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1 Matematica Finanziaria

Antonio Annibali a.a. 2012-13

Università degli Studi ‘La Sapienza’

Facoltà di Economia

Anno accademico 2012 - 13

Matematica Finanziaria Canale D - K

Capitolo 1 Leggi e regimi finanziari

Antonio Annibali



Capitolo 1 – Leggi e regimi finanziari

1.1 - Oggetto della Matematica Finanziaria 1.2 – Operazioni finanziarie 1.3 – Il mercato dei capitali – Funzioni finanziarie 1.4 – Ulteriori funzioni finanziarie

Esercizio 1.4 (1) - Funzioni finanziarie >>>

Esercizio 1.4 (2) - Schema generale delle funzioni finanziarie >>>

1.5 – Scindibilità di leggi finanziarie 1.6 – Uniformità (traslabilità) di leggi finanziarie

1.7 – Forza d’interesse (e di sconto)

Esercizio 1.7 (1) - Grandezze finanziarie uniperiodali >>>

Esercizio 1.7 (2) - Approssimazione di grandezze finanziarie >>>

1.8 - Regime finanziario “uniforme” e “scindibile” dell’interesse (e

dello sconto) composto – Regime esponenziale

Esercizio 1.8 (1) - Funzioni finanziarie al variare della durata >>>

Esercizio 1.8 (2) - Calcolo di montanti >>>

Esercizio 1.8 (3) - Calcolo di valori attuali >>>



Esercizio 1.8 (4) - Calcolo di interessi e sconti >>>

Esercizio 1.8 (5) - Calcolo di tassi di interesse e di sconto >>>

Esercizio 1.8 (6) - Calcolo del tempo >>>

Esercizio 1.8 (7) - Calcolo di capitali impiegati >>>

Esercizio 1.8 (8) - Calcolo del periodo di raddoppio (1) >>>


1.9 - Regime finanziario “uniforme” e “non scindibile”

dell’interesse semplice (e dello sconto razionale) – Regime lineare









1.10 - Regime finanziario “uniforme” e “non scindibile” dello

sconto commerciale (e dell’interesse iperbolico) – Regime iperbolico











1.11 – Confronti tra regimi finanziari

Esercizio 1.11 (1) - Funzioni finanziarie nei 3 regimi finanziari >>>

Esercizio 1.11 (2) - Fattori di capitalizzazione (polinomiali) >>>

Esercizio 1.11 (3) - Acquisto progressivo di titoli >>>

1.12 – Tassi equivalenti e tassi nominali

Esercizio 1.12 (1) - Tassi nominali da tassi effettivi >>>

Esercizio 1.12 (2) - Tassi nominali da tassi nominali >>>

Esercizio 1.12 (3) - Tassi nominali (appross.) da tassi effettivi >>>

Esercizio 1.12 (4) - Tassi nominali (appross.) da tassi nominali >>>










Capitolo 1 – Leggi e regimi finanziari

1.1 – Oggetto della Matematica Finanziaria

La Matematica Finanziaria è una matematica applicata, che utilizza concetti e metodologie di vari rami della matematica e comporta aspetti teorici ossia formalizzazione di modelli (algoritmi)

matematici per la teorizzazione di problemi finanziari, aspetti pratici come, ad esempio, l’utilizzazione di strumenti

computazionali per l’effettuazione dei calcoli necessari per la risoluzione di problemi finanziari reali.

Prerequisiti della Matematica Finanziaria sono la conoscenza di Algebra, per gli sviluppi teorici di tipo discreto, Analisi matematica, per gli sviluppi teorici di tipo continuo, Calcolo delle probabilità, per lo studio di problemi aleatori, Informatica, per lo studio e la risoluzione di problemi di tipo

computazionale. La Matematica Finanziaria è classificabile in MF (finanziaria) degli investimenti di tipo deterministico (in

condizioni di certezza) oppure di tipo aleatorio (in condizioni di incertezza),



MA (attuariale) delle assicurazioni libere (in caso vita o morte), dei rami elementari (danni ed RCA) e sociali (vecchiaia, morte, invalidità).

Oggetto della Matematica finanziaria sono le attività finanziarie (monetizzabili) ossia scambi monetari equi di capitali disponibili in tempi diversi (e/o monete diverse e/o luoghi diversi effettuati) nel cosidetto Mercato dei Capitali investimenti (ad esempio: finanziamenti), prestiti (ad esempio: anticipazioni).

1.2 – Operazioni finanziarie Considerando operazioni finanziarie in condizioni di certezza, l’elemento fondamentale della Matematica Finanziaria è la prestazione finanziaria ossia l’ente matematico costituito da una coppia ordinata di valori: importo epoca di disponibilità

( , )importo epoca

Un’operazione finanziaria elementare si può definire come un contratto mediante il quale un primo soggetto scambia con un secondo soggetto un determinato importo Px disponibile a una certa epoca x

( , )xP x

con un altro importo My disponibile ad un’altra epoca y

( , )yM y



Supponendo che sia y > x (y ≥ x) è plausibile ritenere che risulti

y x y xM P M P( )

L’equità dell’operazione finanziaria (ossia l’equivalenza delle prestazioni finanziarie) è indicabile con la notazione

( , ) ( , )x yP x M y

Nota: La preferenza della prestazione finanziaria (Px,x) rispetto alla prestazione (My,y) si indica invece con

( , ) ( , )x yP x M y

e simmetricamente la preferenza della prestazione finanziaria (My,y) rispetto alla prestazione (Px,x) si indica con

( , ) ( , )x yP x M y

L’operazione finanziaria elementare si definisce di investimento quando l’elemento fissato della transazione è l’importo Px , mentre l’importo My costituisce l’oggetto della contrattazione. In questo caso si può più precisamente indicare Data dell’investimento x Scadenza dell’investimento y (> x) (≥ x) Periodo dell’investimento [x,y] Durata dell’investimento y - x (> 0) (≥ 0) Capitale iniziale disponibile Px Montante finale My (> Px) (≥ Px)



x y

y x

P M

x y

Interesse prodotto dall’investimento nell’intervallo [x,y]

x y y xI M P 0 0, ( ) y x x yM P I ,

L’operazione finanziaria elementare si definisce di anticipazione quando l’elemento fissato della transazione è invece l’importo My , mentre l’importo Px costituisce l’oggetto della contrattazione. Analogamente al caso precedente, in questo caso si indicano Data di disponibilità y Epoca di anticipazione x (< y) (≤ y) Periodo di anticipazione [x,y] Durata dell’anticipazione y - x (> 0) (≥ 0) Capitale finale disponibile My Valore attuale iniziale Px (< My) (≤ My)

x y

y x

P M

x y

Sconto generato dall’anticipazione nell’intervallo [x,y]

x y y xD M P 0 0, ( ) x y x yP M D ,



1.3 – Il mercato dei capitali – Funzioni finanziarie Un mercato di capitali si definisce perfetto, se gode delle seguenti caratteristiche: tutti gli operatori usufruiscono (gratuitamente) delle stesse

informazioni relative al mercato,

ciascun operatore non è in condizione di quantificare le conseguenze di una sua propria azione sul mercato,

nel mercato non si pagano imposte su trasferimenti di titoli,

commissioni di intermediazione e costi di transazione, le operazioni finanziarie sono infinitamente divisibili ed

effettuabili in ogni istante, ogni operatore finanziario è un massimizzatore di profitti, ossia

ogni sua operazione è tesa a raggiungere il massimo risultato economico con il minimo costo, nel senso che tra due importi disponibili (da incassare) alla stessa epoca l’operatore preferisce quello di ammontare maggiore e tra due importi di uguale ammontare disponibili (da incassare) ad epoche diverse preferisce quello con disponibilità anteriore (ovvero, tra due importi da pagare alla stessa epoca l’operatore preferisce quello di ammontare minore e tra due importi di uguale ammontare da pagare ad epoche diverse preferisce quello con scadenza posteriore).

Esempio: L’operazione finanziaria seguente è da considerare

equa, se le due prestazioni finanziarie (disponibilità) che la caratterizzano sono equivalenti

4 9P 4 1000 4 1200 9 M 9( , ) ( , ) ( , ) ( , )

5

1000 1200

4 9



e, per quanto detto in precedenza, risulta

1200 4 1000 4 1200 9 1000 9( , ) ( , ) ( , ) ( , )

e simmetricamente, nel caso di pagamenti

1000 9 1200 9 1000 4 1200 4( , ) ( , ) ( , ) ( , )



In un mercato di capitali perfetto lo scambio equo tra due fissati importi Px e My comporta l’esistenza di due funzioni, tali che, considerando noti gli altri elementi, permettono di definire: il montante in una operazione di investimento

( , , )y xM f x P y y x xM y f x P y y P x( , ) ( ( , , ), ) ( , )

il valore attuale in una operazione di anticipazione

( , , )x yP g x M y x y yP x g x M y x M y( , ) ( ( , , ), ) ( , )

Ipotizzando che le due funzioni (di scambio) siano regolari (continue, derivabili parzialmente e con derivate parziali continue) e che la funzione My = f(,,) sia crescente rispetto al capitale Px (il montante finale My cresce

all’aumentare del capitale impiegato) crescente (non decrescente) rispetto ad y (il montante finale

My cresce (non decresce) per la posticipazione della scadenza ossia all’aumentare della durata dell’investimento)

decrescente (non crescente) rispetto ad x (il montante finale

My decresce (non cresce) per la posticipazione della data iniziale ossia al diminuire della durata dell’investimento)

e che la funzione Px = g(,,) sia crescente rispetto al montante My (il valore attuale iniziale Px

cresce all’aumentare del capitale finale disponibile)

crescente (non decrescente) rispetto ad x (il valore attuale iniziale Px cresce (non decresce) per la posticipazione della data iniziale ossia al diminuire della durata dell’investimento)



decrescente (non crescente) rispetto ad y (il valore attuale iniziale Px decresce (non cresce) per la posticipazione della scadenza ossia all’aumentare della durata dell’investimento)

fissati x ed y, le due funzioni f(,,) e g(,,) risultano l’una l’inversa dell’altra e quindi basta conoscerne una per ottenere l’altra.

Se si suppone che per gli operatori del mercato l’utilità marginale del denaro sia costante, allora, per le operazioni finanziarie, vale la proprietà di proporzionalità o indipendenza dall’importo e le due funzioni di scambio precedentemente indicate possono piú semplicemente scriversi

,( , , ) ( , , )y x x x x yM f x P y P f x 1 y P r

,( , , ) ( , , )x y y y x yP g x M y M g x 1 y M v

da cui

y

x y

x

Mr 1 1

P, ( )

x y

y x

1 r

x y

,

xx y

y

Pv 1 1

M, ( )

x y

y x

v 1

x y

,

con le ovvie condizioni

,

,

x y

x y

1r

v ,

,

x y

x y

1v

r

, ,x y x yr v 1 o



Le due grandezze finanziarie ottenute sono dimensionalmente numeri puri (in quanto derivanti dal rapporto di due importi):

rx,y : montante unitario (fattore di capitalizzazione), ossia

montante all’epoca y di ogni unità monetaria del capitale Px investito al tempo x crescente (non decrescente) rispetto ad y (per la posticipazione della scadenza ossia all’aumentare della durata dell’investimento) decrescente (non crescente) rispetto ad x (per la posticipazione della data iniziale ossia al diminuire della durata dell’investimento) neutro per operazioni di durata nulla

,( )

x yr0 0

y

,( )

x yr0 0

x x xr 1,

vx,y : valore attuale unitario (fattore di attualizzazione), ossia

valore attuale all’epoca x di ogni unità monetaria del capitale My disponibile al tempo y

crescente (non decrescente) rispetto ad x (per la posticipazione della data iniziale ossia al diminuire della durata dell’investimento) decrescente (non crescente) rispetto ad y (per la posticipazione della scadenza ossia all’aumentare della durata dell’investimento)

neutro per operazioni di durata nulla

,( )

x yv0 0

x

,( )

x yv0 0

y y yv 1,



1.4 – Ulteriori funzioni finanziarie Interesse unitario generato nell’intervallo (x,y) da ogni unità

del capitale Px investito al tempo x

x y y x y x y

x y x y

x x x x y x y

I M P M 1 v1i 1 r 1 1 0 0

P P P v v

, ,

, ,

, ,

( )

,x y

y x

i

x y , ,x y x yr 1 i

,

,

x y

x y

1v

1 i

crescente (non decrescente) rispetto ad y (per la posticipazione della scadenza ossia all’aumentare della durata dell’investimento) decrescente (non crescente) rispetto ad x (per la posticipazione della data iniziale ossia al diminuire della durata dell’investimento) nullo per operazioni di durata nulla

,( )

x yi0 0

y

,( )

x yi0 0

x x xi 0,

Sconto unitario generato nell’intervallo (x,y) da ogni unità del

capitale finale My disponibile al tempo y

x y y x x yxx y x y

y y y x y x y

D M P r 1P 1d 1 1 v 1 0 0

M M M r r

, ,

, ,

, ,

( )



,x y

y x

d

x y , ,x y x yv 1 d

,

,

x y

x y

1r

1 d

crescente (non decrescente) rispetto ad y (per la posticipazione della scadenza ossia all’aumentare della durata dell’investimento)

decrescente (non crescente) rispetto ad x (per la posticipazione della data iniziale ossia al diminuire della durata dell’investimento)

nullo per operazioni di durata nulla

,( )

x yd0 0

x

,( )

x yd0 0

y y yd 0,

Anche l’interesse e lo sconto unitari sono dimensionalmente numeri puri in quanto derivanti dal rapporto di due importi.

Relazioni tra interesse e sconto unitari

x y x y x y x y1 r v 1 i 1 d, , , ,( ) ( )

la differenza tra le funzioni dell’interesse e dello sconto unitari corrisponde al loro prodotto

, , , , , , , ,x y x y x y x y x y x y x y x y1 i d i d 1 i d i d 0

, , , ,x y x y x y x yi d i d

il valore della funzione dell’interesse unitario corrisponde al montante della funzione dello sconto unitario



, , ,

, , ,

, , ,

x y x y x y

x y x y x y

x y x y x y

1 v d di d r

v v 1 d

il valore della funzione dello sconto unitario corrisponde al valore attuale della funzione dell’interesse unitario

, , ,

, , ,

, , ,

x y x y x y

x y x y x y

x y x y x y

r 1 i id i v

r r 1 i

Esercizio 1.4 (1) - Funzioni finanziarie >>>

L’interesse (e lo sconto) unitario (generato nell’intervallo (x,y) da ogni unità del capitale) precedentemente introdotti sono anche denominati tassi periodali (rispetto ad una fissata unità di misura di tipo temporale, ad esempio l’anno) d’interesse (e di sconto), in quanto corrispondono all’interesse (e lo sconto) per unità di capitale nell’intervallo di tempo (x,y). Lo schema generale delle relazioni esistenti tra le funzioni finanziarie risulta

x y x y x y x y

x y x y

x y x y

x y x y

x y x y

x y x y

x y x y

x y x y

x y x y

x y x y

x y x y

r v i d

1 1r 1 i

v 1 d

1 1v 1 d

r 1 i

1 v di r 1

v 1 d

r 1 id 1 v

r 1 i

, , , ,

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

...

...

...

...

