5 – (1 + 1 + 1) = 63.
Rappresenta le operazioni che permettono di passare da 16 a 63. Si possono introdurre le parentesi.
Gli alunni rappresentano il percorso arancione in più modi: (a) 16 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 – 1 – 1 –1 = 63 (b) 16 + 10 Í 5 – 1 – 1 –113 = 63 (c) 16 + 10 Í 5 – 1Í 3 = 63 (d) 16 + 50 – 3 = 63
Espansione Attraverso le attività alle quali si fa riferimento nella nota 4 l’insegnante può, qualora le condizioni ambientali lo consentissero, proporre un approccio alla generalizzazione:
- a – b = - (a + b)
Progetto ArAl 9 U2. La griglia dei numeri Progetto SeT
Attività adatte alle classi 1 2 3 4 5 1 2 3 Commenti Terza fase
11. L’attività può continuare con una griglia incompleta come quella raffigurata nel disegno. L’insegnante chiede di inserire un numero in una casella vuota e gli alunni devono collocarlo argomentando la loro strategia .
2 9
10
21
34 37
55
63 69
76
81
97
v 14 Spiegate come fate a collocare il numero 49. ] «L’ho messo 20 unità sopra il 69.» ] «Ho contato 2 unità dopo il 37 e poi sono sceso di 10.»
14 Gli esempi riportati si riferiscono a terze elementari.
v Spiegate come fate a collocare il numero 25. ] «Ho contato 21 e poi 22, 23, 24 e 25» ] «Ho fatto 34 meno 10 e poi più 1» ] «Parto da 55 e vado verso l’alto togliendo 3 volte 10»
12. Attività di verifica e rinforzo con una griglia vuota tranne che nelle caselle contenenti lo 0 e il 99. Gli alunni devono collocare correttamente dei numeri assegnati spiegando le strategie usate15. 0
99
15 È opportuno far rappresentare i numeri anche in forma non canonica, in modo da rispecchiare i calcoli mentali effettuati per individuare la casella corrispondente. Per esempio: alla richiesta di collocare il 36, un alunno di terza elementare ha spiegato in questo modo la strada seguita: «Scendo di 3 decine sotto lo 0 e poi vado verso destra di 6 unità». La relativa rappresentazione è stata:
10 Í 3 + 1 Í 6 = 30 + 6.
Progetto ArAl 10 U2. La griglia dei numeri Progetto SeT
Attività adatte alle classi 1 2 3 4 5 1 2 3 Commenti 13. Gioco: la caccia al tesoro. La griglia quasi del tutto vuota rappresenta un’isola circondata dal mare all’interno della quale i pirati hanno nascosto un tesoro (nell’esempio T). L’obiettivo è quello di far produrre e poi confrontare diverse rappresentazioni di uno stesso percorso in modo da scoprire la loro equivalenza; le rappresentazioni devono essere fatte utilizzando i ‘passi’ ormai noti (+ 1 e – 1, + 10 e – 10, ecc.)16.
16 Per chiarire la consegna si può ricorrere a Brioshi specificando che bisogna inviargli il percorso scritto in forma matematica.
0
19
T
A
G
99
Il gioco si può sviluppare in diversi modi; ne suggeriamo tre: A) I bambini si immedesimano nei pirati e, dopo aver ‘nascosto’ il tesoro indicandolo con T devono rappresentare la ‘mappa matematica’ che permette di ritrovarlo. Alcuni esempi (terza e quarta elementare):
Il tesoro è nascosto nella casella contrassegnata con T. L’approdo dell’isola è in 0. Rappresenta il percorso che conduce da 0 a T17.
