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Analisi Pushover e Costruzioni in Muratura Premessa
Analisi Pushover e Costruzioni in Muratura
nella progettazione antisismica
Raffaele Casciaro
Universita della Calabriahttp://www.labmec.unical.it
Newsoft s.a.s. - Cosenzahttp://www.newsoft-eng.it
Crotone 21 giugno 2011
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Analisi Pushover e Costruzioni in Muratura Premessa
Premessa
Lanalisi pushover assume la struttura soggetta a forze laterali (sismiche)progressivamente crescenti, fino al collasso.
Con cio, semplifica notevolmente lazione sismica esterne, ma permette ditener conto del comportamento nonlineare (plasticita e danneggiamento)
senza far uso di parametri euristici (fattore di struttura q).Si presta particolarmente a tipologie strutturali, come le costruzioni inmuratura, a prevalente comportamento nonlineare.
In questa conversazione si parlera di:1 analisi sismica dinamica;2 analisi pushover3 modellazione della muratura;4 analisi simica di costruzioni murarie.
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Analisi Pushover e Costruzioni in Muratura Analisi dinamica lineare
LAnalisi dinamica lineare
Lanalisi dinamica lineare rappresenta attualmente il metodo di analisi piudiffuso in ingegneria antisismica e sicuramente quello che ha avuto una piulunga ed estesa validazione attraverso riscontri con gli esiti in terremoti reali.
Presenta tuttavia dei limiti in quanto e condotta interamente in campo
elastico lineare e, per sua natura, non puo tenere conto del comportamentoplastico/duttile della struttura che pure ha una forte influenza sulla rispostasismica di questa e in molti casi ne rappresenta laspetto prevalente.
In tali condizioni le caratteristiche di duttilita della struttura sono
messe in conto solo forfettariamente attraverso lintroduzione di unfattore di struttura q valutabile tuttavia solo attraverso correlazionieuristico/empiriche.
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Analisi Pushover e Costruzioni in Muratura Analisi dinamica lineare
Scomposizione modale
Lazione sismica e modellata con la tecnica, ben nota, degli spettri di risposta.
In caso di comportamento elastico, la risposta della struttura puo essere vistacome combinazione delle risposte individuali di ciascuno dei suoi modi divibrazione.
Questi ultimi sono assimilabili ad oscillatori elastici e quindi la loro risposta edirettamente fornita dallo spettro e viene a dipendere essenzialmente da duefattori:
1 il fattore di partecipazione fpe ottenuto dallanalisi e corrisponde alla componente dellazione sismica cheagisce sul modo, tanto piu grande quanto piu il modo e allineato allazione
esterna.2 il fattore di amplificazione spettrale S[T]
corrisponde allamplificazione dinamica dovuta alleccitazione ciclica ed edirettamente assegnato come effetto sintetico che definisce lazione sismica.
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A li i P h C i i i M A li i di i li
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Analisi Pushover e Costruzioni in Muratura Analisi dinamica lineare
Combinazione modale
Le sollecitazioni di verifica sono ottenute dalla combinazione delle singole
risposte modali. Data la scarsa probabilita della coincidenza temporale deimassimi, la combinazione utilizza regole di tipo probabilistico (SRSS o CQC).
Il numero dei modi da considerare corrisponde al numero Ndei gradi diliberta della struttura, quindi quasi proibitivo. Non tutti sono tuttaviaugualmente importanti ai fini della risposta complessiva. In particolare, i
modi a periodo proprio piu basso possono essere trascurati in quantogeneralmente (ma non sempre) caratterizzati da fattori di partecipazioni edamplificazioni dinamiche piu bassi.
Nella combinazione sono pertanto considerati i soli modi principali (a periodopiu alto) e lerrore introdotto puo essere valutato dal valore della cosiddetta
percentuale di massa eccitata
me :=
f2p1+f2p2+ f
2pn , nN
Risulta ovviamente me1 e lerrore risulta tanto piu basso quanto piu me si
avvicina allunita.Raffaele Casciaro (Unical) Newsoft - www.newsoft-eng.it Crotone 2011 4 / 31
Analisi P sho er e Costr ioni in M rat ra Analisi dinamica lineare
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Estensione al campo nonlineare
Sotto le forti oscillazioni prodotte dal sisma, le strutture reali hannocomportamento non lineare e sviluppano cicli di isteresi. La dissipazione cosprodotta modifica il comportamento della struttura e ne smorza le oscillazioniallungandone anche in qualche modo il periodo.