Esercizio 1.4 (2) - Schema generale delle funzioni finanziarie >>>



1.5 – Scindibilità di leggi finanziarie Un regime finanziario rappresenta il principio (ossia il modello, la regola) in base al quale effettuare le valutazioni finanziarie. Fissando i parametri di detto modello matematico è possibile definire gli algoritmi di calcolo, denominati leggi finanziarie di tale regime finanziario. Una legge finanziaria si dice scindibile se, comunque si consideri un’epoca intermedia compresa nell’intervallo caratterizzante un’operazione finanziaria, risulta

x y x u u yr r r u x y, , , , [ , ] x u x y

u yx u rr

u x y u

1 r r

x u y

, ,

,,

ossia il valore del montante finale non cambia se ad un’epoca intermedia l’operazione finanziaria di capitalizzazione viene interrotta (disinvestendo il montante accumulato nel primo periodo) e immediatamente ripresa (reinvestendo tale montante per il secondo periodo). Esempio: Al tempo x un soggetto A presta ad un soggetto B un

importo Px con l’impegno di restituzione al tempo y (> x) di un importo My (> Px)

y x x yM P r ,

ad un tempo intermedio u (x < u < y) i due soggetti concordano di anticipare la scadenza del contratto e di effettuare la valutazione dell’importo Mu, che il soggetto B deve restituire al soggetto A, nei due diversi modi: retrospettivamente (da parte del soggetto B (debitore)), il

quale considera che l’operazione finanziaria, iniziata al



tempo x, si è conclusa al tempo u e il suo debito è quindi rappresentato dal montante al tempo u dell’importo prestato

r

u x x uM P r( )

,

prospettivamente (da parte del soggetto A (creditore)), il

quale considera che l’operazione finanziaria, iniziata al tempo x, doveva essere conclusa al tempo y e quindi il suo credito è rappresentato dal valore attuale al tempo u dell’importo da restituire

x yp

u y u y x x y u y x

u y

rM M v P r v P

r

,( )

, , ,

,

i due importi coincidono se

x yr p

u u x x u x x u u y x y

u y

rM M P r P r r r

r

,( ) ( )

, , , ,

,

che rappresenta, appunto, la condizione di scindibilità di una legge finanziaria.

Ricordando la relazione esistente tra il fattore di capitalizzazione e quello di attualizzazione, risulta immediatamente

x y x u u y

x y x u u y

1 1 1v v v

v v v

u x y

, , ,

, , ,

[ , ]

x y u y

u yx u vv

u x y u

v v 1

x u y

, ,

,,

ossia il valore attuale iniziale non cambia se ad un’epoca intermedia l’operazione finanziaria di attualizzazione viene interrotta (determinando il valore attualizzato relativamente al



secondo periodo) e immediatamente ripresa (riattualizzando tale valore attuale relativamente al primo periodo). Ovviamente le condizioni di scindibilità precedenti valgono anche nel caso di considerazione di un numero qualsiasi di epoche intermedie comprese nell’intervallo caratterizzante l’operazione finanziaria. Ad esempio, nel caso di due epoche intermedie, si ha

1 1 2 2x y x u u u u y

1 2

r r r r

u u x y

, , , ,

( , ) [ , ]

1 1 2 2

1 2

1 2 1 2

x u x u x y

1 2

x u u u u yr r r

u x u u y u

1 r r r

x u u y

, , ,

, , ,

1 1 2 2x y x u u u u y

1 2

v v v v

u u x y

, , , ,

( , ) [ , ]

1 1 2 2

1 2

1 2 1 2

v

x y u y u y

1 2

x u u u u yv v

u x u u y u

v v v 1

x u u y

, , ,

, , ,

e in generale, nel caso di n epoche intermedie,

1 k 1 k n

1 k 1 k n

n

x y x u u u u y nk 2

knk 1

x y x u u u u yk 2

r r r r

u x y

v v v v

, , , ,

, , , ,

, [ , ]

ovvero, indicando simbolicamente x con u0 e y con un+1,

k 1 k

k 1 k

n 1

x y u u nk 1

k 0 n 1n 1k 1

x y u uk 1

x y

r r

u u u

v v

, ,

, ,

, [ , ]



Considerando le definizioni introdotte d’interesse (e di sconto) unitario, le condizioni di scindibilità possono essere scritte nel modo seguente

x y x u u y

x y x u u y x u u y

x u x u u y

x u x u u y

1 i 1 i 1 i

i i i i iu x y

i 1 i i

i r i

, , ,

, , , , ,

, , ,

, , ,

( ) ( ) ( )

, [ , ]( )

x u

x u x u u y

x ur

u x y u

1 r

i r i

x u y

,

, , ,

,

ossia il valore dell’interesse unitario finale risulta pari alla somma dell’interesse prodotto nel primo periodo dal capitale unitario iniziale e dell’interesse prodotto nel secondo periodo dal montante accumulato alla fine del primo periodo

x y x u u y

x y x u u y x u u y

x y u y x u u y

x y u y x u u y

1 d 1 d 1 d

d d d d du x y

d 1 d d d

d v d d

, , ,

, , , , ,

, , , ,

, , , ,

( ) ( ) ( )

, [ , ]( )

u y

u y x u u y

u yv

u x y u

v 1

v d d

x u y

,

, , ,

,

ossia il valore dello sconto unitario iniziale risulta pari alla somma dello sconto prodotto nel secondo periodo dal capitale unitario



finale e dello sconto prodotto nel primo periodo dal valore attualizzato all’inizio del secondo periodo. Nel caso di due epoche intermedie, la condizione di scindibilità risulta

1 1 2 2

1 1 1 2 2 2

x y x u u u u y

1 2

x y x u x u u u x u u y

1 i 1 i 1 i 1 iu u x y

i i r i r i

, , , ,

, , , , , ,

( ) ( ) ( ) ( ), ( , ) [ , ]

1 1 2

1 2

1 1 1 2 2 2

1 2 1 2

x u x u

x u x u u u x u u y

1 2

x u u ur r

u x u u y u

1 r r

i r i r i

x u u y

, ,

, , , , ,

, ,

1 1 2 2

1 1 2 1 2 2

x y x u u u u y

1 2

x y u y x u u y u u u y

1 d 1 d 1 d 1 du u x y

d v d v d d

, , , ,

, , , , , ,

( ) ( ) ( ) ( ), ( , ) [ , ]

1 2 2

1 2

1 1 2 1 2 2

1 2 1 2

u y u y

u y x u u y u u u y

1 2

u u u yv v

u x u u y u

v v 1

v d v d d

x u u y

, ,

, , , , ,

, ,

e in generale, nel caso di n epoche intermedie, indicando anche simbolicamente x con u0 e y con un+1, la condizione di scindibilità risulta



1 k 1 k n k 1 k

1 k 1 k 1 k n n 0 k 1 k 1 k

n n 1

x y x u u u u y u uk 2 k 1

n n 1

x y x u x u u u x u u y u u u uk 2 k 1

n

k 0 n 1

k 1 x y

1 i 1 i 1 i 1 i 1 i

i i r i r i r i

u u u

, , , , ,

, , , , , , , ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

[ , ]

1 k 1 k n k 1 k

1 1 k k 1 k n k n 1 k 1 k

n n 1

x y x u u u u y u uk 2 k 1

n n 1

x y u y x u u y u u u y u u u uk 2 k 1

n

k 0 n 1

k 1 x y

1 d 1 d 1 d 1 d 1 d

d v d v d d v d

u u u

, , , , ,

, , , , , , , ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

[ , ]

La condizione di scindibilità può essere generalizzata, ipotizzando che le epoche “intermedie” possano localizzarsi anche al di fuori dell’intervallo caratterizzante l’operazione finanziaria. Con riguardo al caso di una sola epoca “intermedia” precedente al tempo iniziale o successiva al tempo finale, risulta: epoca “intermedia” precedente all’epoca x

u y

x y u x u y

u x

x y u x u y u x u x u y

rr v r

r u x

i 1 d 1 i 1 d v i

,

, , ,

,

, , , , , ,

, ( , )

( ) ( )



u y

x y u y u x

u x

x y u y u x u y u x u y

vv v r

v u x

d 1 1 d 1 i v i d

,

, , ,

,

, , , , , ,

, ( , )

( ) ( )

epoca “intermedia” successiva all’epoca y

x u

x y x u y u

y u

x y x u y u x u x u y u

rr r v

r u y

i 1 i 1 d 1 i r d

,

, , ,

,

, , , , , ,

, ( , )

( ) ( )

x u

x y y u x u

y u

x y x u y u y u x u y u

vv r v

v u y

d 1 1 d 1 i r d i

,

, , ,

,

, , , , , ,

, ( , )

( ) ( )

Nota: Nel caso in cui le diverse condizioni di scindibilità risultano verificate solo per alcune epoche intermedie (eventualmente precedenti o successive), allora la condizione di scindibilità viene definita “puntuale”.

1.6 – Uniformità (traslabilità) di leggi finanziarie

Una legge finanziaria si dice uniforme (oppure traslabile) se il valore delle diverse funzioni finanziarie non cambia, nell’ipotesi di traslazione dell’intervallo temporale [x,y] di riferimento della operazione finanziaria, con la conseguenza che il risultato dipende esclusivamente dalla durata t dell’operazione stessa

x y x k y k

x y x k y k

r rk R

v v, ,

, ,

,



x y x k y k

x y x k y k

i ik R

d d, ,

, ,

,

considerando in particolare k = - x, risulta

x y x x y x 0 y x y x t


r r r r r

v v v v v

, , ,

, , ,



i i i i i

d d d d d

, , ,

, , ,

Lo schema generale delle relazioni esistenti tra funzioni finanziarie di leggi finanziarie uniformi risulta

t t t

t

t t

t t

t t

t t

t t

t t

t t

t t

t t

y x t y x y x y x

y x t

y x

y x

y x

r r v v i i d d

1 1r r 1 i

v 1 d

1 1v v 1 d

r 1 i

1 v di i r 1

v 1 d

r 1 id d 1 v

r 1 i

...

...

...

...

Con le ovvie condizioni e considerazioni

t tr v 1 t t t ti d i d t t ti d r t t td i v

0 0r v 1 0 0i d 0 o



rt , it e dt crescenti (non decrescenti) rispetto ad t (per la posticipazione della scadenza ossia all’aumentare della durata dell’investimento)

( )td r0 0

dt ( )td i

0 0dt

( )td d0 0

dt

vt decrescente (non crescente) rispetto ad t (per la stessa

motivazione)

( )tdv0 0

dt

In caso di uniformità di una legge finanziaria, la condizione di scindibilità, con riguardo ad una durata intermedia, risulta

, , ,

, , ,

, , , , ,

, [ , ]

, ( ) [ , ]

, [ , ]

, [ , ]

x y x u u y

x x y x x x u x u x y xs 0 t

0 t 0 s s t 0 s 0 t s

t s t s

r r r u x y

r r r u x x x y x

r r r r r s 0 t

r r r s 0 t

s t

s t srr

s t s

1 r r

0 s t

ossia il montante finale non cambia se, con riferimento ad una durata intermedia, l’operazione finanziaria di capitalizzazione viene interrotta e immediatamente ripresa. Esempio (da § 1.5): Al tempo iniziale 0 un soggetto A presta ad

un soggetto B un importo P0 con impegno di restituzione, dopo un intervallo di tempo di ampiezza t (> 0), di un importo Mt (> P0)



t 0 tM P r

dopo un intervallo di tempo parziale di ampiezza s (0 < s < t) i due soggetti concordano di anticipare la scadenza del contratto e di effettuare la valutazione dell’importo Ms, che il soggetto B deve restituire al soggetto A, nei due diversi modi: retrospettivamente (da parte del soggetto B (debitore)), il

quale considera che l’operazione finanziaria, iniziata al tempo 0, si è conclusa dopo un intervallo di tempo di ampiezza s e quindi il suo debito è rappresentato dal montante al tempo s dell’importo prestato

r

s 0 sM P r( )

prospettivamente (da parte del soggetto A (creditore)), il

quale considera che l’operazione finanziaria, iniziata al tempo 0, doveva essere conclusa dopo un intervallo di tempo di ampiezza t e quindi il suo credito è rappresentato dal valore attuale al tempo s dell’importo da restituire

p ts t t s 0 t t s 0

t s

rM M v P r v P

r( )

i due importi coincidono se

r p ts s 0 s 0 s t s t

t s

rM M P r P r r r

r( ) ( )

che rappresenta, appunto, la condizione di scindibilità di una legge finanziaria uniforme.

Ricordando la relazione esistente tra il fattore di capitalizzazione e quello di attualizzazione, risulta



t s t s

t s t s

1 1 1v v v s 0 t

v v v, [ , ]

t t s

s t svv

s t s

v v 1

0 s t

ossia il valore attuale iniziale non cambia se, con riferimento ad una durata intermedia, l’operazione finanziaria di attualizzazione viene interrotta e immediatamente ripresa. Nel caso di due durate intermedie, si ha

( , ) [ , ]

1 2 1 2t s s s t s

1 2

r r r r

s s 0 t

1 2 1 2

1 2

1 2 1 2

s s t

1 2

s s s t srr r

s s s t s

1 r r r

0 s s t

( , ) [ , ]

1 2 1 2t s s s t s

1 2

v v v v

s s 0 t

1 2 1 2

1 2

1 2 1 2

v

t t s t s

1 2

s s s t sv v

s s s t s

v v v 1

0 s s t

e in generale, nel caso di n durate intermedie, si ha

, [ , ]1 k k 1 n

1 k k 1 n

n

t s s s t s nk 2

knk 1

t s s s t sk 2

r r r r

s 0 t

v v v v

ovvero, indicando simbolicamente 0 con s0 e t con sn+1,



, [ , ]k k 1

k k 1

n 1

t s s nk 1

kn 1k 1

t s sk 1

r r

s 0 t

v v

Considerando le definizioni introdotte d’interesse (e di sconto) unitario, le condizioni di scindibilità per leggi finanziarie uniformi possono essere scritte nel modo seguente

t s s t si i r i s 0 t, [ , ]

s

s s t s

sr

s t s

1 r

i r i

0 s t

t t s s t sd v d d s 0 t, [ , ]

t s

t s s t s

t sv

s t s

v 1

v d d

0 s t

Nel caso di due durate intermedie, la condizione di scindibilità risulta

, ( , ) [ , ]

1 1 2 1 2 2t s s s s s t s 1 2i i r i r i s s 0 t

1 2 1

1 2

1 1 2 1 2 2

1 2 1 2

s s

s s s s s t s

1 2

s s sr r

s s s t s

1 r r

i r i r i

0 s s t



, ( , ) [ , ]

1 1 2 2 1 2t t s s t s s s t s 1 2d v d v d d s s 0 t

2 1 2

1 2

1 1 2 2 1 2

1 2 1 2

t s t s

t s s t s s s t s

1 2

s s t svv

s s s t s

v v 1

v d v d d

0 s s t

e in generale, nel caso di n durate intermedie, indicando anche simbolicamente 0 con s0 e t con sn+1, la condizione di scindibilità risulta

( ) ( ) , [ , ]1 k 1 k k 1 n n k 1 k k 1

nn n 1

t s s s s s t s s s s kk 2 k 1 k 1

i i r i r i r i s 0 t

( ) ( ) , [ , ]1 1 k k k 1 n k k k 1

nn n 1

t t s s t s s s t s t s s s kk 2 k 1 k 1

d v d v d d v d s 0 t

La condizione di scindibilità può essere generalizzata, ipotizzando che le durate “intermedie” possano localizzarsi anche al di fuori dell’intervallo caratterizzante l’operazione finanziaria: durata “intermedia” precedente all’epoca 0

t st s t s

s

t s t s s s t s

rr v r

r s 0

i 1 d 1 i 1 d v i

, ( , )

( ) ( )

t st t s s

s

t t s s t s s t s

vv v r

v s 0

d 1 1 d 1 i v i d

, ( , )

( ) ( )



durata “intermedia” successiva alla durata t

st s s t

s t

t s s t s s s t

rr r v

r s t

i 1 i 1 d 1 i r d

, ( , )

( ) ( )

st s t s

s t

t s s t s t s s t

vv r v

v s t

d 1 1 d 1 i r d i

, ( , )

( ) ( )

Nel caso in cui le diverse condizioni di scindibilità risultano verificate solo per alcune durate intermedie (eventualmente precedenti o successive), allora la condizione di scindibilità viene definita “puntuale”.

