Analisi 2 Polo di Savona
Analisi Matematica 2
Prove Parziali
A.A. 2012/2018
1- PrPzAmT.TEX— []
Analisi 2 Polo di Savona Prima Prova parziale 23/11/2011
Prima Prova parziale 23/11/2011
Si consideri la funzione
f(x, y) =
{x− y3 |x| ≤ |y3|0 altrove
<A> Determinare il campo di definizione di f e l’insieme su cui f e continua.
<B> Determinare se f e differenziabile in (1, 1) ed in caso affermativo scrivere l’equazione del piano tangenteal suo grafico in (1, 1).
<C> Determinare se f e differenziabile in (0, 1) ed in caso affermativo scrivere l’equazione del piano tangenteal suo grafico in (0, 1).
<D> Calcolare le derivate direzionali di f in (0, 0).
<E> Determinare massimi e minimi assoluti di f su Q = [0, 1]× [0, 1].
<F> Calcolare∫Qf(x, y)dxdy
<G> Determinare la direzione di massima pendenza per f nel punto (0, 1).
2- PrPzAmT.TEX— [PrPzAmT13.TEX]
Analisi 2 Polo di Savona Seconda Prova parziale 17/12/2011
Seconda Prova parziale 17/12/2011
Si consideri
V = {(x, y, z) ∈ R3 : z ≥ 1− y , z ≤ 2− y , x ≥ 1 , x ≤ 2 , y ≥ 0 , y ≤ 1}
<A> Calcolare il volume di VSi considerino due variabili aleatorie indipendenti: ξ con distribuzione triangolare che restituisce numeri
in [0, 2] ed ha moda 1/3 ed η uniforme su [1, 3]
<B> Determinare la PDF di ξ , η e ξ + η
<C> Calcolare media e varianza di ξ , η e ξ + η
3- PrPzAmT.TEX— [PrPzAmT13.TEX]
Analisi 2 Polo di Savona Prima Prova parziale 04/11/2013
Prima Prova parziale 04/11/2013
Si consideri la funzione
f(x, y) = |(y − sin(x))(y − cos(x))|
<A> Determinare il campo di definizione di f e l’insieme su cui f e continua.
<B> Determinare se f e differenziabile in (1, 1) ed in caso affermativo scrivere l’equazione del piano tangenteal suo grafico in (1, 1).
<C> Determinare se f e differenziabile in (π/4,√
2/2) ed in caso affermativo scrivere l’equazione del pianotangente al suo grafico in (π/4,
√2/2).
<D> Calcolare le derivate direzionali di f in (π/4,√
2/2).
<E> Determinare massimi e minimi assoluti di f su Q = {(x, y) : x ∈ [0, π], y ∈ [0, sin(x)]}.
<F> Determinare la direzione di massima pendenza per f nel punto (1, 1).
4- PrPzAmT.TEX— [PrPzAmT14.TEX]
Analisi 2 Polo di Savona Seconda Prova parziale 01/12/2013
Seconda Prova parziale 01/12/2013
<A> Determinare il punto dell’iperbole
x2 − y2 = 1
avente minima distanza dal punto (0, 1)
<B> Calcolare il volume del solido definito da
V = {(x, y, z) ∈ R3 : z ≤ 1
2(x+ 1) , z ≥
√x2 + y2}
5- PrPzAmT.TEX— [PrPzAmT14.TEX]
Analisi 2 Polo di Savona Seconda Prova parziale 01/12/2013
Seconda Prova parziale 01/12/2013
<A> Determinare il punto dell’iperbole
x2 − y2 = 1
avente minima distanza dal punto (0, 1)
<B> Calcolare il volume del solido definito da
V = {(x, y, z) ∈ R3 : z ≤ 1
2(x+ 1) , z ≥
√x2 + y2}
6- PrPzAmT.TEX— [PrPzAmT14.TEX]
Analisi 2 Polo di Savona Terza Prova parziale 07/01/2014
Terza Prova parziale 07/01/2014
Si consideri la funzione
f(x) =
a
x4x > 1
bx+ c x ∈ [0, 1]0 altrove
<A> Determinare a, b, c in modo che f sia la PDF di una variabile aleatoria ξ
<B> Determinare a, b, c in modo che la media di ξ sia1
<C> Determinare a, b, c in modo che la varianza di ξ sia 1
<D> Calcolare P (4 ≤ ξ ≤ 5)
<E> Calcolare P (−1 ≤ ξ ≤ 0)
7- PrPzAmT.TEX— [PrPzAmT15.TEX]
Analisi 2 Polo di Savona Prima Prova parziale 03/11/2014
Prima Prova parziale 03/11/2014
Si consideri la funzione
f(x, y) =
{x2 + y2 |x|+ |y| ≤ 11 altrove
<A> Determinare il campo di definizione di f e l’insieme su cui f e continua.