17 Si può proporre che la lettera stia per il ‘numero da scoprire’. 18 Spesso gli alunni, nel contare quante volte la regola si ripete, inseriscono anche la casella di partenza. La verifica collettiva consente di chiarire facilmente l’equivoco. 19 Talvolta gli alunni si lasciano prendere la mano dal gioco e propongono percorsi molto arzigogolati; è una buona occasione per inserire nella riflessione il principio di scritture più economiche rispetto ad altre
Alcuni percorsi individuati dagli alunni18 : • 0 + 11 x 5 = 5519 • 0 + 10 x 5 + 1 x 5 = 55 • 0 + 1 x 5 + 10 x 5 = 5520
Il tesoro è nascosto nella casella contrassegnata con A. L’approdo dell’isola è in 99. Rappresenta i percorsi che conducono da 99 a A • 99 - 11 x 3 • 99 - 10 x 3 - 1 x 3 • 99 - 1 x 3 - 10 x 3
Si può anche aumentare la difficoltà. Ad esempio, per raggiungere il tesoro posto in G partendo dall'approdo posto in 19, si può trovare:
• 19 – 1 x 8 + 10 x 6 = 71 • 19 + 10 x 6 - 1 x 8 = 71 • 19 + 9 x 6 – 1 x 2 = 71
20 Il contratto didattico può far prevedere di verificare ogni volta la correttezza dell’espressione. Ad esempio: 0 + 1 x 5 + 10 x 5 = 55 0 + 5 + 50 = 55 55 = 55 In questa scrittura si può sottolineare sia il ruolo dell’uguale come relazione di equivalenza che quello di operatore che ‘dà un risultato’. L'uguaglianza come relazione di equivalenza ha un'importanza determinante nella costruzione del pensiero algebrico.
Progetto ArAl 11 U2. La griglia dei numeri Progetto SeT
Attività adatte alle classi 1 2 3 4 5 1 2 3 Commenti B) Problema inverso rispetto al precedente. Questa volta gli alunni si immedesimano nei cercatori del tesoro; devono interpretare il percorso segnato su una mappa e trascriverlo in linguaggio matematico. La casella con il primo numero dell’espressione costituisce il ‘porto di partenza’. Ad esempio: interpretare il percorso blu e rappresentarlo . Una scrittura possibile è la seguente:
92 - 10 x 2 + 1 x 7 - 11 x 621
21 Spesso gli alunni sono disorientati di fronte ad una scrittura che non si conclude con l’uguale e con un risultato frutto di calcoli. È una buona occasione per sottolineare la differenza fra rappresentare e risolvere.
13
40
60
89
92
22 Conviene approfittare anche di questa situazione per evidenziare la convenzione che l’uguale scritto alla fine della riga si ripete all’inizio della successiva.
La classe può eseguire poi la verifica della correttezza del risultato: 92 - 10 x 2 + 1 x 7 - 11 x 6 =22 = 92 - 20 + 7 - 66 = = 13 23,24
23 La verifica può essere rappresentata anche in un altro modo, che privilegia il punto di vista dell’uguaglianza fra due numeri rispetto a quello ‘classico’ dell’ individuazione di un risultato: 92 - 10 x 2 + 1 x 7 - 11 x 6 = 13 92 - 20 + 7 – 66 = 13 13 = 13. Si può far riflettere sul fatto che le due espressioni a sinistra e a destra dell’ uguale rappresentano scritture diverse dello stesso numero. 13 è la forma cosiddetta canonica del numero, più sintetica, più ‘essenziale’, ma più opaca di significati. 24 Con gli alunni più giovani i calcoli possono essere trascritti con maggiore lentezza, evidenziando i vari passaggi; per esempio, in una terza elementare: 92 - 10 x 2 + 1 x 7 - 11 x 6 = = 92 - 20 + 7 - 66 = = 72 + 7 - 66 = = 79 - 66 = = 13 Si può anche evidenziare la convenienza di scomporre il 66 nella penultima riga e scrivere: = 79 - 60 - 6 = = 19 - 6 = = 13
Progetto ArAl 12 U2. La griglia dei numeri Progetto SeT
Attività adatte alle classi 1 2 3 4 5 1 2 3 Commenti C) Attività per favorire l’interpretazione dell’uguale come equivalenza fra scritture, privilegiando quindi l’aspetto della proprietà simmetrica della relazione di uguaglianza (è di fatto una prosecuzione di quanto detto nel commento 2 di questa pagina). I bambini si immedesimano ancora nei cercatori del tesoro i quali però questa volta non sono stati capaci di individuare un solo percorso ma ne hanno trovato due; gli alunni hanno quindi il compito di confrontarli per capire se conducono o meno entrambi al tesoro25. Ad esempio i percorsi proposti per il confronto sono: 60 + 1 x 3 - 10 x 2 - 1 x 3 (rosso) e 89 - 11 x 4 - 1 x 5 (verde) Un gruppo di alunni (quarta elementare) elabora questa uguaglianza: 60 + 1 x 3 - 10 x 2 - 1 x 3 = 89 - 11 x 4 - 1 x 5 60 + 3 – 20 – 326 = 89 – 44 - 5 63 – 20 – 3 = 45 - 5 43 – 3 = 40 40 = 40