1.7 – Forza d’interesse (e di sconto)

Considerata la funzione del fattore di capitalizzazione rx,y di una legge finanziaria, se essa è derivabile parzialmente (con derivata continua) rispetto alla variabile y, si definisce forza d’interesse la sua derivata parziale logaritmica rispetto ad y, ossia il rapporto tra la derivata parziale della funzione rispetto ad y e la funzione stessa (a causa della positività e della crescenza della funzione rx,y, rispetto alla variabile y, segue la positività della funzione forza d’interesse, così come definita). Nota: L’indicazione [x] nel simbolo della forza di interesse (e di sconto) evidenzia l’epoca iniziale dell’operazione finanziaria

x y x y

x yx

y

x y x y

r 1 i

lg r y y

y r 1 i

, ,

,[ ]

, ,

( )



in modo analogo, considerata la funzione del corrispondente fattore di attualizzazione vx,y, se essa è derivabile parzialmente (con derivata continua) rispetto alla variabile y, si definisce forza di sconto l’opposto della sua derivata parziale logaritmica rispetto ad y, ossia l’opposto del rapporto tra la derivata parziale della funzione rispetto ad y e la funzione stessa (a causa della positività e della decrescenza della funzione vx,y, rispetto ad y, segue la positività della funzione forza di sconto, così come definita)

x y x y

x yx

y

x y x y

v 1 d

lgv y y

y v 1 d

, ,

,[ ]

, ,

( )

E’ facile mostrare la coincidenza delle due forze, infatti

x y x y x y x y

x x

y x y y2

x y x y x y

x y

1

v r r r

y y y yr

1v r r

r

, , , ,

[ ] [ ]

,

, , ,

,

( )

per la qual cosa useremo, nel seguito, la forza d’interesse, anche in ipotesi di considerazione della forza di sconto. La relazione di definizione della forza d’interesse si presenta nella forma di una equazione differenziale (a variabili separabili) nella funzione incognita rx,y, che può quindi essere facilmente integrata con riferimento all’intervallo temporale [x,y]

y y

yx wx

w x w x y x x x yxx x

lg rdw dw lg r lg r lg r lg r

w

,[ ]

, , , ,



yx

w

x

dw

x yr e

[ ]

,

yx

w

x

dw

x yv e

[ ]

,

yx

w

x

dw

x yi e 1

[ ]

,

yx

w

x

dw

x yd 1 e

[ ]

,

Dalla definizione della funzione finanziaria forza di interesse è possibile dedurre l’ulteriore funzione rendimento a scadenza, corrispondente finanziariamente alla media aritmetica della forza d’interesse nell’intervallo [x,y]

[ ]

[ ]

y

x

w

x xy

dw

hy x

ossia [ ] [ ] ( )

y

x x

w y

x

dw h y x

da cui, derivando rispetto ad y

[ ] [ ]

[ ] [ ]( ( ))

( )

x x

y yx x

y y

h y x hh y x

y y

risulta evidente la relazione esistente tra l’andamento della curva dei rendimenti a scadenza e il confronto tra la forza di interesse e il rendimento a scadenza

[ ] [ ]

[ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

x xy yx

y x xy y

x xy y

0 hh

0 hy

0 h

risultando

[ ] ( )

,

xyh y x

x yr e

[ ] ( )

,

xyh y x

x yv e

[ ] ( )

,

xyh y x

x yi e 1

[ ] ( )

,

xyh y x

x yd 1 e

Risulta inoltre (applicando la regola di De L’Hopital)



Guillaume François Antoine de Sainte Mesme, marchese de l'Hôpital, o de l'Hospital (Parigi 1661 – Parigi 1704), è stato un matematico francese, studioso del calcolo infinitesimale. Egli è conosciuto principalmente per la formula, che porta il suo nome, che permette di calcolare, sotto determinate condizioni analitiche, il limite di forme indeterminate. De l'Hôpital intraprese inizialmente la carriera militare ma, soffrendo di deficienza visiva, optò per gli studi matematici. Nel 1696 pubblicò il primo manuale di calcolo differenziale che sia mai stato stampato: “Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes”, in cui venne pubblicata per la prima volta la nota regola. La scoperta però è probabilmente dovuta a Johann Bernoulli, sulle cui lezioni si basava in buona parte il libro di l'Hôpital. Molte fonti riportano addirittura che de l'Hôpital sarebbe stato allievo di Bernoulli. Nel 1694 i due matematici stilarono un accordo in base al quale de l'Hôpital avrebbe pagato annualmente a Bernoulli un compenso di 300 franchi per risolvere problemi matematici. Tale accordo stabiliva però che Bernoulli non rivendicasse alcun diritto su tali risoluzioni e, ovviamente, che il patto rimanesse segreto. Nel 1704 dopo la morte di de l'Hôpital, Bernoulli rivelò il patto al mondo intero. Nel 1922 furono trovati documenti che avallavano la sua confessione.

http://it.wikipedia.org/wiki/Parigi

http://it.wikipedia.org/wiki/1661

http://it.wikipedia.org/wiki/Parigi


http://it.wikipedia.org/wiki/Matematico

http://it.wikipedia.org/wiki/Francia

http://it.wikipedia.org/wiki/Calcolo_infinitesimale

http://it.wikipedia.org/wiki/Limite_(matematica)

http://it.wikipedia.org/wiki/Matematici


http://it.wikipedia.org/wiki/Calcolo_differenziale

http://it.wikipedia.org/wiki/Regola_di_de_l%27H%C3%B4pital

http://it.wikipedia.org/wiki/Johann_Bernoulli


http://it.wikipedia.org/wiki/Franco_francese





[ ]

[ ] [ ]

y

x

w

x x xx y

y x y x

dw

h limh limy x

[ ]

[ ]

[ ]

( )

y

x

w

xx

y x

xy x y x

dw

ylim lim

y x 1

y

con le quali è possibile integrare lo schema generale della relazioni esistenti tra le diverse funzioni finanziarie

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ] [ ]

, , , ,

( )

, ,

, ,

( )

, ,

, ,

( ), ,

, ,

, ,

,

,

,

...

...

...

yx

w xyx

yx

w xyx

yx

w xyx

x x

x y x y x y x y y y

dwh y x

x y x y

x y x y

dwh y x

x y x y

x y x y

dwh y xx y x y

x y x y

x y x y

x y

x y

x y

r v i d h

1 1r 1 i e e

v 1 d

1 1v 1 d e e

r 1 i

1 v di r 1 e 1 e 1

v 1 d

r 1d 1

r

[ ]

[ ] ( ),

,

,

[ ]

, , , ,[ ]

[ ]

, , , ,[ ]

...

( ( ))( ) ( )...

( ) ( )...

yx

w xyx

dwh y xx y

x y

x y

xyx y x y x y x yx

y

y

xw

x y x y x y x yx xy

iv 1 e 1 e

1 i

h y xlg r lgv lg 1 i lg 1 d

y y y y y

dwlg r lgv lg 1 i lg 1 d

hy x y x y x y x y x

Con riguardo al caso esaminato di un’epoca intermedia, la condizione di scindibilità di una legge finanziaria può essere espressa attraverso la forza d’interesse



[ ] [ ] [ ] [ ][ ]

, , , , [ , ]

y yyu ux x x uu

w w w ww

x x x uu

dw dw dw dwdw

x y x u u yr r r e e e e u x y

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

y y y yux x u x u

w w w w w

x x u u u

dw dw dw dw dw


y y

x u

w w

x uu uy y

dw dw

u x yy y

[ ] [ ]

[ ] [ ], , [ , ]

le considerazioni possono essere estese ad epoche “intermedie” precedenti

[ ]

[ ] [ ][ ] [ ]

[ ]

,

,

,

, ( , )

yuy yy x

wx uu u

uw ww w

x xu ux

uw

u

dwdw dwdw dw

u y

x ydwu x

r er e e e u x

r

e

y y

x u

w w

x x

dw dw[ ] [ ]


y y

x u

w w

x ux xy y

dw dw

u xy y

[ ] [ ]

[ ] [ ], , ( , )

o “intermedie” successive



[ ]

[ ] [ ][ ]

[ ]

,

,

,

, ( , )

ux u uy

w x yxw wxw

x yxu

yw

y

dwdw dwdw

x u

x ydwy u

r er e e u y

r

e

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

y u u u ux x y x y

w w w w w

x x y y y

dw dw dw dw dw

da cui, derivando rispetto ad u

u ux y

w w

y y x y

u u

dw dw

u yu u

[ ] [ ]

[ ] [ ], , ( , )

dalle considerazioni precedenti deriva che una legge finanziaria

risulta scindibile se la forza d’interesse [ # ]

y non dipende dalla

epoca iniziale dell’investimento (da Cantelli).

Francesco Paolo Cantelli (Palermo 1875 – Roma 1966), è stato matematico e statistico e ha contribuito in maniera originale alla

http://it.wikipedia.org/wiki/Palermo

http://it.wikipedia.org/wiki/Roma



http://it.wikipedia.org/wiki/Statistico



teoria delle probabilità e alla matematica finanziaria e attuariale. Laureato in matematica presso l'Università di Palermo si è originariamente interessato di astronomia, lavorando fino al 1903 presso l'osservatorio astronomico palermitano. Successivamente, fino al 1923, ha lavorato come attuario presso l'Istituto di Previdenza della Cassa Depositi e Prestiti, svolgendo attività e ricerche in matematica finanziaria e attuariale e teoria delle probabilità, con particolare riguardo alla teoria astratta del calcolo delle probabilità (in anticipo rispetto alla impostazione assiomatica di Kolmogorov), alla convergenza stocastica e alla teoria dei grandi numeri di Borel, alle tavole di mutualità ed alla teoria dei capitali accumulati. E’ stato professore di matematica finanziaria ed attuariale presso le Università di Catania, Napoli e Roma. Nel 1930 ha fondato il Giornale dell'Istituto Italiano degli Attuari conducendolo fino al 1958. Nell'ambito dei suoi interessi in astronomia, ha mostrato che, con le informazioni astronomiche presenti nella Divina Commedia, il viaggio immaginario di Dante è da localizzare temporalmente nell'anno 1301. La condizione di scindibilità di una legge finanziaria può essere espressa anche attraverso il rendimento a scadenza: - nel caso di un’epoca intermedia

[ ] [ ] [ ]( ) ( ) ( )

, , , , [ , ]x x u

y u yh y x h u x h y u

x y x u u yr r r e e e u x y

[ ] [ ] [ ]( ) ( ) ( )x x uy u yh y x h u x h y u

[ ] [ ]

[ ]( ) ( )x u

u yx

y

h u x h y uh

y x

- nel caso di un’epoca “intermedia” precedente

[ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ]

( )( ) ( ) ( ),

, ( ),

, ( , )

uy

x u uy y x

ux

h y uh y x h y u h x uu y

x y h x uu x

r er e e u x

r e

http://it.wikipedia.org/wiki/Probabilit%C3%A0

http://it.wikipedia.org/wiki/Matematica_finanziaria

http://it.wikipedia.org/wiki/Universit%C3%A0_di_Palermo


http://it.wikipedia.org/wiki/Cassa_Depositi_e_Prestiti

http://it.wikipedia.org/wiki/Emile_Borel


http://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Giornale_dell%27Istituto_Italiano_degli_Attuari&action=edit&redlink=1

http://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Giornale_dell%27Istituto_Italiano_degli_Attuari&action=edit&redlink=1


http://it.wikipedia.org/wiki/Divina_Commedia

http://it.wikipedia.org/wiki/Dante_Alighieri




[ ] [ ] [ ]( ) ( ) ( )u u xy x yh y u h x u h y x

[ ] [ ]

[ ]( ) ( )u x

x yu

y

h x u h y xh

y u

- nel caso di un’epoca “intermedia” successiva

[ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ]

( )( ) ( ) ( ),

, ( ),

, ( , )

xu

x x yy u u

yu

h u xh y x h u x h u yx u

x y h u yy u

r er e e u y

r e

[ ] [ ] [ ]( ) ( ) ( )x x yu y uh u x h y x h u y

[ ] [ ]

[ ]( ) ( )x y

y uxu

h y x h u yh

u x

Nel caso di leggi finanziarie uniformi derivabili (con derivate continue), la forza d’interesse dipende dalla sola variabile t e si definisce come la sua derivata logaritmica, ossia come rapporto tra la derivata della funzione rispetto ad t e la funzione stessa (a causa della positività e della crescenza della funzione rt, segue la positività della funzione forza d’interesse, così come definita) e in modo analogo, si può definire la forza di sconto, dipendente dalla sola variabile t, come l’opposto della sua derivata logaritmica, ossia come l’opposto del rapporto tra la derivata della funzione rispetto ad t e la funzione stessa (a causa della positività e della decrescenza della funzione vt, segue la positività della funzione forza di sconto, così come definita)

( )t t

tt

t t

dr d 1 id lg r dt dtdt r 1 i



( )t t

tt

t t

dv d 1 dd lgv dt dtdt v 1 d

Anche in questo caso è facile mostrare la coincidenza delle due forze, infatti

t t t t

t t t2

t t t

t

1d

dv r dr dr

t dt dt dtr1v r r

r

( )

per cui, come già detto, useremo, nel seguito, la forza d’interesse, anche in ipotesi di considerazione della forza di sconto. La relazione di definizione della forza d’interesse si presenta nella forma di una equazione differenziale (a variabili separabili) nella funzione incognita rt, che può quindi essere facilmente integrata con riferimento all’intervallo temporale [0,t]

t t

tww w t 0 t0

0 0

dlg rdw dw lg r lg r lg r lg r

dw

t

w

0

dw

tr e

t

w

0

dw

tv e

t

w

0

dw

ti e 1

t

w

0

dw

td 1 e

Dalla definizione della funzione finanziaria forza di interesse è possibile dedurre l’ulteriore funzione rendimento a scadenza, corrispondente finanziariamente alla media aritmetica della forza d’interesse nell’intervallo [0,t]



t

w

0t

dw

ht

ossia t

w t

0

dw h t

da cui, derivando rispetto ad t

( )t t

t t

d h t d hh t

dt dt

risulta evidente la relazione esistente tra l’andamento della curva dei rendimenti a scadenza e il confronto tra la forza di interesse e il rendimento a scadenza

t t

t

t t

t t

0 hdh

0 hdt

0 h

risultando

th t

tr e

th t

tv e th t

ti e 1

th t

td 1 e

Risulta inoltre (applicando la regola di De L’Hopital)

t

w

00 t

t 0 t 0

dw

h limh limt

t

w

0

t0

t 0 t 0

d dw

dtlim limd t 1

dt

con le quali è possibile integrare lo schema generale della relazioni esistenti tra le diverse funzioni finanziarie



...