<B> Determinare se f e differenziabile in (1/2, 1/3) ed in caso affermativo scrivere l’equazione del pianotangente al suo grafico in (1/2, 1/3).
<C> Determinare se f e differenziabile in (1, 0) ed in caso affermativo scrivere l’equazione del piano tangenteal suo grafico in (1, 0).
<D> Calcolare le derivate direzionali di f in (1, 0).
<E> Determinare la direzione di massima pendenza per f nel punto (1, 0).
<F> Determinare massimi e minimi assoluti di f su R2.
8- PrPzAmT.TEX— [PrPzAmT15.TEX]
Analisi 2 Polo di Savona Seconda Prova parziale 12/12/2014
Seconda Prova parziale 12/12/2014
Si consideri la funzione
D = {(x, z) ∈ R2 : x2 + z2 ≤ 1 , x2 + z2 − 2x ≤ 0}
<A> Disegnare D ed il trasformato di D mediante il cambio di variabili{x = ρ cos θz = ρ sin θ
<B> Calcolare l’aerea di D.
<C> Calcolare ∫D
xdxdz
Si consideri il volume V generato dalla rotazione di D attorno all’asse z
<D> Calcolare il volume di V .
<E> Determinare massimi e minimi assoluti di F (x, y, z) = z su V .
9- PrPzAmT.TEX— [PrPzAmT15.TEX]
Analisi 2 Polo di Savona Terza Prova parziale 08/01/2015
Terza Prova parziale 08/01/2015
Sia ξ una variabiile aleatoria binomiale relativa a n ripetizioni di una prova bernoulliana con probabilitadi successo p e sia η una variabiile aleatoria binomiale relativa a m ripetizioni di una prova bernoulliana conprobabilita di successo q
<A> Impostare il calcolo per determinare la PDF di ξ e di η
<B> Tenendo conto dell’identita di Vandermonde, che afferma che
(n+m
k
)=
k∑j=0
(n
j
)(m
k − j
)
Determinare, per p = q = 1/2, la PDF di ξ + ηed interpretare il risultato.Si considerino tre scatole in cui sono contenuti dadi di colore diverso nelle quantita che seguono:
- I scatola : 8 dadi Neri, 5 dadi Bianchi, 7 dadi Gialli- II scatola : 13 dadi Neri, 7 dadi Bianchi,- III scatola : 5 dadi Neri, 10 dadi Bianchi;
<C> Si sceglie una scatola e si estrae un dado Bianco; calcolare la probabilita che sia stata scelta la scatolaI, II, III
<D> Si sceglie una scatola e si estrae un dado Nero; calcolare la probabilita che sia stata scelta la scatola I,II, III
<E> Si sceglie una scatola e si estrae un dado Giallo; calcolare la probabilita che sia stata scelta la scatolaI, II, III
10- PrPzAmT.TEX— [PrPzAmT16.TEX]
Analisi 2 Polo di Savona Prima Prova parziale 03/11/2015
Prima Prova parziale 03/11/2015
Si consideri la funzione
f(x, y) = |1− x2 − y2|
<A> -[3] Determinare il campo di definizione di f e l’insieme su cui f e continua.
<B> -[3] Determinare se f e differenziabile in (0, 1/2) ed in caso affermativo scrivere l’equazione del pianotangente al suo grafico in (0, 1/2).