Questo insieme di fenomeni, peraltro molto complessi e fortemente
influenzati dalla duttilita dei materiali impiegati, puo essere messo in contoaccettando ancora la descrizione in termini di combinazione modale, propriadel comportamento lineare, ma riducendo lescursione dei singoli modiattraverso lintroduzione di un fattore di struttura q>1 che agisceessenzialmente come demoltiplicatore della risposta.
Il contributo sismico alla risposta della struttura puo essere cos ricavato unavolta assegnato lo spettro ed il fattore di struttura associati a ciascuno deglistati limite considerati.
Lanalisi permette una ricostruzione molto dettagliata del comportamentodinamico della struttura, ma e fortemente condizionata dalla scelta di q.
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Analisi Pushover e Costruzioni in Muratura Analisi dinamica lineare
Il fattore di struttura
Il fattore di struttura qsvolge un ruolo importante nellanalisi in quantodirettamente collegato allentita delle forze in gioco.
Il fattore sintetizza proprieta diverse della struttura quali la duttilita deimateriali, la geometria degli elementi e le tipologie dei collegamenti, che necondizionano la capacita di assorbire forti deformazioni in campo anelastico e
le caratteristiche dissipative complessive, ed e fortemente penalizzato dallapresenza di modi deformativi locali a carattere fragile.
E di difficile valutazione, anche se il riscontro con i danni prodotti da eventisismici trascorsi puo fornire utili indicazioni, in quanto lescursione dei valoripossibili (grosso modo da 2 a 6) resta comunque fortemente sbilanciatarispetto allimportanza del fattore.
Un supporto alla scelta puo essere dato, come suggerito dalla normativa, dauna correlazione euristica con la geometria e tipologia della costruzione(regolarita o meno in pianta ed in altezza, struttura a telai o a setti portantied altro).
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Analisi Pushover e Costruzioni in Muratura Analisi Pushover
Lanalisi pushover
Studi recenti hanno evidenziato limportanza della duttilita nella rispostadelle strutture ad azioni sismiche.
Si e pertanto andata sviluppando una metodologia di analisi, spesso indicatacome analisi pushover, indirizzata a valutare la capacita in spostamento della
struttura in rapporto a quelli potenzialmente attivati dal sisma.
Lanalisi pushover e presente ormai, come opzione suggerita, nelle normativepiu recenti: le nostre NTC 2008 ma anche gli eurocodici e le FEMA 273 e leATC 40 americane.
Per le tipologie strutturali, come ad esempio le costruzioni in muratura, aprevalente comportamento nonlineare, rappresenta anzi la metodologia dianalisi piu fortemente consigliata
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Modalita dellanalisi
1 la struttura e assoggettata ad una spinta laterale di forma appropriata a
caratterizzare lazione sismica;2 la spinta e fatta crescere proporzionalmente e viene costruito un diagrammanonlineare forza/spostamento che segue levoluzione della plasticizzazione edel danneggiamentonegli elementi;
3 Lanalisi viene arrestata quando il livello di danno supera quello ammessodalle condizioni di verifica associate allo stato limite considerato;
4 La curva forza/spostamento individua un oscillatore semplice non lineare eviene utilizzata per definire un oscillatore elastico equivalente, caratterizzato,sotto sisma, da uno spostamento massimo eguale o quanto meno correlato;
5 La risposta in spostamento delloscillatore elastico e direttamente fornitadallo spettro. Dalla correlazione puo essere pertanto calcolato lo spostamento
massimo potenzialmente attivato dal sisma nelloscillatore nonlineare;6 Il rapporto (capacita/domanda) tra questo valore e quello effettivamente
raggiunto nella curva fornisce lindice di sicurezza sismica della struttura;7 Lanalisi e ripetuta piu volte con orientazioni diverse della spinta, in modo da
rappresentare le possibili direzioni di incidenza sismica. Lindice di sicurezza
complessivo viene assunto come il minore fra i valori calcolati.Raffaele Casciaro (Unical) Newsoft - www.newsoft-eng.it Crotone 2011 8 / 31
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Curva Pushover
Losservazione della curva fornisce due informazioni significative:
il valore massimo di accelerazione sostenuto dalla struttura
lescursione massima dello spostamento raggiunto dalla struttura;
che possono essere usate per caratterizzare il fattore di struttura qe quindi
migliorare laffidabilita dellanalisi dinamica lineare.Raffaele Casciaro (Unical) Newsoft - www.newsoft-eng.it Crotone 2011 9 / 31
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Aspetti critici nellanalisi pushover
Spinta laterale di forma appropriata . Lanalisi sintetizza leccitazionesismica in una unica spinta. La semplificazione e sicuramente grossolana manon cos grave in quanto:
lanalisi puo essere ripetuta a coprire tutte le possibili forme di spinta;leventuale presenza di modi deformativi a carattere fragile e comunque semprericonosciuta ed evidenziata con chiarezza.