...

...

...

(( ) ( )...

t

w

t0

t

w

t0

t

w

t0

t

w

t0

t t t t t t

dwh t

t t

t t

dwh t

t t

t t

dwh tt t

t t

t t

dwh tt t

t t

t t

tt t t tt

r v i d h

1 1r 1 i e e

v 1 d

1 1v 1 d e e

r 1 i

1 v di r 1 e 1 e 1

v 1 d

r 1 id 1 v 1 e 1 e

r 1 i

d hd lg r d lgv d lg 1 i d lg 1 d

dt dt dt dt

)

( ) ( )...

t

w

t t t t 0t

t

dt

dwlg r lgv lg 1 i lg 1 d

ht t t t t

Anche in questo caso e con le stesse considerazioni, la condizione di scindibilità di una legge finanziaria uniforme può essere espressa attraverso la forza d’interesse

, , [ , ]

t s t s s t s

w w w w w

0 0 0 0 0

dw dw dw dw dw

t s t sr r r e e e e s 0 t

t s t s t t s

w w w w w

0 0 0 s 0

dw dw dw dw dw

da cui, derivando rispetto a t

t t s

w w

s 0t t s

d dw d dw

s 0 tdt dt

, , [ , ]



le considerazioni possono essere estese a durate “intermedie” precedenti

, ( , )

t s

t st t s sw

0 ww w w

s0 0 0s

w

0

dwdwdw dw dw

t st

dws

r er e e e s 0

r

e

t t s

w w

0 s

dw dw


t st

ww

s0t t s

d dwd dw

s 0dt dt

, , ( , )

o “intermedie” successive

, , ( , )

s

st s s tw

0 ww w w

s t0 0 0s t

w

0

dwdwdw dw dw

st

dws t

r er e e e s t

r

e

t s

w w

0 s t

dw dw


st

ww

s t0t s t s t

d dwd dw

1 s tdt dt

, ( ) , ( , )



Dalle considerazioni precedenti deriva che una legge finanziaria uniforme risulta scindibile se la forza d’interesse risulta costante al variare del tempo (da Cantelli) e coincidente con il rendimento a scadenza h

...

t t

0 0t

dw dw

h ht t

Con riferimento quindi al caso di una legge finanziaria uniforme e scindibile (con forza d’interesse e rendimento a scadenza costante), le diverse funzioni finanziarie possono scriversi

t t

0 0

dw dwt

tr e e e

t

tv e tti e 1 t

td 1 e

e considerando le grandezze finanziarie uniperiodali (o effettive)

1 1r r 1 i 1 i e

1 1v v 1 d 1 d e

segue immediatamente

( )

( )

lg r lg 1 i

lgv lg 1 d

seguono immediatamente le definizioni seguenti

t ttr r 1 i( ) t t

tv v 1 d( ) tti 1 i 1( ) t

td 1 1 d( )

che costituiscono le relazioni del modello di calcolo del regime finanziario uniforme dell’interesse composto con tasso costante.



Schema generale delle relazioni esistenti tra grandezze finanziarie uniperiodali (effettive)

...

...

...

...

( ) ( ) ...

r v i d h

1 1r 1 i e

v 1 d

1 1v 1 d e

r 1 i

1 v di r 1 e 1

v 1 d

r 1 id 1 v 1 e

r 1 i

h lg r lgv lg 1 i lg 1 d

Esercizio 1.7 (1) - Grandezze finanziarie uniperiodali >>>

Delle diverse funzioni finanziarie che legano i tassi d’interesse e di sconto con la forza (costante) d’interesse (= di sconto) è possibile dare delle valutazioni approssimate mediante gli sviluppi in serie di potenze introdotti da Taylor e sviluppati in particolare da Mac Laurin



Colin Mac Laurin (Kilmoran 1698 – Edimburgo 1746) è stato un matematico scozzese che ha fornito importanti contributi alla geometria e all’algebra e soprattutto all’analisi matematica (sviluppo delle serie di funzioni). Il suo nome è legato a un caso particolare della serie di Taylor detto appunto "serie di Mac Laurin". Si occupò inoltre del calcolo dei determinanti, dell'orbita del sole, della struttura degli alveari, dell'effetto del lavoro sul corpo umano e del fenomeno delle maree. Ad undici anni, Mac Laurin entrò all'Università di Glasgow, laureandosi tre anni dopo, discutendo una tesi sulla teoria della gravitazione universale di Isacco Newton, che a Londra nel 1721 conobbe direttamente. Sir Newton fu un suo estimatore, definendo Mac Laurin uno dei migliori matematici del suo tempo. Nel 1717 fu nominato professore di matematica al Università di Aberdeen. Qui introdusse la serie di Mac Laurin" (ossia la serie di Brook Taylor per x0 centrato in zero) in uno dei suoi più importanti lavori, il "Treatise of functions", nel quale si proponeva di fondare in modo logicamente rigoroso il calcolo infinitesimale inventato da Newton. Nel 1725 ottenne la cattedra di matematica all'Università di Edimburgo con l'appoggio di Newton, che si offrì di coprire parzialmente (venti sterline l'anno) le spese del suo stipendio. All'Università di Edimburgo, dove ha insegnato anche un altro famoso matematico, James Gregory, trascorse tutto il resto della sua vita. Un'altra sua opera importante fu il "Treatise of algebra" concernente principalmente i sistemi lineari e il calcolo dei determinanti: lo stesso argomento fu trattato nella stessa epoca anche da Gabriel Cramer che pubblicò nel 1750 la nota regola di Cramer. Altro importante contributo alla matematica fu la formula di Eulero-Mac Laurin, introdotta intorno al 1735, che collegava nel calcolo infinitesimale l'integrale e le somme integrali. Mac Laurin morì nel 1746 all'età di soli 48 anni, indebolito e malato per le vicende che avevano coinvolto la città di Edimburgo nel 1745, a causa della marcia sulla città dell'esercito giacobita.

http://en.wikipedia.org/wiki/Scottish_people

http://it.wikipedia.org/wiki/Serie_di_Taylor

http://it.wikipedia.org/wiki/Serie_di_Maclaurin

http://it.wikipedia.org/wiki/Serie_di_Maclaurin

http://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Calcolo_dei_determinanti&action=edit&redlink=1

http://it.wikipedia.org/wiki/Alveare

http://it.wikipedia.org/wiki/Marea

http://en.wikipedia.org/wiki/University_of_Glasgow


http://it.wikipedia.org/wiki/Aberdeen_(Scozia)

http://it.wikipedia.org/wiki/Brook_Taylor




http://it.wikipedia.org/wiki/Universit%C3%A0_di_Edimburgo

http://it.wikipedia.org/wiki/James_Gregory_(astronomo)

http://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Sistemi_lineari&action=edit&redlink=1



http://it.wikipedia.org/wiki/Gabriel_Cramer

http://it.wikipedia.org/wiki/Regola_di_Cramer

http://it.wikipedia.org/wiki/Formula_di_Eulero-Maclaurin


http://it.wikipedia.org/wiki/Integrale


http://it.wikipedia.org/wiki/Giacobita



L’espressione generale dello sviluppo in serie di potenze di una funzione secondo la formula di Mac Laurin è

k 0 1 2 3k 0 1 2 3

k 0

32 3

conv

f 0 f 0 f 0 f 0 f 0f x x x x x x

k 0 1 2 3

f 0 f 0f 0 f 0 x x x x I

2 3

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ...

! ! ! ! !

"( ) ( )( ) '( ) ... ,

! !

e quelle relative agli sviluppi delle funzioni finanziarie

k k 2 3 4

k 1

k 1 k 1

i i i i ii lg 1 i 1 i i 1 1

k k 2 3 4

( )( ) ( ) ( ) ... , ( , ]

k k 2 3

k 1

k 1 k 1

d d d dd lg 1 d 1 d d 1 1

k k 2 3

( )( ) ( ) ( ) ... , [ , )

k k 2 3 4

k 0 k 1

i e 1 1k k 2 3 4

( ) ... , ( , )! ! ! ! !

k k 2 3 4

k 0 k 1

d 1 e 1k k 2 3 4

( ) ( )( ) ... , ( , )

! ! ! ! !


1.8 - Regime finanziario “uniforme scindibile” dell’interesse (e dello sconto) composto – Regime esponenziale

Il regime finanziario dell’interesse (e dello sconto) composto detto pure della capitalizzazione (e dell’attualizzazione) composta con tasso d’interesse (e di sconto) uniperiodale effettivo costante è caratterizzato da leggi finanziarie uniformi (dipendenti dalla sola durata dell’operazione finanziaria)



( ) ( )t t t ttr 1 i r v 1 d

( ) ( )t t t t

tv 1 d v r 1 i

( ) ( )t t t tti 1 i 1 r 1 v 1 1 d 1

( ) ( )t t t ttd 1 1 d 1 v 1 r 1 1 i

e scindibili (i valori finanziari non cambiano in ipotesi di interruzione e ripresa dell’operazione finanziaria)

durata intermedia

s t s s t s t

s t s t

s t s s t s t

s t s t

s s t ss s t s

s t s t

t

t s s t s

t s s t s

t s t t s t

t

r r r r r r r

v v v v v v v

i r i r 1 r r 1s 0 t

r 1 r r r 1 i

v d d v 1 v 1 v

v v 1 v 1 v d

( )[ , ]

( )

durata “intermedia” precedente

s t s s t s t

s t s t

t s s t s s t

t s s t

s s t ss s t s

s t s t

t

t s s t s

t s s t s

t t s t s t

t

v r r r r r r

v r v v v v v

d v i 1 v r r 1s 0

1 r r r r 1 i

v i d v v 1 1 v

v v 1 v 1 v d

( ) ( )( , )

( ) ( )

durata “intermedia” successiva



s s t s s t t

s s t t

s t s s t s t

s t s t

s s s ts s s t

s s t t

t

s t s s t

s t s s t

s t t s t t

t

r v r r r r r

r v v v v v v

i r d r 1 r 1 vs t

r 1 r r r 1 i

r d i r 1 v r 1

r v r 1 1 v d

( )

( )

( )( , )

( ) ( )

La forza d’interesse (e il rendimento a scadenza), come già visto nel paragrafo precedente, risulta costante e pari alla forza di sconto

( ) ( )

t

t tt

t t

d r

d lg r d lg r r lg rd tlg r lg 1 i lg 1 d

d t d t r r

t

t tt

t t

dv

d lgv d lgv v lgvd tlgv lg r

d t d t v v

e le diverse funzioni finanziarie sono quindi esprimibili, come già visto, in funzione della forza d’interesse

ttr e t

tv e

tti e 1 t

td 1 e

Lo schema generale delle relazioni esistenti tra le diverse funzioni finanziarie e le grandezze uniperiodali nel caso del regime finanziario dell’interesse (e dello sconto) composto con tasso d’interesse (e di sconto) uniperiodale effettivo costante risulta



( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

t t t t t

t

t t t t t

t

t t t t t

t

t t t t t

t

r v i d h

r r v 1 i 1 d e

v r v 1 i 1 d e

i r 1 v 1 1 i 1 1 d 1 e 1

d 1 r 1 v 1 1 i 1 1 d 1 e

e analogamente, lo schema generale delle relazioni esistenti tra le grandezze uniperiodali e le diverse funzioni finanziarie, sempre nel caso del regime finanziario dell’interesse (e dello sconto) composto con tasso d’interesse (e di sconto) uniperiodale effettivo costante risulta

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

t t t t

1 1 1 1

t t t tt t t t

1 1 1 1

t t t tt t t t

1 1 1 1

t t t tt t t t

1 1 1 1

t t t tt t t t

t t t t

r v i d

r r v 1 i 1 d

v r v 1 i 1 d

i r 1 v 1 1 i 1 1 d 1

d 1 r 1 v 1 1 i 1 1 d

lg r lgv lg 1 i lg 1 dh

t t t t

Ipotizzando un tasso d’interesse effettivo costante positivo, delle quattro funzioni finanziarie è possibile effettuare un rapido studio analitico al fine di poterne esaminare l’andamento grafico: la funzione rt risulta crescente e concava

0 t t t t t 2

0t

r r 1 lim r r r lg r 0 r r lg r 0, , ( )' , ( )"



la funzione vt risulta decrescente e concava 0 t t t t t 2

0t

v v 1 limv 0 v v lgv 0 v v lg v 0, , ( )' , ( )"

la funzione it risulta crescente e concava

t t t t t

0t

i 0 lim r 1 r 1 r 0 r 1 r 0, ( ) , ( )' ( )' , ( )" ( )"

la funzione dt risulta crescente e convessa

t t t t t0

td 0 1 lim 1 v 1 1 v v 0 1 v v 0, ( ) , ( )' ( )' , ( )" ( )"


Con riguardo a problemi relativi a importi non unitari, risultano immediatamente le seguenti relazioni, tramite le quali è possibile ricavare una delle grandezze finanziarie in funzione delle altre

t t t tt 0 t 0 0 0 0M P r P r P 1 i P 1 d P e( ) ( )

t t t t

0 t t t t t tP M v M v M 1 d M 1 i M e( ) ( )

( ) (( ) ) (( ) ) ( )t t t t

t 0 t 0 0 0 0I P i P r 1 P 1 i 1 P 1 d 1 P e 1

( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( )t t t t

t t t t t t tD M d M 1 v M 1 1 d M 1 1 i M 1 e

11t

t tt

0

Mi 1 r 1 e 1

P

11t

0 tt

t

Pd 1 1 v 1 e

M



11 1t

t t 0 t tt tt t

0

M lgM lgP lg r lgvlg lg r lgv

P t t t

( ) ( )t 0 t 0 t 0 t tlgM lgP lgM lgP lgM lgP lg r lgv

tlg 1 i lg 1 d

Esercizio 1.8 (2) - Calcolo di montanti >>> Esercizio 1.8 (3) - Calcolo di valori attuali >>> Esercizio 1.8 (4) - Calcolo di interessi e sconti >>> Esercizio 1.8 (5) - Calcolo di tassi di interesse e di sconto >>> Esercizio 1.8 (6) - Calcolo del tempo >>> Esercizio 1.8 (7) - Calcolo di capitali impiegati >>>

Calcolo del periodo di raddoppio di un capitale.