<C> - [4] Determinare se f e differenziabile in (1, 0) ed in caso affermativo scrivere l’equazione del pianotangente al suo grafico in (1, 0).
<D> -[6]Calcolare le derivate direzionali di f in (1, 0).
<E> - [5]Determinare la direzione di massima pendenza per f nel punto (1, 0).
<F> -[4] Determinare massimi e minimi assoluti di f su R2.
11- PrPzAmT.TEX— [PrPzAmT16.TEX]
Analisi 2 Polo di Savona Seconda Prova parziale 10/12/2015
Seconda Prova parziale 10/12/2015
SiaA = {(x, y, z) ∈ R3 : 2− 2x ≤ z ≤ 2− x , z ≤ 2− (x2 + y2)}
<A> -[15] Determinare il volume di ASia
B = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 ≤ 1 , 2− 2x ≤ z ≤ 2− x}
<B> -[9] Determinare il volume di BSia
C = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 − x ≥ 0 , : x2 + y2 − 2x ≤ 0}
<C> -[6] Calcolare ∫C
2x− x2 − y2dxdy
12- PrPzAmT.TEX— [PrPzAmT16.TEX]
Analisi 2 Polo di Savona Terza Prova parziale 08/01/2016
Terza Prova parziale 08/01/2016
Sia ξ una variabile aleatoria esponenziale di media λ ed η una variabile aleatoria esponenziale di mediaµ
<A> -[10] Determinare la PDF della variabile aleatoria x = ξ + η
<B> -[8] Determinare la media e la varianza di xSi supponga di dover raggiungere la localita B partendo da A e passando per la localita C utilizzando
un mezzo di trasporto che collega A con C che prevede 6 partenze da A ogni ora ed un secondo mezzo checollega C con B e prevede 3 partenze ogni ora.
<C> -[2] Calcolare quanto tempo in media si dovra aspettare il primo mezzo.
<D> -[2] Calcolare quanto tempo in media si dovra aspettare il secondo mezzo.
<E> -[4] Calcolare quanto tempo in media si dovra aspettare complessivamente.
<F> -[4] Calcolare la probabilita che l’attesa superi complessivamente 30 minuti.
13- PrPzAmT.TEX— [PrPzAmT17.TEX]
Analisi 2 Polo di Savona Prima Prova parziale 10/11/2016
Prima Prova parziale 10/11/2016
Si consideri la funzione
f(x, y) = 2y3 + 6x2y + 3x2 − 3y2
e la figura seguente
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −
−−−−−+
+++++++++++
++++++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
−
−
−
−
−
+
+
−
−
−
−
−
+
+
y = −1/2
y = 3/2
x = −1 x = 1
x2 + y2 ≤ y
y =√3/2
2in cui e evidenziato il segno che f assume nei punti delle rette y = −1/2, y = 0, y = 3/2 , x = 1, x = −1e sulla circonferenza di equazione x2 + y2 − y = 0
La parte tratteggiata indica l’insieme in cui fx > 0 mentre la parte colorata indica l’insieme in cui fy < 0
<A> -[15] Disegnare l’insieme dei punti del piano tali che f(x, y) = 0
<B> -[10] Verificare le affermazioni descritte nella figura che sono state usate per disegnare l’insieme dei puntidel piano tali che f(x, y) = 0
<C> - [2] Determinare se f e differenziabile in (1, 0) ed in caso affermativo scrivere l’equazione del pianotangente al suo grafico in (1, 0).
<D> -[1] Calcolare le derivate direzionali di f in (0, 0).
<E> - [7] Determinare la direzione di massima pendenza per f nel punto (0, 0).
<F> -[4] Determinare massimi e minimi assoluti di f sul cerchio di equazione x2 + y2 − y ≤ 0
<G> -[3] Calcolare se esiste il limx,y)→+∞ f(x, y)
<H> -[8] Calcolare le derivate direzionali di g(x, y) = max{f(x, y), 0} in (0, 0).