25 È necessario aiutare la classe a capire che ‘confrontare’ le due espressioni significa costruire con esse una uguaglianza fra scritture. Al termine dei calcoli si potrebbe anche scoprire che l’uguaglianza non sussiste e che l’uguale va riscritto come ‘≠’. 26 Si può applicare la cancellazione: nel secondo passaggio (+3 e -3) o addirittura nel primo (+ 1 x 3) con ( - 1 x 3), interpretando i segni anche come operatori inversi l'uno all'altro
Progetto ArAl 13 U2. La griglia dei numeri Progetto SeT
Attività adatte alle classi 1 2 3 4 5 1 2 3 Commenti Quarta fase
14. Attività con frammenti di griglia
Proponiamo frammenti della griglia 27; gli alunni devono completarli scrivendo i numeri nelle caselle vuote:
(a) 3 (b) 45
13 59
26
27 Si suggerisce di nascondere la griglia grande in modo che gli alunni siano obbligati a ricostruire mentalmente le sue regolarità. In caso di difficoltà si potrà ricorrere al quadrato sul quaderno oppure si potrà completare il frammento come se fosse inscritto in un rettangolo (tratteggiato nella figura (a).
Gli alunni sono invitati a completare le caselle descrivendo ad alta voce le regolarità applicate. Ad esempio: • in (a) viene applicato +1 per due volte e poi +10 e poi +1; • in (b) viene applicato +11 per due volte e poi -9 e poi +1. Un altro esercizio, un po’ più difficile: (c)
16
Si chiede agli alunni di registrare i passaggi man mano che effettuano i calcoli. Ad esempio, in (c):
• 16 – 1 à scrivo 15 • 15 - 1 à scrivo 14 • 14 – 10 à scrivo 4 • 16 – 9 à scrivo 7 • 16 + 10 à scrivo 26 • 26 + 11 à scrivo 37 • 14 + 9 à scrivo 23 • 23 + 10 à scrivo 33
Espansione È opportuno abituare gli alunni a rappresentare i numeri di un frammento in funzione di un numero dato. Questo aspetto ha importanti ripercussioni in campo algebrico Nell’ esempio il riferimento è il numero 54:
54 - 20 54 - 18
54 - 9
54 54 + 2
54 + 10
Anche nel prossimo caso gli alunni devono esplicitare ogni volta il ragionamento e il calcolo e verificare il risultato.
45
Ad esempio: partire da 45 e seguire una freccia e descrivere matematicamente il percorso: (a) rosso: 45 - 9 + 11 + 11 + 1 – 9 – 11 = 39 (b) verde: 45 + 9 + 11 + 11 – 9 = 67 proporre delle sequenze e far individuare i percorsi. Ad esempio: 45 + 9 – 11 – 1 – 11 = 3128 (viola)
28 È un’occasione per far riflettere su scritture equivalenti più convenienti di quelle proposte, ad esempio: (a’) 45 – 9 + 11 x 2 + 1 – 9 – 11 oppure sulle cancellazioni, per esempio: (a) 45 - 9 + 11 + 11 + 1 – 9 – 11 = 39 (b) 45 + 9 + 11 + 11 – 9 = 67
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Attività adatte alle classi 1 2 3 4 5 1 2 3 Commenti
Quinta fase
15. Il Gioco dell’isola
Regola: bisogna scrivere i numeri nelle caselle vuote del frammento passando da una casella all’altra ma restando sempre sulla ‘terraferma’ (in bianco); il mancato rispetto della regola comporta la caduta in mare (in azzurro). L’attività può essere svolta all’inizio collettivamente e ogni alunno esplicita la regola che gli consente di trovare il numero da inserire29
29 Nel far completare il frammento si può chiedere di rappresentare in forma non canonica i numeri in funzione di quello dell’isolotto di partenza (v. Espansione della pagina precedente). In questo caso, per esempio:
38
44
44 - 9
44
44 + 9 44 + 11
44 + 20
In un secondo momento si fanno rappresentare i percorsi e si attiva il confronto e la discussione. Per esempio, il percorso da 45 a 39 può essere descritto in questo modo:
44 - 9 + 11 + 11 + 1 - 9 - 11 = 38 che è equivalente a:
44 + 11 Í 2 - 9 + 1 - 9 - 11 = 38
In una terza elementare un’alunna ha proposto che il numero sia ‘il nome dell’isolotto’. Da questa idea sono nati giochi del tipo: «Chi sa mettere al suo posto l’isolotto che si chiama 25 meno 9 meno 11?». È importante, al solito, il confronto collettivo delle strategie seguite dagli alunni per individuare l’isolotto corrispondente.