Danneggiamento. La legge di danno, che descrive la perdita di portanzanegli elementi a seguito di deformazioni anelastiche eccessive, ha unainfluenza diretta sullanalisi in quanto condiziona lo spostamento massimoraggiungibile.Sono disponibili diverse formule, che descrivono las legge di danno, basate su
estrapolazione di dati sperimentali e su considerazioni euristiche e sumotivazioni teoriche.
Oscillatore elastico equivalente. Lamplificazione dinamica e ricondotta aquella di un oscillatore elastico equivalente. Lequivalenza, fra comportamentiqualitativamente diversi. E questo laspetto piu debole dellanalisi.
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Uso dellanalisi pushover nella verifica sismica
Lanalisi pushover fornisce uno strumento sintetico di verifica, non utilizzabile
per una ricostruzione di dettaglio del comportamento degli elementi.Presenta ancora aspetti poco esplorati, in relazione alla definizione delsistema elastico equivalente e delle leggi di danno negli elementi.
E uno strumento ancora non sufficientemente validato dallesperienza cherichiederebbe una taratura piu precisa dei diversi parametri e fattori di
sicurezza che intervengono nellanalisi.
Rispetto ad una analisi dinamico-lineare, il vantaggio di non richiederelassunzione di un fattore di struttura ma, anzi, di fornire informazioni su unasua migliore e piu affidabile taratura
Si presta a strutture, come le costruzioni in muratura, a comportamentoprevalentemente nonlineare.
Utilizzando modellazioni appropriate, i risultati della simulazione statica sonoaccurati e comunque capaci di evidenziare con chiarezza leventuale presenzadi meccanismi deformativi quasi fragili, che quindi necessitano di rinforziadeguati.
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Modellazione del comportamento delle murature
Negli ultimi 20 anni vi e stato un rinnovato interesse della ricerca verso lecostruzioni in muratura, particolarmente in Italia, in relazione alla diffusione dimurature nelledilizia tradizionale e alla vastita del patrimonio monumentale.La presentazione riflette le esperienze maturate nel corso di alcuni Progetti diRicerca di Interessa Nazionale (PRIN) che hanno coinvolto ricercatori di diversesedi universitarie, in particolare:
PRIN 1998: Sviluppo di una strategia integrata per la modellazione, lanalisie la verifica di costruzioni in muratura (Universita di Cosenza, Palermo,Roma 3, LAquila, Padova)
PRIN 2003: Definizione di metodi integrati per la verifica strutturale di edifici
in muratura (Universita di Cosenza, Milano, Padova, Roma 3, Potenza,Palermo)
PRIN 2007: Modellazione ed analisi, su base prestazionale, di strutture nonlineari (Universita di Cosenza, Padova, Bologna, Roma 3, Napoli, Palermo)
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La modellazione della muratura
Il materiale muratura e tradizionalmente descritto come continuo di Cauchy.
Sono disponibili teorie consolidate, figlie del continuo di Cauchy, come quella dellepiastra caricate nel piano e fuori del piano, e strumenti di calcolo potenti,quali il metodo degli elementi finiti. Cio permette di modellare sia le singolepareti murarie che il loro assemblaggio scatolare, e di tener conto in manieraarticolata anche di dettagli quali presenza di aperture, variazione di spessore,
rinforzi localizzati, ecc.. .La muratura e tuttavia un materiale complesso, altamente disomogeneo al suointerno. Si presenta infatti come aggregato di elementi eterogenei (blocchi,mattoni, giunti di malta,..) con comportamento tra loro molto diverso e didimensione non trascurabile rispetto a quella degli elementi strutturali matuttavia troppo fine da permettere una descrizione diretta dei singoli costituenti.Sorge pertanto la domanda:
La muratura puo essere ricondotta ad un continuo omogeneizzato?ed, al caso, ad un continuo di Cauchy? ed attraverso quali proceduredi omogeneizzazione?.
