1LE VARIABILI CASUALI
Introduzione
Data prova, ad essa risultano associati i k eventi
A1 , A2 , ..., Ak
con le relative probabilità p1 , p2 , ..., pk.
I k eventi Ai generati da una specifica prova sono necessari ed incompatibili:
pi = P(Ai ) ≥ 0, i=1, 2 ,...,k; ∑=
k
1i
pi = 1.
2 Lezione 2
Eventi Probabilità
A1 p1 A2 p2 ... ... Ak pk 1
Definiamo una funzione X(.) che associa ad ogni evento Ai un numero reale:
Valori Probabilitàx1 p1 x2 p2 ... ... xk pk 1
Questa è la variabile casuale (nel seguito v.c.) generata da quell’esperimento sotto la fun-zione X(⋅).
3 Le variabili casuali Non è detto che la relazione fra numeri reali ed eventi debba essere necessariamente biu-nivoca, ma ad eventi diversi potrebbe corrispondere lo stesso valore:
S =
ove agli otto eventi generati dalla prova corrispondono, tramite la X(⋅), cinque valori distinti della retta reale. La relativa v.c. associabile alla precedente figura avrebbe la struttura:
4 Lezione 2
xi pi x1 p4 x2 p2+p5 x3 p1 x4 p3+p6 x5 p7+p8 1
Dagli eventi generati da una data prova si possono derivare più variabili casuali mutando
la legge di associazione X(⋅).
Esempio Consideriamo come prova il lancio di un dado regolare. I possibili eventi sono:
A1 , A2 , ..., A6 , con P(Ai ) = pi = 1/6
5 Le variabili casuali
Ai A1 A2 A3 A4 A5 A6
pi 61
61
61
61
61
61
Se scegliamo la funzione
X(Ai ) = i , i=1,2,...,6
otteniamo la v.c. ad essa associata:
xi 1 2 3 4 5 6
pi 61
61
61
61
61
61
Sia ora X(Ai ) tale che: se si verificano gli eventi A1 o A2 o A3 vinco una lira, mentre se escono A4 o A5 o A6 perdo una lira:
6 Lezione 2
⎩⎨⎧
=−
==
6,5,4i se 1
32,1,i se 1)X(Ai
e la relativa v.c. associata allo stesso esperimento avrà la struttura seguente:
xi -1 1
pi 63
63
Una v.c. X è discreta se i valori che assume sono in numero discreto finito o numerabile:
xi pi x1 p1 x2 p2 ... ... xk pk 1
7 Le variabili casuali con:
pi ≥ 0, i =1 ,2 ,...,k ; ∑=
k
i 1
pi = 1,
Esempio
Supponiamo di aver rilevato il numero xi dei componenti di 105 famiglie ottenendo la di-stribuzione di frequenza delle famiglie per numero di componenti:
xi 1 2 3 4 6 7 ni 10 20 40 20 10 5
fi 10510
10520
10540
10520
10510
1055
Estraiamo a caso una famiglia, otteniamo uno degli venti
Ai = Viene estratta una famiglia con i componenti, i=1, 2, …, 7 con
8 Lezione 2
P(A1 ) =10510 ; P(A2 ) =105
20 ; P(A3 ) =10540 ; P(A4 ) =105
20 ; P(A6 ) =10510 ; P(A7 ) =105
5
I possibili risultati dell'esperimento sono:
xi A1 A2 A3 A4 A6 A7
pi 10510
10520
10540
10520
10510
1055
Consideriamo la regola che associa a ciascuno degli eventi Ai un numero reale
X(Ai ) = i
in altri termini X(Ai ) è la funzione che associa all'evento Ai il numero dei componenti della famiglia cui l’evento si riferisce. Otteniamo la v.c. discreta
xi 1 2 3 4 6 7
pi 10510
10520
10540
10520
10510
1055
9 Le variabili casuali
Le variabili casuali sono una generalizzazione delle distribuzioni di frequenza.