16. L’isola che non c’è Ci possono essere anche isole fantastiche, come quella riportata nel seguente disegno. Il confronto con la griglia di partenza permette di capire facilmente la ragione della scelta di questo nome alla Peter Pan: si scopre infatti che il frammento non può essere una parte della griglia originale 0 - 99, nella quale il 52 si trova nella terza colonna30 .
52
30 Gli alunni, prima di rendersi conto della situazione, spesso elaborano delle strategie ‘meccaniche’ per completare le caselle ‘impossibili’ di un’Isola che non c’è. Per esempio, nella situazione che stiamo esaminando, le due caselle in alto a sinistra, che in realtà non possono appartenere alla griglia, spesso vengono riempite con i numeri 28 e 39. In questo caso, se da un lato non è compreso che il campo di gioco è costituito dalla griglia 0-99, è vero anche che gli alunni, coerentemente con la logica delle regole, individuano a sinistra del 52 il 50 e continuano a togliere 11 trovando così il 39 e il 28. In altre soluzioni gli alunni modificano il campo di gioco e tolgono o aggiungono colonne o righe per renderlo compatibile con il problema assegnato. La discussione permette comunque di superare l’ostacolo.
Progetto ArAl 15 U2. La griglia dei numeri Progetto SeT
Attività adatte alle classi 1 2 3 4 5 1 2 3 Commenti 17. Per rinforzare la comprensione si propongono esempi di isole; gli alunni devono capire se si tratta di isole che ‘ci sono’ o no. Alcuni esempi:
(a) (b)
79
14
(c)
28
Nota Spesso in situazioni di esplorazione avvengono scoperte e intuizioni non previste in sede di preparazione dell’ attività. In una di queste occasioni, in una terza elementare, un’alunna si accorse che non erano necessari i calcoli per capire se un’isola esistesse o meno. Spiegò di aver osservato che i numeri dell’ultima colonna di destra della griglia terminano con il 9. Di conseguenza, poiché in (a) dopo il 79 c’erano altre colonne, senza fare calcoli, poteva concludere che era impossibile che l’isola fosse compatibile con la griglia. L’osservazione portò alla formulazione di regolarità in merito alle righe e alle colonne perimetrali della griglia; le definizioni che seguono furono il risultato finale di un paziente lavoro di costruzione collettiva delle conoscenze:
(a): applicando la regola ‘+ 11’ si dovrebbe inserire il 90 e nella terza casella, applicando la regola ‘- 9’, si dovrebbe inserire 81, e questo non è compatibile con la nostra griglia; (a) quindi è un’’Isola che non c’è’. Con ragionamenti analoghi si scopre che (b) è ‘un’’isola che c’è’ ma che l’isola (c) non esiste.
� I numeri del confine di destra hanno come unità 9. � I numeri del confine di sinistra hanno come unità 0. � I numeri del confine in basso hanno come decina 9. � I numeri del confine in alto vanno da 0 a 9. Queste conclusioni possono essere utilizzate per impostare dei problemi di verifica. Gli alunni devono giustificare la compatibilità o meno con la griglia di un frammento argomentando sulla base di tali conclusioni. Nell’esempio, poiché l’ultima colonna a destra della griglia originale contiene numeri che hanno 9 come cifra delle unità, non è possibile che a destra del 58 ci siano quattro caselle.
58
Progetto ArAl 16 U2. La griglia dei numeri Progetto SeT
Attività adatte alle classi 1 2 3 4 5 1 2 3 Commenti Attività supplementare Si inizia proponendo un frammento impossibile; gli alunni esplorano e argomentano la sua incompatibilità con la griglia (nell’esempio che segue, poiché la griglia termina con numeri che hanno il 9 come cifra delle unità, non è possibile che a destra del 58 ci siano tre caselle).