Fra' Luca Bartolomeo de Pacioli o anche Paciolo (Sansepolcro, c. 1445 – 1514 o 1517) francescano e matematico italiano, fu un

http://it.wikipedia.org/wiki/Sansepolcro





http://it.wikipedia.org/wiki/Italia



insegnante di matematica e collaborò con Leonardo da Vinci. Nel 1494 pubblicò a Venezia una vera enciclopedia della matematica “Summa de arithmetica, geometria, proportioni e proportionalità”, scritta in volgare, contenente un trattato generale di aritmetica e di algebra con elementi di aritmetica utilizzata dai mercanti (uno dei capitoli è intitolato “Tractatus de computis et scripturis”, in cui viene presentato per la prima volta il concetto di partita doppia che si diffuse per tutta Europa col nome di "metodo veneziano"). Tra il 1496 e il 1508 pubblicò l’opera "De viribus quantitatis" divisa in tre parti (la prima parte “Delle forze naturali cioè de Aritmetica” è quella più importante per la storia della matematica, perché costituisce la prima grande collezione di giochi matematici e problemi dilettevoli, la seconda parte “Della virtù et forza lineare et geometria” riguarda giochi topologici e infine la terza parte “De documenti morali utilissimi” riguarda argomenti diversi). Nel 1509 scrisse la traduzione latina del trattato sulla geometria di Euclide e pubblicò l’opera “De Divina Proportione”, relativa a questioni attinenti al rapporto aureo e alla matematica connessa ai solidi platonici ossia ai poliedri regolari (tetraedro, esaedro, ottaedro, dodecaedro e icosaedro) con incisioni dovute a Leonardo da Vinci e temi di architettura (presi da Vitruvio e da Leon Battista Alberti), a questioni relative alla prospettiva (prese dal suo concittadino Piero della Francesca e da Melozzo da Forlì e Marco Palmezzano). Luca Paciolo è anche autore del trattato “De ludo scachorum”, prezioso manoscritto sul gioco degli scacchi, scritto a Mantova per Isabella d'Este, ritrovato dopo cinquecento anni, nel 2006, presso la biblioteca della Fondazione Coronini di Gorizia.

Luca Paciolo, con considerazioni di tipo algebrico, propose come formula per il calcolo del periodo del raddoppio di un capitale il rapporto tra il numero 72 e il tasso di remunerazione (espresso in termini percentuali)

72 0 72t i 2

100 i i

.( , )

La rivisitazione in termini moderni dell’algoritmo di Luca Paciolo

http://it.wikipedia.org/wiki/Matematica

http://it.wikipedia.org/wiki/Leonardo_da_Vinci


http://it.wikipedia.org/wiki/Venezia

http://it.wikipedia.org/wiki/Aritmetica

http://it.wikipedia.org/wiki/Algebra

http://it.wikipedia.org/wiki/Partita_doppia

http://it.wikipedia.org/wiki/Europa


http://it.wikipedia.org/wiki/Euclide

http://it.wikipedia.org/wiki/De_Divina_Proportione

http://it.wikipedia.org/wiki/Sezione_aurea

http://it.wikipedia.org/wiki/Leonardo_da_Vinci

http://it.wikipedia.org/wiki/Architettura

http://it.wikipedia.org/wiki/Marco_Vitruvio_Pollione

http://it.wikipedia.org/wiki/Leon_Battista_Alberti

http://it.wikipedia.org/wiki/Prospettiva

http://it.wikipedia.org/wiki/Piero_della_Francesca

http://it.wikipedia.org/wiki/Melozzo_da_Forl%C3%AC

http://it.wikipedia.org/wiki/Marco_Palmezzano

http://it.wikipedia.org/wiki/De_ludo_scachorum

http://it.wikipedia.org/wiki/Mantova

http://it.wikipedia.org/wiki/Isabella_d%27Este



richiede la conoscenza dei logaritmi e degli sviluppi in serie di Mac Laurin

0 0 0 0lg 2P lgP lg 2P lgP lg 2 0 69315

t i 2lg 1 i lg 1 i lg 1 i

( ) ( ) .( , )

( ) ( ) ( )

Ricordando lo sviluppo secondo la formula di Mac Laurin delle due funzioni sottoindicate e considerando le relative espressioni approssimate al termine di primo (e secondo grado)

k 2 3 4

2

k 1

i 1 1

ii i i i

lg 1 i i i ik 2 3 4 i i 1

2 2( , ]

( )( ) ...

( )

2 3 4

k

k 0

i1 1

2

1 i i i i ii 1 1

i 2 2 2 2 212

( , )

...

da cui segue

1

i1

1 1 i 1 1lg 1 i 1

i i 2 i 2i 12

( ) ( )

( )

0 69315

ilg 2t i 2

1 1 0 69315lg 1 i0 69315 0 34657

i 2 i

.

( , ).( )

. .

e in generale



lgk 1 1t i k lgk

lg 1 i i 2( , )

( )

ossia, ad esempio,

1 09861

ilg3t i 3

1 1 1 09861lg 1 i1 09861 0 54930

i 2 i

.

( , ).( )

. .

2

1 38630

ilg 4t i 4

1 1 1 38630lg 1 i1 38630 0 69315

i 2 i

lg 2 2 lg 22 t i 2

lg 1 i lg 1 i

.

( , ).( )

. .

( , )( ) ( )

Esercizio 1.8 (8) - Calcolo del periodo di raddoppio (1) >>> Esercizio 1.8 (9) - Calcolo del periodo di raddoppio (2) >>>

Utilizzando la formula dello sviluppo in serie di potenze di una funzione secondo la teoria di Mac Laurin, con riguardo al fattore di capitalizzazione del regime finanziario dell’interesse composto, risulta

t k 2 3 4

tk 0

t t t t tr 1 i i 1 i i i i

k 1 2 3 4( ) ...

e da tale relazione è possibile ottenere espressioni approssimate di tale fattore “esponenziale”, che permettano di caratterizzare ulteriori regimi finanziari, i quali saranno oggetto di esame nei successivi paragrafi:



regime finanziario dell’interesse “lineare”

t t1 i 1 i 1 i t

1( )

regime finanziario dell’interesse “parabolico”

t 2 2t t t t 1 t 11 i 1 i i 1 i t i 1 i t 1 i

1 2 2 2

( )( )

regime finanziario dell’interesse “cubico”

t 2 3

2 3

t t t1 i 1 i i i

1 2 3

t t 1 t t 1 t 2 t 1 t 21 i t i i 1 i t 1 i 1 i

2 6 2 3

( )

( ) ( )( )

regime finanziario dell’interesse “polinomiale”

t 2 3 n

2 3 n

t t t t1 i 1 i i i i

1 2 3 n

t t 1 t t 1 t 2 t t 1 t n 11 i t i i i

2 6 n

t 1 t 2 t n 11 i t 1 i 1 i 1 i

2 3 n

( ) ...

( ) ( )( ) ( )...( )...

!

...

Analogamente, con riguardo al fattore di attualizzazione del regime finanziario dello sconto composto, risulta

t k 2 3 4

tk 0

t t t t tv 1 d d 1 d d d d

k 1 2 3 4( ) ( ) ...



regime finanziario dello sconto “lineare”

t

0

t1 d 1 d 1 d t

1( )

regime finanziario dello sconto “parabolico”

t 2 2

0

t t t t 1 t 11 d 1 d d 1 d t d 1 d t 1 d

1 2 2 2

( )( )

regime finanziario dello sconto “cubico”

t 2 3

2 3

0

t t t1 d 1 d d d

1 2 3

t t 1 t t 1 t 2 t 1 t 21 d t d d 1 d t 1 d 1 d

2 6 2 3

( )

( ) ( )( )

regime finanziario dello sconto “polinomiale”

t 2 3 n

2 3 n

0

t t t t1 d 1 d d d d

1 2 3 n

t t 1 t t 1 t 2 t t 1 t n 11 d t d d d

2 6 n

t 1 t 2 t n 11 d t 1 d 1 d 1 d

2 3 n

( ) ... ( )

( ) ( )( ) ( )...( )... ( )

!

...



1.9 - Regime finanziario “uniforme non scindibile” dell’interesse semplice (e dello sconto razionale) – Regime lineare

Il regime finanziario dell’interesse semplice (e dello sconto razionale) detto pure della capitalizzazione semplice (e dell’attualizzazione razionale) con tasso d’interesse (e di sconto) uniperiodale effettivo costante è caratterizzato da leggi finanziarie uniformi (dipendenti dalla sola durata dell’operazione finanziaria)

( )( ) ( )( )t

1 1 v t 1 1 d t 1r 1 i t 1 r 1 t

v 1 d

( ) ( )( ) ( )t

1 1 v 1 dv

1 i t 1 r 1 t 1 1 v t 1 1 d t 1

( )( )t

1 v t d ti i t r 1 t

v 1 d

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )t

i t r 1 t 1 v t d td

1 i t 1 r 1 t 1 1 v t 1 1 d t 1

e non scindibili (i valori finanziari cambiano in ipotesi di interruzione e ripresa dell’operazione finanziaria, nel caso di durata intermedia, anche “intermedia” precedente o successiva) durata intermedia

2s t s tr r 1 i s 1 i t s 1 i t i s t s r s 0 t( ) ( ( )) ( ) , ( , )


2

s t s t

1 i t s i stv r 1 i t r s 0

1 i s 1 i s

( ), ( , )



durata “intermedia’ successiva

2

s s t t

1 i s i t s tr v 1 i t r s t

1 i s t 1 i s t

( ), ( , )

( ) ( )

La forza d’interesse, come già indicato nel paragrafo precedente, risulta non costante e pari alla forza di sconto

( )

( )

( )t

t

d 1 i t

d lg r d lg 1 i t i dd t

d t d t 1 i t 1 i t 1 d t 1

( ( )) ( )tt t

1d lg

d lgv d lg 1 i t d lg 1 i t1 i t

d t d t d t d t

la funzione δt risulta decrescente e concava

, , ( )' , ( )"

( ) ( )

2 3

0 2 3t

i i i i 2 ii lim 0 0 0

1 i t 1 i t 1 i t 1 i t 1 i t

risultando ovviamente

t t t

t

w 00 0 0

i d lg 1 iwdw dw dw lg 1 iw lg 1 i t

1 iw dw

( )( ) ( )

t

w

0

dwlg 1 i t

tr e e 1 i t( )

t

w

0

1dw lglg 1 i t 1 i t

t

1v e e e

1 i t( )

Lo schema generale delle relazioni esistenti tra le diverse funzioni finanziarie e le grandezze uniperiodali nel caso del regime finanziario dell’interesse semplice (e dello sconto razionale) con tasso d’interesse (e di sconto) uniperiodale effettivo costante e



analogamente lo schema generale delle relazioni esistenti tra le grandezze uniperiodali e le diverse funzioni finanziarie risultano

( )( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) (

t

t

t

t

t

r v i d

1 1 v t 1 1 d t 1r 1 r 1 t 1 i t

v 1 d

1 v 1 1 dv

1 r 1 t 1 1 v t 1 1 i t 1 d t 1

1 v t d ti r 1 t i t

v 1 d

r 1 t 1 v t i t d td

1 r 1 t 1 1 v t 1 1 i t 1 d t 1

r 1 1 v i d

1 r 1 t 1 1 v t 1 1 i t 1 d t 1

)

t t t t t

t t t t t

t t t

t t t t t

t t t t t

r v i d

r 1 1 v i di

t v t t 1 d t 1 t

r 1 1 v i dd

r t 1 1 v t 1 i t 1 1 d t 1 1 t 1

( )

( ) ( )( ) ( )

Ipotizzando un tasso d’interesse effettivo costante positivo, delle quattro funzioni finanziarie è possibile effettuare un rapido studio analitico al fine di poterne esaminare l’andamento grafico: la funzione rt risulta crescente e rettilinea

0t

r 1 lim 1 i t 1 i t i 0 1 i t 0, ( ) , ( )' , ( )"

la funzione vt risulta decrescente e concava



2

0 2 3t

1 1 i 1 2iv 1 lim 0 0 0

1 i t 1 i t 1 i t 1 i t 1 i t, , ( )' , ( )"

( ) ( )

la funzione it risulta crescente e rettilinea

0t

i 0 lim i t i t i 0 i t 0, ( ) , ( )' , ( )"

la funzione dt risulta crescente e convessa

2

0 2 3t

i t i t i i t 2 id 0 lim 1 0 0

1 i t 1 i t 1 i t 1 i t 1 i t, , ( )' , ( )"

( ) ( )



0t 0 t 0

P 1 d t 1M P r P 1 i t

1 d

( ( ))( )

t t0 t t

M 1 d MP M v

1 d t 1 1 i t

( )

( )

0t 0 t 0

P d tI P i P i t

1 d

( )

t tt t t

M d t M i tD M d

1 d t 1 1 i t

t

t 0 t0

0

M1

M P r 1Pi

t P t t



( ) ( )

( )

0

t 0 t t

0t 0 t

t

P1

M P M 1 vd

PM P t 1 1 v t 11 t 1

M

( )( )t 0

t 0 t t t t 00

00 t 0

t

M P11

M P r 1 1 v M M P 1 dPt

P di P i i v i P d

M 1 d

Esercizio 1.9 (2) - Calcolo di montanti >>> Esercizio 1.9 (3) - Calcolo di valori attuali >>> Esercizio 1.9 (4) - Calcolo di interessi e sconti >>> Esercizio 1.9 (5) - Calcolo di tassi di interesse e di sconto >>> Esercizio 1.9 (6) - Calcolo del tempo >>> Esercizio 1.9 (7) - Calcolo di capitali impiegati >>> Esercizio 1.9 (8) - Calcolo del periodo di raddoppio (2) >>>

1.10 - Regime finanziario “uniforme non scindibile” dello sconto

commerciale (e dell’interesse iperbolico) – Regime iperbolico

Il regime finanziario dello sconto commerciale (e dell’interesse iperbolico) detto pure dell’attualizzazione commerciale (e della capitalizzazione iperbolica) con tasso di sconto (e d’interesse) uniperiodale effettivo costante è caratterizzato da leggi finanziarie uniformi (dipendenti dalla sola durata dell’operazione finanziaria)

( )( ) ( )( )t

1 1t t r 1d 1 v t t 1

r 1 i

1 r 1 t 1 1 i t 1v 1 d t 1 1 v t

r 1 i



( ) ( )( ) ( )t

1 1 r 1t t t t 1

d 1 v r 1 i

1 1 r 1 ir

1 d t 1 1 v t 1 r 1 t 1 1 i t 1

( )( )t

1 1t t 1rd 1 v t 1tir 1

r 1 t i td d t 1 v t

r 1 i

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )t

1 1 r 1t t t t 1

d 1 v r 1 i

d t 1 v t r 1 t i ti

1 d t 1 1 v t 1 r 1 t 1 1 i t 1

e non scindibili (i valori finanziari cambiano in ipotesi di interruzione e ripresa dell’operazione finanziaria, nel caso di durata intermedia, anche “intermedia” precedente o successiva) durata intermedia

( ) ( ( )) ( ) , ( , )2

s t s t1

d

v v 1 d s 1 d t s 1 d t d s t s v s 0 t


( ), ( , )

2

t s s t

1 d t s d st 1v r 1 d t v s t 0

1 d s 1 d s d

durata “intermedia” successiva

2

s t s t

1 d s d t s t 1r v 1 d t v s t

1 d s t 1 d s t d

( ), ( , )

( ) ( )



La forza di sconto, come già indicato nel paragrafo precedente, risulta non costante e pari alla forza d’interesse

( )

( )

( )t

t

1 1t t 1

d i

d 1 d t

d lgv d lg 1 d t d id t

d t d t 1 d t 1 d t 1 i t 1

( ( )) ( ( ))tt t

1d lg

d lg r d lg 1 d t d lg 1 d t1 d t

d t d t d t d t

la funzione δt risulta crescente e concava

2 3

0 2 31

td

d d d d 2dd lim 0 0

1 d t 1 d t 1 d t 1 d t 1 d t, , ( )' , ( )"

( ) ( )

risultando ovviamente

( )

( )