14- PrPzAmT.TEX— [PrPzAmT17.TEX]
Analisi 2 Polo di Savona Seconda Prova parziale 19/11/2016
Seconda Prova parziale 19/11/2016
Si consideri la funzione
y(t) = 2
∫ +∞
−∞e−x
2+xtdx
<A> -[4] Calcolare la derivata y(t) di y
<B> -[4] Integrare per parti y ed esprimere y in funzione di y
<C> -[4] Determinare y
<D> - [10] Calcolare il volume di
V = {(x, y, z) ∈ R3 : z ≤ 2− (x2 + y2) , z ≥ x , z ≥ y}
<E> - [12] Calcolare il volume di
V = {(x, y, z) ∈ R3 : z ≤ 2− (x2 + y2) ≤ 1 , z ≥ x , z ≥ y}
<F> - [8] Calcolare l’area diD = {(x, y) ∈ R2 : ρ ≤ θ , : ρ ≤ π − θ}
<G> - [8] Calcolare l’area di
D = {(x, y) ∈ R2 : ρ ≤ θ , : ρ ≤ π − θ , ρ ≤ 1}
<H> - [8] Calcolare∫D
1
(√
x2+y2)αdxdy dove
D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1}
<I> - [8] Calcolare∫D
1
(√
x2+y2)αdxdy dove
D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≥ 1}
15- PrPzAmT.TEX— [PrPzAmT17.TEX]
Analisi 2 Polo di Savona Terza Prova parziale 10/01/2017
Terza Prova parziale 10/01/2017
Partendo da A si puo arrivare in B utilizzando un mezzo di trasporto.- la frequenza media delle partenze e una variabile aleatoria con PDF di Poisson di media 6 partenze
all’ora.- il tempo di percorrenza e dato da una variabile aleatoria triangolare con moda 30 minuti nulla fuori
dell’intervallo [28, 32]
<A> -[4] Calcolare il tempo medio di attesa del mezzo
<B> -[4] Calcolare il tempo medio di percorrenza.
<C> -[4] Determinare la PDF della variabile aleatoria T che restituisce il tempo di attesa del mezzo.
<D> -[4] Determinare la PDF della variabile aleatoria τ che restituisce il tempo di percorrenza.
<E> -[4] Determinare la media del tempo totale necessario per spostarsi da A a B..
<F> -[4] Determinare la varianza del tempo totale necessario per spostarsi da A a B..
<G> -[4] Determinare la PDF del tempo totale necessario per spostarsi da A a B.
16- PrPzAmT.TEX— [PrPzAmT18.TEX]
Analisi 2 Polo di Savona Prima Prova parziale 10/11/2017
Prima Prova parziale 10/11/2017
Si consideri la funzione
f(x, y) = (x2 + y2) arctan(y/x)
<A> -[4] Determinare dove f e definita e dove e continua
<B> -[6] Determinare dove f e differenziabile
<C> -[4] Stabilire se f e prolungabile per continuita in qualche punto in cui non e definita.
<D> - [6] Stabilire se f e prolungabile in modo che sia differenziabile nell’origine.
<E> -[3] Calcolare le derivate direzionali di f in (0, 0).
<F> -[3] Determinare la direzione di massima pendenza in (0, 0).
<G> - [2] Scrivere l’equazione del piano tangente al grafico di f nel punto (1, 1)
<H> -[ 2] Scrivere la forma quadratica Hessiana dif nel punto (1, 1).
17- PrPzAmT.TEX— [PrPzAmT18.TEX]
Analisi 2 Polo di Savona Seconda Prova parziale 30/11/2017
Seconda Prova parziale 30/11/2017
Si consideri la funzione
f(x, y) = (x2 + y2)2 − 4xy2
e l’insieme dei puntiG = {(x, y) : f(x, y) = 0}
<A> -[3] Determinare i punti di G aventi massima ascissa.
<B> -[3] Determinare i punti di G aventi massima ordinata.
<C> -[3] Determinare i punti di G aventi massima distanza dall’origine.
<D> -[2] Verificare che G e contenuto del semipiano delle ascisse positive ed e simmetrico rispetto all’asse x.
<E> - [1] Verificare che f(x, 0) ≥ 0 per ogni x reale.
<F> - [1] Verificare che lim y → +∞f(x, 0) = +∞ per ogni x reale.