58
Si passa poi a cercare le condizioni alle quali deve sottostare il frammento in esame per essere compatibile con la griglia 0-99. Il problema può essere formulato in questi termini:
Quali numeri della griglia 0 – 99 possono essere messi al posto del 58 perché il problema abbia soluzione? L’esplorazione viene condotta in modo sperimentale, per tentativi31. Si scopre ad esempio che il 14 o il 92 non vanno bene, mentre invece con il 51 o con il 76 il problema si può risolvere, e così via. Man mano che l’esplorazione procede si segnano le caselle che non consentono una soluzione. Alla fine si trova che: � si possono mettere numeri che non fin iscano con 7 - 8 - 9 – 0; � non si possono mettere numeri maggiori di 86; � non si possono mettere numeri minori di 31; � in sintesi: la cifra delle unità deve essere compresa fra 1 e 6, la cifra delle decine fra 3 ed 8.
31 Può essere utile usare degli accorgimenti per aiutare gli alunni nella ricerca. Ne suggeriamo due: riportare su un lucido per la lavagna luminosa (o comunque su un foglio trasparente) il frammento, sovrapporlo alla griglia 0 – 99 e spostarlo al suo interno in modo da individuare la superficie della griglia compatibile con il frammento. Predisporre un cartoncino all’ interno del quale sia stata ritagliata la forma del frammento e sul quale sia stata evidenziata la casellina corrispondente al numero 58 (nel gergo del modellismo con la carta questo strumento viene chiamato ‘mascherina’). Sovrapponendo la mascherina alla griglia, è possibile individuare con facilità i numeri che risolvono il problema.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69
70 71 72 73 74 75 76 77 78 79
80 81 82 83 84 85 86 87 88 89
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
In conclusione, il numero che può sostituire 58 è uno di quelli compresi nel quadrato che ha per vertici 31, 81, 86, 36.
Progetto ArAl 17 U2. La griglia dei numeri Progetto SeT
Attività adatte alle classi 1 2 3 4 5 1 2 3 Commenti Espansione
L’osservazione della griglia può portare a scoperte interessanti.
I II
III
IV
V
VI
VII
VII
I
IX
X
I 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
II 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
III 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
IV 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
V 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
VI 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
VII 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69
VIII 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79
IX 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89
X 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
Si comincia numerando le righe e le colonne della griglia. Poi si invita la classe ad analizzare un numero al suo interno e ad individuare la relazione fra le sue cifre e i numeri della riga e della colonna al cui incrocio si trova il numero. Per esempio, per il numero 47 gli alunni esplicitano in questo modo la loro analisi:
• la cifra delle decine è rappresentata dal numero della riga meno 1 (5 – 1); •la cifra delle unità è rappresentata dal numero della colonna meno 1 (8 – 1)32 Analogamente, per altri numeri si trova che: • 76 si trova nell’incrocio fra la riga VIII e la colonna VII; • 25 si trova nell’incrocio fra la riga III e la colonna VI; • 36 si trova nell’incrocio fra la riga IV e la colonna VII; e così via.
32 La ragione di questa caratteristica è che il primo numero della prima riga è lo 0 e sotto di lui troviamo 10, 20, 30 e 40 (nella quinta riga). Lo stesso vale per la cifra delle unità: alla prima riga corrispondono 0 decine, alla prima colonna corrispondono 0 unità
Si può poi procedere con l’esercizio inverso: trovare il numero nell’incrocio fra la riga VIII e la colonna IV (il numero 73).
Analogamente:
• il numero nell’incrocio fra la riga V e la colonna IX è il 48; • il numero nell’incrocio fra la riga II e la colonna X è il 19; • il numero nell’incrocio fra la riga VI e la colonna III è il 52; e così via. Questa Espansione può condurre ad approfondire temi quali: (a) il significato del quoto e del resto di una divisione, in quanto numeri che stanno sulla stessa riga divisi per 10 danno lo stesso risultato e numeri che stanno nella stessa colonna divisi per 10 danno lo stesso resto; (b) la forma polinomiale del numero; (c) i sistemi di numerazione in base diversa da 10, modificando le dimensioni della griglia.
Espansione Per la scuola media: il numero all'incrocio fra la riga x e la colonna y ha come cifra delle decine x - 1 e come cifra delle unità y - 1. Si può pertanto rappresentare come
(x - 1) x 10 + y - 1. La situazione dà modo di riflettere sul numero e sulla sua struttura polinomiale.