( )

t t tt

w 00 0 0

1t

d

d d lg 1 dwdw dw dw lg 1 dw

1 dw dw

1lg 1 d t lg

1 d t

( )

t

w

0

dwlg 1 d t

t

1t

d

v e e 1 d t

t

w

0

1dw lg1 d t

t

1t

d

1r e e

1 d t

Lo schema generale delle relazioni esistenti tra le diverse funzioni finanziarie e le grandezze uniperiodali nel caso del regime



finanziario dello sconto commerciale (e dell’interesse iperbolico) con tasso di sconto (e d’interesse) uniperiodale effettivo costante e analogamente lo schema generale delle relazioni esistenti tra le grandezze uniperiodali e le diverse funzioni finanziarie risultano

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( )

( )

( )( )

t

r 1 1 1t t t 1 t

r 1 1 v i d

t

1 1t tr 11 v dt t 1

r 1 i

t

rt

r 1

r v i d

r 1 1 i 1r

1 r 1 t 1 1 1 v t 1 i t 1 1 d t

1 r 1 t 1 1 i t 1v 1 1 v t 1 d t

r 1 i

r 1 ti

1 r 1 t 1

( )

( ) ( )

( )( )

( )( )( ) ( )

1 1 1t t 1 t

1 v i d

t

11 tt 1r d1 v t 1tir 1

t

1t

r 1 11 vt t 1 t

r 1 i d

1 v t i t d t

1 1 v t 1 i t 1 1 d t

r 1 t i td 1 v t d t

r 1 i

r 1 i d1 v t

1 r 1 t 1 1 i t 1 1 d t

( ) ( )( ) ( )

( )

t t t t t

t t t t t

t t t t t

t t t t t

t t t

r v i d

r 1 1 v i di

r t 1 1 t 1 v 1 i t 1 1 t d 1 t 1

r 1 1 v i dd

r t t 1 i t t 1 t



Ipotizzando un tasso di sconto effettivo costante positivo, delle quattro funzioni finanziarie è possibile effettuare un rapido studio analitico al fine di poterne esaminare l’andamento grafico:

la funzione rt risulta crescente e concava

0 21

td

2

3

1 1 d 1r 1 lim 0

1 d t 1 d t 1 d t 1 d t

2d0

1 d t

, , ( )' , ( )"( )

( )

la funzione vt risulta decrescente e rettilinea

01

td

v 1 lim 1 d t 0 1 d t d 0 1 d t 0, ( ) , ( )' , ( )"

la funzione it risulta crescente e concava

0 21

td

2

3

d t d t d d ti 0 lim 0

1 d t 1 d t 1 d t 1 d t

2d0

1 d t

, , ( )' , ( )"( )

( )

la funzione dt risulta crescente e rettilinea

01

td

d 0 lim d t 1 d t i 0 d t 0, ( ) , ( )' , ( )"





( ( ))( ) t

0 t t t

1t 1

d t 1i

M 1 i t 1P M v M 1 d t

1 i

( )

( )0 0

t 0 t

1 1t 1 0 t

i d

P 1 i PM P r

1 i t 1 1 d t

tt t t t

1t 1

d t 1i

M i tD M d M d t

1 i

( )

0 0t 0 t

1 1t 1 t

i d

P i t P d tI P i

1 i t 1 1 d t

0

t t 0 t

t

P1

M M P 1 vd

t M t t

( ) ( )

( )

t

t 0 t0

tt 0 t

0

M1

M P r 1Pi

MM t 1 P r t 1 1t 1 1

P

( )( )0 t

t t 0 t t t 00

tt t t

0

P M1 1

M M P 1 v r 1 M P 1 iPt

M id M d d r d M i

P 1 i



Esercizio 1.10 (2) - Calcolo di montanti >>> Esercizio 1.10 (3) - Calcolo di valori attuali >>> Esercizio 1.10 (4) - Calcolo di interessi e sconti >>> Esercizio 1.10 (5) - Calcolo di tassi di interesse e di sconto >>> Esercizio 1.10 (6) - Calcolo del tempo >>> Esercizio 1.10 (7) - Calcolo di capitali impiegati >>> Esercizio 1.10 (8) - Calcolo del periodo di raddoppio (2) >>>

1.11 – Confronti tra regimi finanziari

Riepilogo delle formule caratteristiche dei tre regimi finanziari

( )

( )( )

( )

1t t 1i

t t

1t

d

cc cs ch

1 i

1 i t 1

1 i t1 i

r 1 d t 111 d

1 d1 d t

( )

( )

( )

( )

t1

t 1it t

1t

d

cc cs ch

1 i t 11 1 i

1 i t1 iv

1 d1 d1 d t

1 d t 1



( )

( )

( )

1t t 1i

t t

1t

d

cc cs ch

i t

1 i t 1

i t1 i 1

i d td t1 d 1

1 d1 d t

( )

( )

( )

t1

t 1it t

1t

d

cc cs ch

i ti t 1 i

1 i t1 1 id

d t1 1 dd t

1 d t 1

( )

( )

( )

( )

1t 1

i

t

1t

d

cc cs ch

i

1 i t 1i

lg 1 i 1 i t

lg 1 d dd

1 d t1 d t 1

Esercizio 1.11 (1) - Funzioni finanziarie nei 3 regimi finanziari >>> Esercizio 1.11 (2) - Fattori di capitalizzazione (polinomiali) >>> Esercizio 1.11 (3) - Acquisto progressivo di titoli >>>

1.12 Tassi equivalenti e tassi nominali



Considerati due tassi d’interesse (sconto) periodali, essi si definiscono equivalenti se comportano lo stesso valore delle funzioni finanziarie, con riguardo allo stesso intervallo temporale (ad esempio con riferimento allo stesso intervallo uniperiodale). Con riguardo, ad esempio, ai fattori di capitalizzazione e di attualizzazione, risulta

1

1 2 2

1 2 1 2

1

1 2 2

1 2 1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

t1 1

t t t

t t t t

t1 1

t t t

t t t t

t t 1t t

1 2 2

t t 1t t

1 2 2

r 1 i 1 i i 1 i 1cc

v 1 d 1 d d 1 1 d

i i tcs r 1 1 i i

t t t

d d tch v 1 1 d d

t t t

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Considerando, in particolare, tassi frazionati relativi a una frazione del periodo unitario

1 2

1 2

1 1 1 1t t m n

m n t t, ,

le condizioni precedenti risultano

nm n m

1 1 1 1

m n m n

nm n m

1 1 1 1

m n m n

1 1 1 1

m n m n

1 1 1 1

m n m n

r 1 i 1 i i 1 i 1

cc

v 1 d 1 d d 1 1 d

ncs r 1 m i 1 n i i i

m

nch v 1 md 1 nd d d

m

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )



Ponendo, rispettivamente, m = 1 oppure n = 1, si ottengono, in particolare, le relazioni esistenti tra tassi uniperiodali e tassi frazionati e viceversa

n n

1 1

n n

n n

1 1

n n

1 1

n n

1 1

n n

r 1 i 1 i i 1 i 1

ccv 1 d 1 d d 1 1 d

cs r 1 i 1 n i i n i

ch v 1 d 1 nd d nd

( ) ( )

( ) ( )

1

m m1 1

m m

1m m

1 1

m m

1 1

m m

1 1

m m

r 1 i 1 i i 1 i 1

cc

v 1 d 1 d d 1 1 d

ics r 1 m i 1 i i

m

dch v 1 md 1 d d

m

( ) ( )

( ) ( )

Nella pratica dei mercati finanziari, anziché considerare tassi effettivi relativi a 1/m del periodo unitario, è consuetudine utilizzare tassi nominali per un periodo unitario, rinnovabili (ossia convertibili) m volte nel periodo stesso



1

mm 1 1

m

1

mm 1 1

m

m 1

m

m 1

m

j m i m 1 i 1 j i

cc

md m 1 1 d d

1cs j m i m i i

m

1ch md m d d

m

(( ) ) ,

( ( ) ) ,

essendo logicamente

m

m m1 1

m

m

m m1 1

m

mm 1 m

m

mm 1 m

m

j ji i 1 1 i j

m mcc

d d 1 1 dm m

jcs j m i i m j

m

ch md d mm

, ,

, ,

,

,

Come si può notare dai risultati ottenuti, la definizione di tassi nominali risulta non significativa con riferimento ai regimi finanziari della capitalizzazione semplice e della capitalizzazione iperbolica, per cui le successive considerazioni saranno svolte con riguardo al solo regime finanziario della capitalizzazione (e attualizzazione) composta. Poiché risulta

(( ) ) ( ( ) ) ( ( ) )1 1 1

m m mm mj m 1 i 1 m 1 1 i m 1 1 d



lo studio della funzione del tasso nominale d’interesse jm sarà effettuato, considerando il frazionamento m variabile nell’insieme dei numeri reali (a parte il valore m = 0 di non definizione della funzione stessa) La funzione jm è definita per m ≠ 0, in particolare risulta

(( ) )1

mm

m o m olim j lim m 1 i 1 0

(( ) )1

mm

m o m olim j lim m 1 i 1

1

mm

m mlim j lim m 1 i 1 lg 1 i(( ) ) ( )

infatti (applicando, ove necessario, il teorema di De L’Hopital)

1 w

m

wm 0

1 i 1 0 1lim m 1 i 1 lim 0

w

( )(( ) )

1 w

m

wm 0

w w

w w

1 i 1lim m 1 i 1 lim

w

1 i 1 1 i lg 1 ilim lim

w 1 1

( )(( ) )

(( ) )' ( ) ( )

( )'

1 w

m

m w 0

w w

w 0 w 0

1 i 1 0lim m 1 i 1 lim

w 0

1 i 1 1 i lg 1 ilim lim

w 1

( )(( ) )

(( ) )' ( ) ( )

( )'

la quantità lg(1+i) è detta tasso nominale d’interesse rinnovabile di istante in istante ossia tasso istantaneo d’interesse; esso



coincide con la forza d’interesse (e il relativo rendimento a scadenza) costante, caratteristica del regime finanziario della capitalizzazione composta con tasso d’interesse costante

lg 1 i 1 i e i e 1( ) ,

Calcolando le due prime derivate della funzione jm

1

mm

1 1 1

m m m2

j m 1 i 1

11 i 1 m 1 i 1 i 1 1

m m

( )' ( (( ) ))'

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

mm

1 1 1 2

m m m2 2 3

j 1 i 1 1m

11 i 1 1 i 1 i

m m m m

( )" (( ) ( ) )'

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

poiché

mm 0lim j 1'

mm 0lim j '

mmlim j 0'

0

mj 0'

0 0

m mj 0 j 0'' , ''

si può rilevare che la funzione jm per m < 0 risulta decrescente e convessa, mentre per m > 0 risulta decrescente e concava



Dal punto di vista finanziario, le considerazioni relative al tasso nominale d’interesse vanno riferite alla funzione corrispondente ad m > 0, ossia al grafico presente nel primo quadrante. Con ragionamento analogo a quello adottato per i tassi nominali d’interesse, si può svolgere la trattazione relativa ai tassi nominali di sconto e in base alla precedente relazione di corrispondenza analitica tra i due tassi è possibile derivare facilmente considerazioni analoghe a quelle precedenti

m mm 0 m 0lim lim j

m mm 0 m 0lim lim j 0

m m

m mlim lim j ln 1 i lg 1 d( ) ( )

infatti (applicando il teorema di De L’Hopital)

1 w

m

m w 0

w w

w 0 w 0

1 1 d 0lim m 1 1 d lim

w 0

1 1 d 1 d lg 1 dlim lim

w 1

( )( ( ) )

( ( ) )' ( ) ( )

( )'



la quantità -lg(1-d) è detta tasso nominale di sconto rinnovabile di istante in istante ovvero tasso istantaneo di sconto; esso coincide con la forza di sconto costante, caratteristica del regime finanziario della attualizzazione composta con tasso di sconto costante

lg 1 d 1 d e d 1 e( ) ,

Poiché i tassi istantanei d’interesse e di sconto coincidono ,in seguito potremo sempre parlare di intensità istantanea oppure usare l’una oppure l’altra denominazione indifferentemente. Dalla specularità delle due funzioni jm e ρm è facile ottenere il grafico della seconda funzione relativa al tasso nominale di sconto, la quale per m < 0 risulta crescente e concava e per m > 0 risulta crescente e convessa

Ovviamente, anche in questo caso, dal punto di vista finanziario, le considerazioni relative al tasso nominale di sconto vanno riferite alla funzione corrispondente ad m > 0, ossia al grafico presente nel primo quadrante.




Lo schema generale delle relazioni esistenti fra le diverse funzioni finanziarie già introdotto in precedenza può essere integrato con le relazioni esistenti tra tassi effettivi e tassi nominali e intensità istantanea (d’interesse e di sconto), infatti, considerando

m m

m m

m m m mm m

j1 i 1 d 1 1 1 1

m m

j j1 1 1 j

m m m

( ) ( )

1

m m m m m mm m m m1

m 1 m

m

jj j 1 i

m 1 d1 1 d

m

( )

( )

1

m m m m m mm m m m1

m 1 m

m

j j j jj j 1 d

jm 1 i1 1 i

m

( )

( )

risulta



...

...

(( ) ) (( ) ) ... ( )

( ( ) ) ( ( ) ) ... ( )

( ) (

m m

m m

m m

m m

m m

1 1

mm m mm

m

1 1

mm m mm

m

i d j

jdi 1 1 1 1 e 1

1 d m m

jid 1 1 1 1 1 e

1 i m m

j m 1 i 1 m 1 d 1 m e 1

1m

jm 1 1 i m 1 1 d m 1 e

j1

m

h lg 1 i lg

) ...m mj1 d m lg 1 m lg 1

m m

Considerando tassi nominali d’interesse e di sconto con diversa convertibilità

nm n

mm n n

m

j j ji 1 1 1 1 j m 1 1

m n n

n

m nm

m n nmd 1 1 1 1 m 1 1

m n n

è possibile costruire il seguente schema generale relativo anche ai tassi per periodi frazionati



( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

(( ) ) (( ) ) (( ) ) (( ) )

( ( ) ) ( ( )

1 1 n n

n n

n n n n

n nm m m m1 1 1

m n n

n n n n

n nm m m m1 1 1

m n n

n n n n

n nm m m mm 1 1

n n

n

mm 1 1

n n

i d j

ji 1 i 1 1 d 1 1 1 1 1

n n

jd 1 1 i 1 1 d 1 1 1 1

n n

jj m 1 i 1 m 1 d 1 m 1 1 m 1 1

n n

m 1 1 i m 1 1 d

) ( ( ) ) ( ( ) )n n n

n nm m mj

m 1 1 m 1 1n n

dal quale è possibile trarre le diverse formule viste in precedenza, ponendo alternativamente

m = 1 n = 1

m →+∞ (con n qualsiasi oppure = 1)

n →+∞ (con m qualsiasi oppure = 1)


Con riferimento alle varie tipologie di tassi esaminate è possibile considerare formule approssimate, facendo riferimento ad opportuni sviluppi delle funzioni finanziarie in base alle formule di Mac Laurin: Tasso nominale d’interesse in funzione del tasso effettivo

d’interesse



1

k kmm

k 0 k 1

2 3 4

2 3 4

2 3

1 m 1 mj m 1 i 1 m i 1 m i

k k

1 m 1 m 1 m 1 mm i i i i

1 2 3 4

m 1 m 1 2m 1 m 1 2m 1 3m 1i i i i

2m 6m 24m

m 1 2m 1i 1 i 1 i 1

2m 3m

: :

: : : :...