MEDIA
E(X) = ∑=
k
1i
xi pi.
VARIANZA
( )[ ] 0μμpμ)(xμXEσ 22i
2i
k
1i
22 ≥−=−=−= ∑=
; 0σ ≥
MOMENTO DI ORDINE r
i
k
1i
ri
rr px)E(X ∑
=
==μ
10 Lezione 2
INDICE DI ASIMMETRIA
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=γ3
1 σμXE i
3i
k
1i3 p)x(1
μ−σ
= ∑=
INDICE DI CURTOSI
=−⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=γ 3σμXE
4
2 4i
k
1i4 μ)(x
σ1
−∑=
pi - 3
Esempio
Calcoliamo media e varianza delle due variabili casuali. Per la prima otteniamo
=+++++=μ )654321(61 =
621 3.5
=−+++++=μ−μ=σ 222232222
2 )5.3()654321(61 2.91667.
11 Le variabili casuali Per la seconda otteniamo
0)11(21
=+−=μ
[ ] 11)1(21 22
22 =+−=μ=σ
Questa seconda variabile casuale è standardizzata (ha media 0 e varianza 1):
Xσ1
σμ
σμXZ +−=
−=
12 Lezione 2
Variabili casuali doppie discrete
Oltre alle variabili casuali semplici discrete esistono quelle multiple discrete ed in partico-
lare le doppie (X, Y) descritta in una tabella a doppia entrata:
Y\X x1 x2 x3 ... xk y1 p11 p21 p31 ... pk1 p.1 y2 p12 p22 p32 ... pk2 p.2 y3 p13 p23 p33
... pk3 p.3
... ... ... ... ... ... ... yh p1h p2h p3h ... pkh p.h p1. p2. p3. ... pk. 1
con
pi j = P{X=xi ∩Y=yj } = P{X=xi , Y=yj }
13 Le variabili casuali
pi . = ∑=
h
j 1
pi j ; p. j =∑=
k
i 1
pi j ; 1 = ∑=
k
i 1
pi . =∑=
h
j 1
p. j = ∑∑==
h
j
k
i 11
pi j
Le marginali X ed Y, le h variabili casuali condizionate (X|Y=yj ) con
pi|j = P{X=xi|Y=yj} = .j
jip
p i=1, 2, …, h
le k condizionate (Y|X=xi ) con
pj|i = P{Y=yj|X=xi } = .i
jip
p j=1, 2, …, k.
X ed Y sono indipendenti se e solo se risulta
pi j = pi . p. j per ogni i , j. VETTORE DELLE MEDIE
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
y
xμ
μμ
14 Lezione 2
MOMENTO DI ORDINE 1,1
xyμ = E( X Y) = ∑∑==
h
j
k
i 11
xi yj pi j
COVARIANZA
xyσ = cov(X , Y) = E[(X- xμ )(Y- yμ )] = )μ)(yμ(x yjxi11
−−∑∑==
h
j
k
i
pi j= xyμ - yx μμ
CORRELAZIONE
≤−1 xyρ = corr(X,Y) = 1σσ
σ
yx
xy ≤
misura l’intensità dei legami lineari fra X ed Y. MATRICE DI VARIANZE-COVARIANZE
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛= 2
yyx
xy2x
σσ
σσΣ ; 0σσσΣ 2
xy2y
2x ≥−=
15 Le variabili casuali
MOMENTI CONDIZIONATI
yxμ = Ex(X|Y=yj ) = ∑=
k
1i
xi pi|j = ∑=
k
1i
xi .j
ijp
p, per j=1,...,h
La media della marginale è pari alla media delle medie condizionate:
Ey [Ex ( X|Y=yj ) ] = E( X).
Un risultato analogo vale per la varianza:
la varianza della marginale è pari alla media delle varianze condizionate più la va-rianza delle medie condizionate,
Var( X) = Ey [Var( X|Y=yj ) ] + Vary [E( X|Y=yj ) ].