Progetto ArAl 18 U2. La griglia dei numeri Progetto SeT
Attività adatte alle classi 1 2 3 4 5 1 2 3 Commenti Sesta fase 18. Verso la generalizzazione Si analizza cosa accade quando si modificano le dimensioni della gr iglia; per esempio una griglia 0 – 63 formata da 8 righe e 8 colonne. 0 1 2 3 4 5 6 7
8 9 10 11 12 13 14 15
16 17 18 19 20 21 22 23
24 25 26 27 28 29 30 31
32 33 34 35 36 37 38 39
40 41 42 43 44 45 46 47
48 49 50 51 52 53 54 55
56 57 58 59 60 61 62 63 Si riesaminano in questa nuova situazione le regole studiate sulla griglia 0 – 99 (10 righe per 10 colonne); si trova: • lungo una riga: +1 e –1; •lungo una colonna: +8 e –8; •lungo una obliqua NE-SO: +7 e –7; •lungo una obliqua NO-SE: +9 e –9. La regola è rimasta uguale solo lungo una riga; negli altri tre casi è diversa. Si propone ora la griglia 5Í5: 0 1 2 3 4
5 6 7 8 9
10 11 12 13 14
15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 Si scopre che le regole sono: � lungo una riga: +1 e –1; � lungo una colonna: +5 e –5; � lungo una obliqua NE-SO: +4 e –4; � lungo una obliqua NO-SE: +5 e –5. La regola è rimasta uguale solo lungo una riga; negli altri tre casi è diversa. Si esplorano altri casi e si riassumono i risultati dell’indagine in una tabella; dal suo studio si ricava il caso generale . Ad esempio: spostam 10Í10 8Í8 7Í7 5Í5 4Í4 nÍn
33 La scoperta ingenua dell’operatore ‘-n+1’ ha avuto una storia, in una quarta elementare, che merita di essere raccontata. La compilazione della griglia era stata affrontata in un primo tempo individualmente e quindi le varie soluzioni erano state confrontate e commentate – come d’abitudine - collettivamente. La discussione aveva fatto emergere due differenti strategie nell'individuare l'operatore corrispondente alla freccia ä nella colonna della griglia nÍn: (a) alcuni alunni avevano intuito che bastava invertire l'operatore +n-1, corrispondente a å (individuato in precedenza), ottenendo così l'operatore -(+n-1); (b) altri compagni avevano invece risolto il problema muovendosi non in diagonale ma: prima lungo la direzione á (operatore –n) e poi lungo la direzione à (operatore +1), ottenendo di conseguenza l'operatore -n+1. Il confronto delle strategie e la constatazione della correttezza di entrambe le soluzioni ha permesso di concludere che esse erano equivalenti e di rappresentare per Brioshi l’equivalenza:
- (+ n - 1) = - n + 1. L’attività pone in evidenza ancora una volta come situazioni stimolanti possano favorire (anche in modi imprevedibili in sede di programmazione dell’attività) lo sviluppo del balbettio algebrico. Con gli alunni più grandi si può mettere in evidenza l’equivalenza delle scritture: -n+1 = -(n-1) e -n-1 = -(n+ 1). Essi possono giungere a questa conclusione non attraverso gli spostamenti fisici sulla griglia, come hanno fatto i più giovani, ma confrontando i valori della tabella riga per riga, e individuando il legame che intercorre fra le dimensioni della tabella e l'operatore corrispondente alla freccia. Questa strategia è più complessa perché si sviluppa in un ambiente di maggiore astrazione.