( )( ) ( )( )( )...

3m 1

i 14m

...

Nota: i coefficienti binomiali considerati nel precedente sviluppo costituiscono una generalizzazione nel campo dei numeri razionali dei tradizionali coefficienti definiti normalmente nell’insieme dei numeri naturali Tasso effettivo d’interesse in funzione del tasso nominale

d’interesse

m k k

m m m

k 0 k 1

2 3 4

m m m m

2 3 4m m m m2 3

m mj j ji 1 1 1

k km m m

m m m mj j j j

1 2 3 4m m m m

m 1 m 1 m 2 m 1 m 2 m 3j j j j

2m 6m 24m

...

( )( ) ( )( )( )..

m m m m

m 1 m 2 m 3j 1 j 1 j 1 j 1

2m 3m 4m

.

...

Limitando gli sviluppi sino al secondo termine, si ottengono le seguenti formule approssimate

ˆ1

2mm m

m 1 m 1j m 1 i 1 i i i 1 i j

2m 2m

ˆ

1j i



m

2mm m m m

j m 1 m 1i 1 1 j j j 1 j

m 2m 2m

La funzione ˆmj è definita per m ≠ 0 ed operativamente per m > 0 e

in particolare risulta

m mm m m

m 1 iln 1 i lim j lim j lim i 1 i i 1

2m 2ˆ( )

infatti, considerando il seguente sviluppo secondo la formula di Mac Laurin, risulta

( )( ) ...

k 2 3 4 2

k 1

i i i i i iln 1 i i i i 1

k 2 3 4 2 2

Calcolando le due prime derivate

( ( ( )))ˆ( )' ( ( ))'2

m 2 2

m 1 i 2m 2 m 1 i ij i 1 i

2m 4m 2m

( )" ( )' ( )2 2 2

m 2 4 3

i 4mi ij

2m 4m m

poiché

mm 0 m 0

m 1lim j lim i 1 i

2mˆ

mm m

m 1 ilim j lim i 1 i i 1

2m 2ˆ



mm 0lim j '

ˆ 'mmlim j 0

0

mj 0ˆ '

0

mj 0ˆ ''

la funzione ˆmj presenta per m > 0 un andamento abbastanza

simile a quello visto per la funzione mj .

Risulta infine

22

m m mm m

m 1i lim j j j 1

2m 2 2ˆ lim


k 2 3 4 2

k 1

i e 1 1k 1 2 3 4 2 2

...! ! ! ! !

Operando in modo analogo relativamente ai tassi nominale ed effettivo di sconto, si ottengono le seguenti formule approssimate

ˆ1

2mm m

m 1 m 1m 1 1 d d d d 1 d

2m 2m

1 d

m

2mm m m m

m 1 m 1d 1 1 1

m 2m 2m

La funzione ˆm è definita per m ≠ 0 ed operativamente per m > 0

e in particolare risulta

m mm m m

m 1 dlg 1 d lim lim lim d 1 d d 1

2m 2( ) ˆ




k 2 3 4 2

k 1

d d d d d dlg 1 d d d d 1

k 2 3 4 2 2( ) ...

Calcolando le due prime derivate

( ( ))( ˆ )' ( ( ))'

2

m 2 2

m 1 d 2m 2 m 1 i dd 1 d

2m 4m 2m

( ˆ )" ( )'2 2 2

m 2 4 3

d 4md d

2m 4m m

Poiché

mm 0 m 0

m 1lim lim d 1 d

2mˆ

mm m

m 1 dlim lim d 1 d d 1

2m 2ˆ

m

m 0lim ˆ '

ˆ 'mmlim 0

0

m 0ˆ '

0

m 0ˆ ''

la funzione ˆm presenta per m > 0 un andamento abbastanza

simile a quello visto per la funzione m .

Risulta infine

22

m m mm m

m 1d lim lim 1

2m 2 2ˆ




k 2 3 4 2

k 1

d 1 e 1k 1 2 3 4 2 2

( )...

! ! ! ! !


Riepilogando i risultati precedenti ed integrandoli con le relazioni esistenti tra tassi nominali equivalenti d’interesse e di sconto e intensità istantanea, si ottiene il seguente schema relativo a valutazioni di tipo approssimato:

... ( )

( ) ...

...

m m

m m m m

m m m m

mm m

m

i d j

m 1 m 1i d 1 d j 1 j 1 1

2m 2m 2

m 1 m 1d i 1 i j 1 j 1 1

2m 2m 2

m 1 m 1j i 1 i d 1 d 1 1

2m 2m m 2m

m 1i 1 i d 1

2m

...

...

mm

m mm m

jm 1d j 1 1

2m m 2m

ji dh i 1 d 1 j 1 1

2 2 2m 2m

Considerando tassi nominali (approssimati) d’interesse e di sconto con diversa convertibilità, risulta

n

m2n

m n n n n

j m n m nj m 1 1 j j j 1 j

n 2mn 2mn



n

m2n

m n n n n

m n m nm 1 1 1

n 2mn 2mn

è possibile costruire il seguente schema

n n

m n n n n

m n n n n

j

m n m nj j 1 j 1

2mn 2mn

m n m nj 1 j 1

2mn 2mn

dal quale è possibile trarre le diverse formule viste in precedenza, ponendo alternativamente m = 1 n = 1

m →+∞ (con n qualsiasi oppure = 1)

n →+∞ (con m qualsiasi oppure = 1)


Lo schema generale delle relazioni esistenti tra le diverse funzioni finanziarie e i diversi tassi d’interesse (e di sconto) uniperiodali, nominali e istantanei nel caso del regime finanziario dell’interesse (e dello sconto) composto con tasso d’interesse (e di sconto) effettivo costante risulta



m m

t t mt mt tm mt

t t mt mt tm mt

t t mt mt tm mt

t t mt mt tm mt

i d j

jr 1 i 1 d 1 1 e

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e analogamente, lo schema generale delle relazioni esistenti tra i diversi tassi d’interesse (e di sconto) uniperiodali, nominali e istantanei e le diverse funzioni finanziarie, sempre nel caso del regime finanziario dell’interesse (e dello sconto) composto con tasso d’interesse (e di sconto) effettivo costante risulta

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Esercizio 1.12 (5) - Calcolo di montanti >>> Esercizio 1.12 (6) - Calcolo di valori attuali >>> Esercizio 1.12 (7) - Calcolo di tassi di interesse e di sconto >>> Esercizio 1.12 (8) - Calcolo del tempo >>> Esercizio 1.12 (9) - Calcolo di capitali impiegati >>>



Esercizi svolti in Excel Microsoft

William (Bill) Henry Gates III (Seattle 1955), è un imprenditore, informatico statunitense, è il fondatore e presidente di Microsoft Corporation. Nel 1968 Gates (e i suoi compagni di scuola) ha accesso per la prima volta ad un computer (un DEC PDP-11) e alla fine dello stesso anno, insieme a Paul Allen, fonda la Lakeside Programmers Group e successivamente, nel 1972, Traf-O-Data, per la progettazione di un computer per la misurazione del traffico stradale. Nel 1973, Bill Gates si iscrive alla Harvard University prima in legge e poi in matematica, nel 1974 trova lavoro alla Honeywell e successivamente, nel 1975, insieme ad Allen fonda una società di software (la Microsoft Corporation), che nel 1979 trova la sua sistemazione, con i suoi 16 dipendenti a Seattle. L'attività allo sviluppo porta alla creazione del foglio di calcolo elettronico Multiplan per Apple II e, nel 1982, di un sistema operativo CP/M (poi evolutosi in MS-DOS) e, successivamente, di Microsoft Word nel 1983 e di Microsoft Excel nel 1985. Fin dal 1983 la Microsoft un'interfaccia grafica, funzionante dapprima sul sistema operativo MS-DOS, e poi sviluppata nel 1985 per Windows 1.0, fino alla versione Windows 3.1 nel 1992. Successivamente nel 1995 la Microsoft introduce Windows 95, che è il primo sistema

http://it.wikipedia.org/wiki/Seattle


http://it.wikipedia.org/wiki/Imprenditore

http://it.wikipedia.org/wiki/Informatico

http://it.wikipedia.org/wiki/Stati_Uniti_d%27America

http://it.wikipedia.org/wiki/Microsoft_Corporation


http://it.wikipedia.org/wiki/Computer

http://it.wikipedia.org/wiki/Digital_Equipment_Corporation

http://it.wikipedia.org/wiki/PDP-11


http://it.wikipedia.org/wiki/Traf-O-Data

http://it.wikipedia.org/wiki/Harvard_University

http://it.wikipedia.org/wiki/Legge

http://it.wikipedia.org/wiki/Matematica


http://it.wikipedia.org/wiki/Honeywell

http://it.wikipedia.org/wiki/Software

http://it.wikipedia.org/wiki/Microsoft_Corporation

http://it.wikipedia.org/wiki/Seattle

http://it.wikipedia.org/wiki/Foglio_di_calcolo

http://it.wikipedia.org/wiki/Multiplan

http://it.wikipedia.org/wiki/Apple_II

http://it.wikipedia.org/wiki/CP/M

http://it.wikipedia.org/wiki/Microsoft_Word


http://it.wikipedia.org/wiki/Microsoft_Excel


http://it.wikipedia.org/wiki/Windows_1.0




http://it.wikipedia.org/wiki/Windows_95



operativo grafico per azienda. Dal 1985 al 1991 Microsoft e IBM collaborano per la generazione di sistemi operativi, ma nel 1991 Gates decide di modificare il nome del proprio OS/2 in Windows NT. Nel 1992, Gates viene premiato con la Medaglia Nazionale per la Tecnologia dal Presidente degli Stati Uniti, George H.W. Bush. Da quel momento La Microsoft si espande sempre più e produce sempre nuove e più potenti edizioni del sistema operativo Windows e del pacchetto integrato di produttività individuale Office. Nel 2008, dopo trentatré anni di attività operativa, Bill Gates dà ufficialmente le dimissioni da presidente della Microsoft Corporation, lasciando il suo posto a Steve Ballmer, suo braccio destro da ormai più di due anni. Da allora, Gates si dedica a tempo pieno alla sua Foundation e alla ricerca di nuovi software, per una maggior semplicità di utilizzo da parte degli utenti.

Esercizio 1.4 (1) - Funzioni finanziarie

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http://it.wikipedia.org/wiki/IBM

http://it.wikipedia.org/wiki/Windows_NT

http://it.wikipedia.org/wiki/Windows_NT


http://it.wikipedia.org/wiki/Stati_Uniti_d%27America

http://it.wikipedia.org/wiki/George_H.W._Bush

http://it.wikipedia.org/wiki/Steve_Ballmer

http://it.wikipedia.org/wiki/Software



Esercizio 1.4 (2) - Schema generale delle funzioni finanziarie

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Esercizio 1.7 (1) - Grandezze finanziarie uniperiodali

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Esercizio 1.7 (2) - Approssimazione di grandezze finanziarie

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Esercizio 1.8 (1) - Funzioni finanziarie al variare della durata

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Esercizio 1.8 (2) - Calcolo di montanti

Calcolare il montante di € 1000 per 2 anni e 3 mesi al tasso

annuo effettivo d’interesse del 5.75% Calcolare il montante di € 2000 per 3 anni e 9 mesi al tasso

annuo effettivo di sconto del 4.30% Calcolare il montante di € 3000 per 4 anni e 6 mesi in base alla

forza d’interesse costante del 3.50%



.

.

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.

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Esercizio 1.8 (3) - Calcolo di valori attuali

Calcolare il valore attuale di € 6000 per 1 anni e 3 mesi al tasso

annuo effettivo d’interesse del 3.75% Calcolare il valore attuale di € 5000 per 2 anni e 6 mesi al tasso

annuo effettivo di sconto del 2.70% Calcolare il valore attuale di € 4000 per 7 anni e 9 mesi in base

alla forza di sconto costante del 2.50%



.

.

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.

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Esercizio 1.8 (4) - Calcolo di interessi e sconti

Calcolare l’interesse (e lo sconto) prodotto da € 8000 per 18

mesi al tasso annuo effettivo d’interesse del 4.75% Calcolare l’interesse (e lo sconto) prodotto da € 7800 per 3

anni e 6 mesi al tasso annuo effettivo di sconto del 1.70% Calcolare l’interesse (e lo sconto) prodotto da € 6700 per 6

anni in base alla forza d’interesse/sconto costante dello 0.75%



.

.

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.

.

.

.

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D P 1 e 6700 1 e 6700 1 1 0 00753 ) )6



Esercizio 1.8 (5) - Calcolo di tassi di interesse e di sconto

Calcolare il tasso annuo effettivo d’interesse (e di sconto e la

relativa forza d’interesse/sconto costante) relativamente ad un’operazione caratterizzata da: importo iniziale di € 18000, importo finale di € 20000, durata di 5 anni e 9 mesi

.

.

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t 5 75



Esercizio 1.8 (6) - Calcolo del tempo

Determinare in quanto tempo un capitale di € 10000 genera un

montante di € 15000 al tasso annuo effettivo d’interesse del 12.50%

( ) ( . )t 0lgM lgP lg15000 lg10000

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Esercizio 1.8 (7) - Calcolo di capitali impiegati

Al tempo iniziale 0 si è impiegato un capitale di importo C e

dopo 18 mesi un ulteriore capitale di importo 2C e alla fine del



quinto anno si è ottenuto un montante pari ad € 5000. Avendo effettuato l’operazione al tasso annuo effettivo d’interesse del 6.50%, si determini l’ammontare dei due capitali impiegati

.

.

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Calcolo del periodo di raddoppio del capitale al variare del

tasso annuo effettivo di interesse

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Calcolo del periodo di raddoppio, triplicazione … di un

capitale al variare del tasso annuo effettivo d’interesse



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annuo effettivo d’interesse del 5.75% Calcolare il montante di € 2000 per 3 anni e 9 mesi al tasso

annuo effettivo di sconto del 4.30%

.

.

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anni e 6 mesi al tasso annuo effettivo di sconto del 1.70%

.

.

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.

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Calcolare il tasso annuo effettivo d’interesse (e di sconto)

relativamente ad un’operazione caratterizzata da: importo iniziale di € 18000, importo finale di € 20000, durata di 5 anni e 9 mesi

.

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t 0

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montante di € 15000 al tasso annuo effettivo d’interesse del 12.50%

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0

M P 15000 10000t

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Al tempo iniziale 0 si è impiegato un capitale di importo C e dopo 18 mesi un ulteriore capitale di importo 2C e alla fine del quinto anno si è ottenuto un montante pari ad € 5000. Avendo effettuato l’operazione al tasso annuo effettivo d’interesse del 6.50%, si determini l’ammontare dei due capitali impiegati

( ) ( )( )

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Esercizio 1.9 (8) - Calcolo del periodo di raddoppio (2)

Calcolo del periodo di raddoppio, triplicazione … di un

capitale, in base ad un assegnato tasso annuo effettivo d’interesse

%

%

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2010

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Calcolare il montante di € 1000 per 2 anni e 3 mesi al tasso annuo effettivo d’interesse del 5.75%

Calcolare il montante di € 2000 per 3 anni e 9 mesi al tasso annuo effettivo di sconto del 4.30%

.

.

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anni e 6 mesi al tasso annuo effettivo di sconto del 1.70%

.

.

.

.