<G> - [1] Verificare che f(x,√
2x) ≤ 0 0 < x < 1 reale.
<H> - [3] Riportare sul grafico i risultati dei precedenti tre punti
x
y
1 16/9
<I> - [3] Calcolare fx e fy e indicare sul grafico l’insieme in cui fx Q 0 e fy Q 0
18- PrPzAmT.TEX— [PrPzAmT18.TEX]
Analisi 2 Polo di Savona Seconda Prova parziale 30/11/2017
x
y
1 16/9x
y
1 16/9
<J> - [10] Disegnare G
x
y
1 16/9
19- PrPzAmT.TEX— [PrPzAmT18.TEX]
Analisi 2 Polo di Savona Terza Prova parziale 21/12/2017
Terza Prova parziale 21/12/2017
<A> -[4] Calcolare il volume di
V = {(x, y, z ∈ R3 , 1 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ 4 , z ≥ 0}
<B> -[6] Calcolare il volume di
V = {(x, y, z ∈ R3 , 1 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ 4 , 1 ≤ z ≤√
3}
<C> -[7] Calcolare il volume di
V = {(x, y, z ∈ R3 , 1 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ 4 , 1/2 ≤ z ≤√
3
2}
<D> -[8] Calcolare il volume di
V = {(x, y, z ∈ R3 , 1 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ 4 , 1/2 ≤ z ≤√
3}
<E> -[4] Calcolare il volume di
V = {(x, y, z ∈ R3 , 1 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ 4 ,
√3
3x ≤ y ≤
√3x , z ≥ 0}
<F> -[6] Calcolare il volume di
V = {(x, y, z ∈ R3 , 1 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ 4 ,
√3
3
√x2 + y2 ≤ z ≤
√3√x2 + y2 , z ≥ 0}
<G> -[8] Calcolare il volume di
V = {(x, y, z ∈ R3 , 1 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ 4 ,
√3
3
√x2 + y2 ≤ z ≤
√3√x2 + y2 ,
√3
3x ≤ y ≤
√3x}
<H> -[12] Calcolare il volume di
V = {(x, y, z ∈ R3 , 1 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ 4 ,
√3
3
√x2 + y2 ≤ z ≤
√3√x2 + y2 , 1 ≤ z ≤
√3}
20- PrPzAmT.TEX— [PrPzAmT18.TEX]
Analisi 2 Polo di Savona Quarta Prova parziale 08/01/2018
Quarta Prova parziale 08/01/2018
La taratura di uno strumento richiede un numero n di prove aleatorio distribuito triangolarmente su [1, 5]con moda 4 . Ciascuna prova richiede un tempo di esecuzione t anch’esso aleatorio distribuito triangolarmentesu [1, 10] con moda 7
<A> -[5] Determinare media e varianza di n
<B> -[5] Determinare media e varianza di t
<C> -[15] Determinare la distribuzione di Probabilita del tempo totale di Taratura T
<D> -[5] Determinare media e varianza di T
21- PrPzAmT.TEX— [PrPzAmT19.TEX]
Analisi 2 Polo di Savona Prima Prova parziale 10/11/2018
Prima Prova parziale 10/11/2018
Si consideri la funzione
f(x, y) =
{min{(y − 1 + x2)(y − x2 + 1), 0} , |x| < 10 , |x| ≥ 1
<A> -[4] Determinare dove f e definita e dove e continua
x
y
<B> -[6] Determinare dove f e differenziabile
x
y
<C> -[6] Calcolare le derivate direzionali di f in (1, 0).
<D> -[4] Determinare la direzione di massima pendenza in (1, 0).
vspace2cm
<E> - [4] Scrivere l’equazione del piano tangente al grafico di f nel punto (1/2, 0)
<F> -[ 4] Scrivere la forma quadratica Hessiana dif nel punto (1/2, 0).
<G> - [6] Stabilire se f ammette massimi o minimi assoluti.