Progetto ArAl 19 U2. La griglia dei numeri Progetto SeT
Attività adatte alle classi 1 2 3 4 5 1 2 3 Commenti 19. Si eseguono esercizi per consolidare le conquiste della situazione 18. Due esempi relativi ad un frammento di una griglia 8Í8. Naturalmente gli alunni possono aiutarsi facendo riferimento alla tabella precedente
(b)
(a)
36 30
20. Si può completare lo stesso frammento supponendo che esso faccia parte di griglie di differenti dimensioni. Alcuni esempi (l’unico numero inizialmente presente è 1434): 10Í 10 8Í 8 5Í 5
3 5 8
12 14 12 14 12 14
24 22 19
33 29 23 Attività supplementare Si inizia assegnando questo compito: in una griglia particolare - di larghezza fissa e di lunghezza infinita - si colorano le caselle contenenti i numeri che si ottengono partendo da 1 e aggiungendo ogni volta lo stesso numero. Nell’esempio proposto la griglia è larga 5 e il numero aggiunto è 3. 0 1 2 3 4
5 6 7 8 9
10 11 12 13 14
15 16 17 18 19
20 21 22 23 24
L’esplorazione può ora muoversi in più direzioni:: � perché il colore è distribuito in questo modo nelle caselle?35
� il numero 29 si troverebbe in una casella colorata?36 � e il 41?37 � e il 46?38
19. Soluzioni:
(a) (b) 13
27 28 29 22
35 36 37 30 31
43 44 45 38 39
45 46
34 Bisogna fare attenzione al numero che si inserisce inizialmente nel frammento perché è facile trovarsi in presenza di un’’isola che non c’è”. 35 Perché lungo le linee oblique c’è la regolarità +6. Aggiungendo il 3 per 2 volte, si aggiunge 6, cioè +3+3 = +3�2= +6. 36 No. Sarebbe colorata la 28: si può procedere per tentativi oppure costruendo la successione numerica (… 16, 19, 22, 25, 28). 37 No. Si potrebbe ragionare in modi diversi, per esempio: (i) applicando la regolarità + 3, la sequenza sarebbe 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43 e non vi compare il 41; oppure (ii): si nota che, nell’ultima colonna, il passo da 4 a 19 è 15. Si può ipotizzare quindi questa successione: 4, 19, 34, 49. Quindi la casella col 46 è colorata perché 46 = 49 – 3. 38 Il 46 è colorato perché 46 = 43 + 3. Espansione I numeri evidenziati nella griglia larga 5 sono quelli che, divisi per 3, danno resto 1. Per le classi più avanzate essi si possono esprimere come 3n + 1, con n naturale, e questo potrebbe dare la possibilità di affrontare lo studio delle congruenze e delle classi resto. In quest’ottica si può stabilire se una casella sia o meno colorata. Nel nostro esempio: 29 : 3 = 9 con resto 2 41 : 3 = 13 con resto 2 46 : 3 = 15 con resto 1. Il 46 è l’unico ‘numero colorato’ in quanto è l’unico che, diviso per 3, dà resto 1. Da qui si può ulteriormente generalizzare partendo da un a qualsiasi, ed aggiungendo un qualsiasi b.
Progetto ArAl 20 U2. La griglia dei numeri Progetto SeT
Attività adatte alle classi 1 2 3 4 5 1 2 3 Commenti Settima fase Soluzioni
21. Si riprendono attività già svolte; gli alunni rappresentano i numeri di una griglia in funzione di un numero dato e delle dimensioni della griglia. Ad esempio: scrivere i numeri mancanti in una griglia 3Í3 in funzione del numero nella casella centrale.
21.
0 1 2
3 4 5
6 7 8
4
4 - 4 4 - 3 4 - 2
4 - 1 4 4 + 1
4 + 2 4 + 3 4 + 4
Possono ripetere la stessa situazione all’interno di una griglia più grande; per esempio di dimensioni 6Í6.
26
26 - 7 26 - 6 26 - 5
26 - 1 26 26 + 1
26 + 5 26 + 6 26 + 7
22. Il passo successivo consiste nel far scrivere agli alunni dei numeri in funzione di un qualsiasi numero a di una griglia 10Í10.
22
a
a - 11 a - 10 a - 9
a - 1 a a + 1
a + 9 a + 10 a + 11
Si può verificare poi come, sostituendo ad a un valore, si ottiene una qualsiasi porzione della griglia originale (naturalmente a non può appartenere alla ‘cornice’ della griglia, altrimenti il frammento sarebbe un’’isola che non c’è’). La conclusione è che, all’interno della stessa griglia, le relazioni fra i numeri rimangono immutate, indipendentemente dalla porzione di griglia presa in considerazione.