16 Lezione 2
Le variabili casuali continue
Esistono prove che generano un’infinità continua di eventi a cui potrà essere associata
una v.c continua. In questo caso non sarà possibile attribuire a ciascuno valore una probabilità, ma sarà
necessario definire una funzione che ne descriva il meccanismo probabilistico. Esempio
L’esperimento genera una infinità continua di eventi casuali identificabili con tutti i punti
17 Le variabili casuali della circonferenza che è pari all’intervallo [0; 2π].
Si vuole derivare la v.c. data dalla funzione
X(A) = lunghezza dell’arco (0, A)
Gli eventi generati da questa prova sono necessari; incompatibili; equiprobabili. Dovreb-be essere
P(A) = possibiliequalmenteCasiN.
favorevoliCasiN.
questo rapporto non è definibile matematicamente:
Nel continuo le probabilità devono essere calcolate in modo
differente rispetto al discreto.
Calcoliamo la probabilità in un intorno di ampiezza infinitesima [xo ; xo + d x ), definiamo
una funzione che descriva il meccanismo probabilistico dell’esperimento:
18 Lezione 2
misuriamo la probabilità come l’area sottesa dalla funzione in un intorno infinitesimo del punto prescelto
P{xo ≤ X < xo + d x} = f(xo ) dx La probabilità che la v.c. X assuma un valore nell’intervallo (c ; d) è
P{c < X < d} = ∫d
c
f(x) d x.
19 Le variabili casuali
f(x) è la funzione di densità (f.d.) della v.c. X
• f(x) ≥ 0 per ogni x reale.
• ∫∞+
∞−
f(x)d x = 1
• P{c ≤ X ≤ c} = P{X=c} = f(c) × 0 = 0
• P{c < X < d} = P{c ≤ X < d}= P{c < X ≤ d} = P{c ≤ X ≤ d}
Tutte le funzioni f(x) per cui sono valide le due condizioni:
9
f(x) ≥ 0 per ogni x reale; ∫∞+
∞−
f(x) dx = 1
sono f.d. che possono descrivere il meccanismo probabilistico di qualche v.c. continua.
20 Lezione 2
Esempio Per l’esperimento della freccia nel cerchio risulta
[ ]⎪⎩
⎪⎨⎧ π∈
π=altrove0
2,0xper21
f(x)
21 Le variabili casuali
Esempio Il meccanismo probabilistico non è perfettamente equilibrato: la probabilità che la freccia si fermi nell’intervallo
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ππ
23,
2
è doppia rispetto alla probabilità che si fermi altrove:
2p + p = 1 ⇒ p =31
Si ottiene
22 Lezione 2
La probabilità che la freccia si fermi nell’intervallo ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ π
2,0 è
61 , la probabilità che si fermi
nell’intervallo ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ππ
23,
2è
32 , la probabilità che si fermi nell’intervallo ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ ππ 2,
23
è 61 :
con c1 e c2
π=
31c1 ;
π=
32c2
23 Le variabili casuali
Per le v.c. è possibile derivare la relativa funzione di ripartizione:
la funzione di ripartizione di una qualsiasi v.c. X è data da
F(x) = P{X ≤ x}
Nel caso discreto questa funzione si costruisce nel modo già visto per le distribuzioni di frequenza. Se invece X è una v.c. continua risulta
F(x) = ∫∞−
x
f(v) dv
24 Lezione 2
F(a) = ∫∞−
a
f(x) dx = 0; F(b) = ∫∞−
b
f(x) dx = 1
F(x1 ) ≤ F(x2 ) per tutti gli x1 < x2.
La funzione di ripartizione è sempre non decrescente
f(x) = dxd
F(x).