<H> -[ 6] Stabilire se f ammette massimi o minimi assoluti sulla circonferenza definita da x2 + y2 = 1
22- PrPzAmT.TEX— [PrPzAmT19.TEX]
Analisi 2 Polo di Savona Seconda Prova parziale 06/12/2018
Seconda Prova parziale 06/12/2018
Si consideriD = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 − 2|x| ≤ 0 , x2 + y2 − 2|y| ≤ 0}
<A> -[4] Disegnare nel piano D.
<B> -[6] Calcolare l’area di D
<C> -[4] Calcolare ∫D
xdxdy
<D> -[6]Calcolare ∫D
1√x2 + y2
dxdy
vspace2cmSi consideri il solido definito da
V = {(x, y, z) ∈ R3 : y ≤ z ≤ 2y , z ≤ 2− y , 0 ≤ x ≤ 1}
<E> -[3] Disegnare la proiezione di V nel piano (x, y).
23- PrPzAmT.TEX— [PrPzAmT19.TEX]
Analisi 2 Polo di Savona Seconda Prova parziale 06/12/2018
<F> -[3] Disegnare la proiezione di V nel piano (z, y).
<G> -[3] Disegnare la proiezione di V nel piano (z, x).
24- PrPzAmT.TEX— [PrPzAmT19.TEX]
Analisi 2 Polo di Savona Seconda Prova parziale 06/12/2018
<H> -[4] Calcolare il volume di V integrando per fili paralleli all’asse z
<I> -[7] Calcolare il volume di V integrando per sezioni perpendicolari all’asse z
25- PrPzAmT.TEX— [PrPzAmT19.TEX]
Analisi 2 Polo di Savona Terza Prova parziale 10/01/2019
Terza Prova parziale 10/01/2019
Si consideri un treno che parte da una localita A e giunge ad una localita B passando per una localitaintermedia C e si indichino con testa, centro e coda la prima la seconda e la terza parte del treno ciascunadelle quali dispone di 60, 110 e 60 posti a sedere.
Nel percorso tra A e C salgono sul treno 200 passeggeri che scelgono, casualmente, di salire in una delletre parti e li’ rimangono;
Ciascun passeggero sceglie di salire al Centro con probabilita 1/2 ,di salire in Coda con probabilita 1/4e di salire in Testa con probabilita 1/4 .
<A> -[6] Qual’ e la probalilita che un passeggero che salga sul treno in localita C trovi posto a sedere postoche abbia scelto di salire in Testa, in Centro o in Coda al treno?
<B> -[7] Assumendo che il passeggero salito in C ha trovato posto a sedere , quale e’ la probabilita che siasalito in Testa , in Centro oppure in Coda al treno
Sia φ la PDF di una variabile aleatoria ξ che restituisce un valore compreso tra −1 e 1 soddisfacente leseguenti condizioni:
- il grafico di φ e costituito di due archi di parabola che si annullano, rispettivamente in −1 ed in 1 .- il grafico di φ e tangente all’asse dell ascisse in 0 ed in 2 .- φ′′(0) = 2a- il grafico di φ e una funzione continua.
<C> -[4] Determinare φ
<D> -[1] Determinare la media di φ
<E> -[2] Determinare la moda di φ
vspace2cmSi dispone di due dadi a 6 facce uno bianco per il quale la probabilita di uscita di 1, 2, 3, 4, 5, 6 e
equiprobabile ed uno nero per il quale l’uscita di un numero pari ha probabilita 1/9 e quella di un numerodispari 2/9
<F> -[3] Si sceglie un dado (con probabilita 1/3 per il bianco e 2/3 per il nero) e si lancia. Qual’e la probabilitadi ottenere 5?
<G> -[4] Si sceglie un dado (con probabilita 1/3 per il bianco e 2/3 per il nero) , si lancia e si ottiene 3.Qual’e la probabilita che sia stato scelto il dado bianco?
Sia ξ la somma di due variabili aleatorie geometriche relative a prove bernoulliane con probabilita disuccesso p1 e p2 , rispettivamente, e sia qi = 1− pi per i = 1, 2
<H> -[9]Determinare la PDF di ξ
<I> -[2]Determinare la media di ξ
<J> -[2]Determinare la varianza di ξ
26- PrPzAmT.TEX— [PrPzAmT19.TEX]