Progetto ArAl 21 U2. La griglia dei numeri Progetto SeT
Attività adatte alle classi 1 2 3 4 5 1 2 3 Commenti 23. Attività con un frammento irregolare di griglia 0-99. In una casella si colloca il numero a; gli alunni devono completare le caselle vuote in funzione di a. Un esempio:
23. Soluzione
a
a - 11 a - 9
a a + 1
24. Si propongono frammenti irregolari uguali di griglia 0-99 nei quali a è collocato in caselle diverse. Gli alunni devono completare i frammenti e confrontarli. Un esempio:
24. Soluzione
(1) a (2)
a
a - 1 a (1)
a + 11
a + 20
Una volta risolto il problema, si possono ricercare i valori che comparirebbero nelle caselle mancanti fra quelle del frammento (si potrebbe dire che gli alunni devono recuperare la ‘coerenza interna’ della griglia). In (1) si potrebbe verificare, per esempio, che fra le caselle contenenti i numeri ‘a’ e ‘a + 20’ è nascosta la casella contenente ‘a + 10’ e che, sotto la casella contenente ‘a + 11’, e alla destra di ‘a + 20’, è nascosto il numero ‘a + 21’.
a - 12 a - 11 (2)
a
a + 9
25. Vengono assegnate in ordine sparso delle caselle relative alla griglia 0-99 contenenti dei numeri espressi in funzione di a; gli alunni devono comporle in un frammento coerente con le regole della griglia.
25. Soluzione
a a + 10 a - 20 a + 2 a - 18 a - 9
a - 20 a - 18
a - 9
a a + 2
a + 10
Progetto ArAl 22 U2. La griglia dei numeri Progetto SeT
Attività adatte alle classi 1 2 3 4 5 1 2 3 Commenti Ottava fase
Le prossime attività, analoghe a quelle delle situazioni 23-25, si applicano alla gr iglia nÍn (assumiamo che il problema sia risolubile, cioè che a sia stato scelto in modo che i frammenti risultino interni alla griglia nxn).
26. (v. Situazione 23) 26. Soluzione
a
a-(n+1)= a–n-1
a-(n-1)=
a–n+1
a a+1
27. (v. Situazione 24) 27. Soluzione
a (1) (2)
a
a-1 a (1)
a+n+1
a+2n
28. (v. situazione 25)
a a+n a–2n a+2 a-2n+2 a–n+1
a-(n+2)= a-n-2
a-(n+1)= a–n-1
(2)
a
a+n-1
28. Soluzione
Conviene riflettere su queste uguaglianze: • a – n + 1 = a – (n – 1) • a – 2n + 2 = a – (n – 1) x 2 = a – (2n – 2) Questa attività favorisce anche la consapevolezza nell’interpretazione di scritture diverse sul piano sintattico ma equivalenti su quello semantico.
a–2n a-2n+2
a-(n-1)=
a–n+1
a a+2
a+n
Progetto ArAl 23 U2. La griglia dei numeri Progetto SeT
Attività adatte alle classi 1 2 3 4 5 1 2 3 Commenti 29. Si riparte dalla situazione 20. Si completa un frammento all’interno del quale è stato scritto un numero, inserendolo di volta in volta in griglie di dimensioni diverse. Per esempio :
29. Soluzioni:
13
(a) 10Í10 (b) 8Í8 (c) 5Í5
(a) 10Í10
13
(b) 8Í8 (c) 5Í5
4 5 6 7 8 9
12 13 14 12 13 14
20 21 22 17 18 19
Espansione Se si propone una griglia 7Í7 il problema diventa impossibile (gli alunni potrebbero riconoscere “un’isola che non c’è”). Perciò, questo problema ha soluzione solo se si considerano griglie di particolari dimensioni. Prendiamo in considerazione la generica griglia nxn. E’ interessante studiare per quale valore di n il problema ammetta soluzione. La casella contenente il 13 è quella centrale: bisogna fare in modo che non si disponga lungo la cornice della griglia nxn. 13 non può stare sulla prima riga della griglia. Tale riga contiene i numeri da 0 ad n-1, pertanto deve essere: 13> n-1 13 non può stare sull’ultima riga della griglia. Tale riga contiene i numeri da n2-n ad n2-1, pertanto deve essere: 13< n2-n 13 non può stare sulla prima colonna della griglia. Tale colonna contiene i multipli di n, perciò 13 non può essere multiplo di n: il resto della divisione di 13 per n non può essere 0. 13 non può stare sull’ultima colonna della griglia. Tale colonna contiene i numeri che divisi per n danno resto n-1 : il resto della divisione di 13 per n non può essere n-1. Riepilogando, le condizioni che rendono possibile risolvere il problema in nxn sono le seguenti: a) n-1<13< n2-n ed inoltre, detto R il resto della divisione di 13 per n, deve essere: b) 0<R<n-1 Sotto tali condizioni, il problema diventa risolubile.