25 Le variabili casuali
MOMENTO DI ORDINE r
∫∞
∞−
=μ dxf(x) x rr
se esiste, allora esistono tutti quelli di ordine inferiore ad r,
MEDIA
μ = E(X) = ∫∞
∞−
x f(x) dx.
VARIANZA
2σ = E[(X-μ ) 2) = )( μ−∫
∞
∞−
x2 f(x) dx 02
2 ≥μ−μ= .
26 Lezione 2
MEDIANA
∫∞−
==eM
e 0.5)F(Mf(x)dx
ASIMMETRIA
∫∫∞
∞−
∞
∞−
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=γ dxf(x)zdxf(x)σμx 3
3
1 =momento terzo della standardizzata.
CURTOSI
3dxf(x)σμx 4
2 −⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=γ ∫∞
∞−
27 Le variabili casuali
Esempio In un esempio visto è
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
π≤≤
ππ
π≤<ππ
<≤π
=
altrove02
3x2
per32
2x2
3pere2
x0per31
)x(f
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
π≤
π<≤π
+π
π<≤
π−
π
π<≤
π
<
=
21
22
331
3
23
261
32
20
3
00
)(
xper
xperx
xperx
xperxxper
xF
28 Lezione 2
risulta:
∫∞
∞−
=μ f(x) dx = π∫
π
3x
2/
0
dx + +π∫
π
π
dx3
x22/3
2/
=π∫
π
π
dx3x
2
2/3
= 24π
+ 24
18π−
242π
+ 24
16π−
249π
= π
29 Le variabili casuali
5.061
3M2 e =−π
⇒ 4Me - π = 3π ⇒ Me = π
Questa variabile casuale è simmetrica.
30 Lezione 2
VARIABILI CASUALI DOPPIE CONTINUE
Si ricorrere ad una f.d. doppia f(x ,y) che ne descriva il meccanismo probabilistico.
• f(x ,y) ≥ 0 per ogni (x , y)
• ∫∫∞
∞−
∞
∞−
f(x ,y ) dx dy =1
Fra f.d. e probabilità esiste la relazione
P{x ≤ X < x+dx , y ≤ Y < y+dy} = f(x ,y) dx dy
In tal modo la probabilità non è altro che il volume sottostante.
31 Le variabili casuali
• La f.d. di X è fx (x) = ∫∞
∞−
f(x , y) dy ;
• La f.d. di Y è fy(y) = ∫∞
∞−
f(x ,y) dx ;
32 Lezione 2
• La f.d. di ( X| Y=y) è
fx|y ( x ) = (y)fy)f(x,
y; fy ( y ) > 0
• La f.d. di ( Y| X=x) è
fy|x ( y ) = (x)fy)f(x,
x ; fx ( x ) > 0
X ed Y sono indipendenti se e solo
f(x , y) = fx (x) fy ( y) per ogni (x ,y ) del piano reale
MOMENTO MISTO
xyμ = E(X Y) = ∫∫∞
∞−
∞
∞−
yx f(x , y) dx dy .
33 Le variabili casuali
COVARIANZA
xyσ = E[(X- xμ )(Y- yμ )] = )μ)(yμ(x yx −−∫∫∞
∞−
∞
∞−
f(x,y) dx dy =
= xyμ - xμ yμ
che permette di derivare la correlazione.
)μ)(yμ(x yx −−∫∫∞
∞−
∞
∞−
fx(x) fy( y) dx dy =
)μx( x−∫∞
∞−
fx ( x) dx )μy( y−∫∞
∞−
fy ( y) dy = 0
34 Lezione 2
MOMENTI CONDIZIONATI
yxμ = Ex (X|Y=y) = ∫∞
∞−
x fx|y ( x) dx
e valgono ancora i risultati già illustrati che legano la media e la varianza delle marginali con quelle delle condizionate
E( X) = Ey [ Ex (X|Y=yj )]
Var( X) = Ey [Var( X|Y=yj )] + Vary [ E(X|Y=yj )].