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Calcolare il tasso annuo effettivo d’interesse (e di sconto)

relativamente ad un’operazione caratterizzata da: importo iniziale di € 18000, importo finale di € 20000, durata di 5 anni e 9 mesi



...( ) ( . )

.

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montante di € 15000 al tasso annuo effettivo di sconto del 12.50%

.t 0

t

M P 15000 10000t

M d 15000 0 125


Al tempo iniziale 0 si è impiegata un capitale di importo C e

dopo 18 mesi un ulteriore capitale di importo 2C e alla fine del



quinto anno si è ottenuto un montante pari ad € 5000. Avendo effettuato l’operazione al tasso annuo effettivo di sconto del 6.50%, si determini l’ammontare dei due capitali impiegati

. . .

. . .

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1 0 065 5 1 0 065 3 5


Calcolo del periodo di raddoppio, triplicazione … di un capitale, in base ad un assegnato tasso annuo effettivo d’interesse



%

%

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2010

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Esercizio 1.11 (1) - Funzioni finanziarie nei 3 regimi finanziari

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Esercizio 1.11 (2) - Fattori di capitalizzazione (polinomiali)

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...





Esercizio 1.11 (3) - Acquisto progressivo di titoli

Un individuo dispone di un capitale C e al tempo iniziale 0 acquista titoli fruttiferi scadenti al tempo T, di importo nominale P, quotati al corso unitario di mercato Q0 e caratterizzati da cedole annuali al tasso i1, depositando l'eventuale rimanenza in un c/c bancario caratterizzato da un tasso annuo costante g (<i1) In ciascuno dei tempi t = 1,2,...,T-1, con il ricavato delle cedole più il saldo del c/c bancario, l'individuo acquista altri titoli della stessa specie e scadenza ai diversi corsi unitari di mercato Qt=1,2,…,T-1, depositando l'eventuale rimanenza nel c/c. Infine, al tempo finale T l'individuo versa nel c/c il ricavo dei titoli e le ultime cedole. Si chiede di determinare: il numero dei titoli acquistati in ognuno dei tempi t = 0,1,2...T-1, il saldo del c/c bancario in ciascuno dei tempi t = 0,1,2,...,T-1,T,

dopo aver effettuato le dovute operazioni. Ipotizzando, con riferimento al rendimento dei titoli, la possibilità che il tasso sia variabile it=1,2,…,T, si risponda ai quesiti precedenti.

Si considerino i seguenti dati (variabili), come ipotesi di lavoro:

Capitale C = 10000 Scadenza dei titoli T = 5 (fisso) Importo nominale P = 500 Corso del tempo iniziale Q0 = 0.90 Corsi degli anni successivi Qt=1,2,…,T-1 = 0.95, 0.96,0.97,0.98 Tassi dei titoli i1 = 10%

it=2,3,…,T = 11%, 12%, 13%, 14% Tasso bancario g = 5% Caso di studio Sw = 1,2 Tassi e prezzi dei titoli



T

s 1 s

s 1

i i Sw 1 i Sw 2ˆ ( ) ( )

T 1

s s

s 0

P P Q

Disponibilità iniziale

0D C

Numero titoli acquistati e posseduti al tempo iniziale

00 0

0

DM N int

P

Saldo del c/c bancario al tempo iniziale

0 0 0 0S D N P

Disponibilità successive

T

s s 1 s 1 s

s 1

D S 1 g M P i( )

Numero titoli acquistati ai tempi successivi

T 1

ss

s 1 s

DN int

P

Numero titoli posseduti ai tempi successivi

T 1

s s 1 s

s 1

M M N

Saldo del c/c bancario ai tempi successivi



T 1

s s s s

s 1

S D N P

Saldo del c/c bancario al tempo finale

T T T 1S D M P





Ipotizzando che l’individuo possa acquistare un ulteriore titolo anche in eccedenza rispetto alla sua disponibilità, prelevando dal c/c bancario in base ad un tasso annuo costante per saldi debitori h (>it=1,2,…,t), il problema si modifica nel modo seguente: Tasso bancario debitore h =15% Numero titoli acquistati e posseduti al tempo iniziale



00

0

DN int

P

ˆ(( ( ) ( ( )) ) )0 1 0 0 0 0 0 0 0N P i D N P g P D N P h 0 0 0 0M N N

Saldo del c/c bancario al tempo iniziale

0 0 0 0 0S D N N P( )

Disponibilità successive

T

s s 1 s 1

s 1

f g S 0 h S 0( ) ( )

T

s s 1 s s 1 s

s 1

D S 1 f M P i( )

Numero titoli acquistati ai tempi successivi

T 1

ss

s 1 s

DN int

P

ˆ(( ( ) ( ( )) ) )T 1

s s 1 s s s s s s s

s 1

N P i D N P g P D N P h 0

Numero titoli posseduti ai tempi successivi

T 1

s s 1 s s

s 1

M M N N

Saldo del c/c bancario ai tempi successivi

T 1

s s s s s

s 1

S D N N P( )






Calcolo dei tassi nominali d’interesse, dei tassi nominali di sconto ed intensità istantanea (d’interesse e/o di sconto) equivalenti ad un tasso effettivo d’interesse assegnato

1

mm 1

m

1

mm 1

m

j m i m 1 i 1lg 1 i

lg 1 dmd m 1 1 d

(( ) )( )

( )( ( ) )






Calcolo di tassi nominali d’interesse jm da analoghi tassi nominali d’interesse jn con diversa convertibilità Nota: per i tipi di convertibilità sono stati scelti quelli tipici relativi a frazionamento dell’anno e cioè semestrale (2), quadrimestrale (3), trimestrale (4), bimestrale (6) e mensile (12) e istantaneo (999)




Calcolo dei tassi nominali d’interesse e di sconto e intensità istantanea (tramite formule approssimate) equivalenti ad un tasso effettivo assegnato e confronto con le formule esatte






Calcolo di tassi nominali (approssimati) d’interesse da analoghi tassi nominali d’interesse con diversa convertibilità





annuo nominale (m = 2) d’interesse del 5.75% Calcolare il montante di € 2000 per 3 anni e 9 mesi al tasso

annuo nominale (m = 3) di sconto del 4.30% Calcolare il montante di € 3000 per 4 anni e 6 mesi in base al

tasso istantaneo d’interesse del 3.50%

2

3

0 035

2 2 25 2 25

t

0 0575i 1 1

2

3 3 75 3 75

t

0 043d 1 1

3

0 035 4 50

t

i e 1

0 0575M 1000 1 1000 1 0 05832656

2

0 043M 2000 1 2000 1 0 04238661

3

M 3000 e 3000 1 0 03561971.

. .

.( )

. .

.( )

. .

.( ) ( . )

.( ) ( . )

( . )

4 50.



2 25

t

1i 0 0575 1 0 0575

4

3 75

t

2d 0 043 1 0 043

6

4 50

t

0 035i 0 035 1

2

M 1000 1 0 05832656

M 2000 1 0 04238367

M 3000 1 0 03561250

.

. ( . )

.

. ( . )

.

.. ( )

( . )

( . )

( . )



annuo nominale (m = 4) d’interesse del 3.75% Calcolare il valore attuale di € 5000 per 2 anni e 6 mesi al tasso

annuo nominale (m = 6) di sconto del 2.70% Calcolare il valore attuale di € 4000 per 7 anni e 9 mesi in base

al tasso istantaneo di sconto costante del 2.50%

4

6

0 025

4 1 25 1 25

0

0 0375i 1 1

4

6 2 50 2 50

0

0 027d 1 1

6

0 025 7 75

0

d 1 e

0 0375P 6000 1 6000 1 0 03803065

4

0 027P 5000 1 5000 1 0 02669807

6

P 4000 e 4000 1 0 02469009.

. .

.( )

. .

.( )

. .

.( ) ( . )

.( ) ( . )

( .

7 75.)




Calcolare il tasso annuo nominale d’interesse (m = 12) (e di

sconto (m = 24)) relativamente ad un’operazione caratterizzata da: importo iniziale di € 18000, importo finale di € 20000, durata di 5 anni e 9 mesi

1 1

12 5 75 24 5 75

12 24

20000 18000j 12 1 24 1

18000 20000

. .

,





montante di € 15000 al tasso annuo nominale d’interesse e di sconto (m = 360, 52, 24, 12, 6, 4, 3, 2, 1, 1/2, 1/4) del 12.50%

lg15000 lg10000 lg15000 lg10000t t

0 125 0 125m lg 1 m lg 1

m m

1 1m 360 52 24 12 6 4 3 2 1

2 4

,. .

( ) ( )

, , , , , , , , , ,




Al tempo iniziale 0 si è impiegata un capitale di importo C e

dopo 18 mesi un capitale doppio di importo 2C e alla fine del quinto anno si è ottenuto un montante pari ad € 5000. Avendo effettuato l’operazione al tasso annuo nominale d’interesse (m = 12) del 6.50%, si determini l’ammontare dei due capitali impiegati



12 5 12 3 5

60 42

0 065 0 065C 1 2C 1 5000

12 12

5000C

1 00541667 2 1 00541667

.. .( ) ( )

. .



Esercizi svolti in Apl Dyalog

Kenneth (Ken) Eugene Iverson (Camrose (Alberta) Canada 1920 – Toronto 2004) è stato un informatico canadese noto aver sviluppato nel 1962 la notazione matematica per il linguaggio di programmazione funzionale APL. Nel 1979 Iverson è stato insignito del premio Turing per i suoi contributi alla notazione matematica e alla teoria dei linguaggi di programmazione. Nato da una famiglia contadina di origine norvegese, Iverson ha mostrato, fin da ragazzo, un'attitudine precoce per la matematica. Durante la seconda guerra mondiale, mentre serviva nella Royal Canadian Air Force, ha ottenuto il diploma di scuola superiore, seguendo corsi per corrispondenza. Dopo la guerra, entrato nella Queen's University di Kingston (Ontario), si è laureato nel 1950 in Matematica e Fisica. Continuando la sua formazione, Iverson ha conseguito la Laurea in Matematica presso l'Università di Harvard ed ha iniziato a lavorare con Howard Aiken (progettista del Harvard Mark I, uno dei primi computer digitali) e Wassily Leontief (economista, ideatore del modello input-output di analisi economica, per il quale avrebbe ottenuto il premio Nobel). Il Modello di Leontief richiedeva grandi matrici e Iverson ha lavorato in programmi in grado di valutare queste matrici sul Harvard Mark IV (conseguendo il dottorato di ricerca in Matematica Applicata nel 1954, con una tesi basata su questo lavoro). Iverson ha soggiornato in Harvard come professore assistente per cinque anni, non riuscendo però a passare nel ruolo universitario. Nel

http://en.wikipedia.org/wiki/Computer_scientist

http://en.wikipedia.org/wiki/Canadian

http://en.wikipedia.org/wiki/Programming_language

http://en.wikipedia.org/wiki/Programming_language

http://en.wikipedia.org/wiki/Turing_Award

http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_notation

http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_notation

http://en.wikipedia.org/wiki/Programming_language_theory

http://en.wikipedia.org/wiki/Farmers

http://en.wikipedia.org/wiki/Norwegian_people

http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematics

http://en.wikipedia.org/wiki/World_War_II

http://en.wikipedia.org/wiki/Royal_Canadian_Air_Force

http://en.wikipedia.org/wiki/Royal_Canadian_Air_Force

http://en.wikipedia.org/wiki/Queen%27s_University

http://en.wikipedia.org/wiki/Kingston,_Ontario

http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematics

http://en.wikipedia.org/wiki/Physics

http://en.wikipedia.org/wiki/Master%27s_degree

http://en.wikipedia.org/wiki/Harvard_University

http://en.wikipedia.org/wiki/Howard_Aiken

http://en.wikipedia.org/wiki/Harvard_Mark_I

http://en.wikipedia.org/wiki/Wassily_Leontief

http://en.wikipedia.org/wiki/Input-output_model

http://en.wikipedia.org/wiki/Nobel_prize

http://en.wikipedia.org/wiki/Harvard_Mark_IV

http://en.wikipedia.org/wiki/Harvard_Mark_IV

http://en.wikipedia.org/wiki/Doctor_of_Philosophy

http://en.wikipedia.org/wiki/Applied_Mathematics

http://en.wikipedia.org/wiki/Assistant_professor



1960, Iverson è stato assunto dall’IBM per sviluppare, insieme all’analista Adin Falkoff, una notazione matematica necessaria per un linguaggio di programmazione funzionale da utilizzare su calcolatori della serie System/360 IBM. Nel1980, Iverson ha lasciato IBM per la IP Sharp Associates, azienda leader canadese nel campo del timesharing, dove ha implementato lo sviluppo del linguaggio di programmazione APL. Nell'estate del 1989, Iverson, con Roger Hui e Arthur Whitney, ha prodotto un prototipo dell’interprete J, sulle cui implementazioni, Iverson e Hui hanno continuato a collaborare per i successivi 15 anni.

Esercizio 1.4 (1) - Funzioni finanziarie

Esercizio 1.4 (2) - Schema generale delle funzioni finanziarie

http://en.wikipedia.org/wiki/Adin_Falkoff

http://en.wikipedia.org/wiki/IBM_System/360

http://en.wikipedia.org/wiki/I._P._Sharp_Associates

http://en.wikipedia.org/wiki/Roger_Hui

http://en.wikipedia.org/wiki/Arthur_Whitney_(computer_scientist)



Esercizio 1.7 (1) - Grandezze finanziarie uniperiodali









Nel caso di utilizzazione del tasso uniperiodale di sconto o della forza d’interesse, l’utilizzazione delle precedenti funzioni richiede la conversione del parametro di sinistra al fine di ricondursi alla variabile prevista dalla funzione

rtcc1I

vtcc1Z id D T

itcc1iwW

dtcc1

( )

( )



Nel caso di utilizzazione di grandezze finanziarie diverse da quelle indicate, l’utilizzazione delle precedenti funzioni richiede la conversione dei parametri di sinistra (ed eventualmente di destra) al fine di ricondursi alle variabili previste dalla funzione

rcc1IT

vcc1ir RT

Z Ticc1iv VT

dcc1id DT

wcc1

( )

( )

( )

ITI

ir RTZ tcc1 id D

iv VTiwW

id DT

( )( )

( )( )

( )




















Nel caso di utilizzazione del tasso uniperiodale di sconto, l’utilizzazione delle precedenti funzioni richiede la conversione del parametro di sinistra al fine di ricondursi alla variabile prevista dalla funzione

rtcs1

vtcs1I

Z Titcs1id D

dtcs1

wtcs1

( )




IT

ir RT ics1Z T

iv VT dcs1

id DT

( )

( )

( )

IT

ir RT IZ tcs1

iv VT id D

id DT

( )

( ) ( )

( )


Esercizio 1.9(3) - Calcolo di valori attuali













Nel caso di utilizzazione del tasso uniperiodale d’interesse, l’utilizzazione delle precedenti funzioni richiede la conversione del parametro di sinistra al fine di ricondursi alla variabile prevista dalla funzione

rtch1

vtch1D

Z Titch1di I

dtch1

wtch1

( )




DT

dv VT dch1Z T

dr RT ich1

di IT

( )

( )

( )

DT

dv VT DZ tch1

dr RT di I

di IT

( )

( ) ( )

( )

















NO







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Università degli Studi La Sapienza Anno accademico 2012 ... 2014-15 Fin Lezioni (29set2014).pdf ·...

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