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Muratura regolare in mattoni
u
v
v
blocco rigi o
giunto deformabile
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Omogeneizzazione
Il continuo omogeneizzato equivalente e ottenuto imponendo lequivale energeticaper un insieme di modi deformativi di un pattern di riferimento (RVE: ReferenceVolume Element)
1,2u
x2
1x
REV
u2,2
shear rotations
pure rotation
elongations
1,1
u2,1
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Quale continuo equivalente
Pur considerando un RVE molto semplice, sono presenti 5 modi deformativi
diversi.Il continuo di Cauchy presenta (nel piano) solo 3 parametri deformativi (xx, yyed xyrichiede che vengano accorpati (in qualche modo) i 5 modi deformativiassumendone 2 in funzione dei restanti. La scelta piu semplice, quella diidentificare il modo rotazionale ad i due modi shear, comporta un effetto di
locking (irrigidimento spurio nella soluzione). Ma sono possibili scelte diverse cheevitano il locking (Revised Cauchy).Il continuo di Cosserat ha 5 parametri deformativi e quindi lomogeneizzazionediventa meno ambigua.Si noti che in tutti i casi il continuo equivalente e caratterizzato da una forteortotropia, che peraltro riflette quella dellaggregato di partenza, e pertanto nonpuo essere trattato con tecnologia FEM standard anche se ci si riduce ad uncontinuo di Cauchy.Nel caso del continuo di Cosserat, non sono disponibili elementi FEMconsolidati e la stessa formulazione della piastra deve essere in qualche modoridefinita.
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Differenze tra le diverse omogeneizzazioni
= 0.4558
RCA identification
= 0.6497
COS identification
= 2.0403 = 1.2134
= 0.2498 = 0.2515
A ent cat on
1300 mm
16 2
7
34
5
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Analisi Pushover e Costruzioni in Muratura Strategia di analisi
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Descrizione alla scala del singolo costituente
Una modellazione macroscopica basata sul concetto di continuo equivalente,pone dubbi sullaffidabilita dei risultati, anche se ci si limita alla solamodellazione elastica.
Diventa pertanto necessaria una descrizione dettagliata che esamini
individualmente i singoli costituenti (mattoni e giunti di malta)dellaggregato, al fine quanto meno di pervenire a risultati da utilizzare per lavalidazione di procedure semplificate.
Con questa scelta e possibile descrivere in maniera relativamente affidabile ilcomportamento dei giunto (giunti di malta allinterfaccia fra due mattoni o
giunti di fessurazione potenziale allinterno del singolo mattone) e definirne leleggi di danneggiamento, di fessurazione e di attrito.
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Analisi Pushover e Costruzioni in Muratura Strategia di analisi
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Analisi pathfollowing
La presenza di nonlinearita richiede una strategia di soluzione incrementale in cui
il processo di carico e descritto da una sequenza di piccoli incrementi. Lanalisifornisce una successione di punti di equilibrio, sufficientemente fitta da consentirela costruzione della curva carico/spostamento per interpolazione.
Il singolo punto e ottenuto medi-ante uno schema iterativo alla Riks(arclength method).Lo schema, ormai ampiamenteconsolidato, e molto efficiente,risulta tuttavia rallentato dalla
presenza del danneggiamento cheinduce forti instabilita nelle re-lazioni di legame costitutivo.
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Analisi Pushover e Costruzioni in Muratura Strategia di analisi
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Analisi multilivello
Una modellazione fine quale quella descritta resta chiara sul piano logico. La
sua soluzione diventa tuttavia complessa in relazione al numero elevato dimattoni e giunti da considerare e quindi delle variabili in gioco (dellordinedelle centinaia di migliaia) ed alle forti nonlinearita introdotte dalla legge didanno. Cio limita di molto la possibilita concreta di portare a terminelanalisi.
Una via per superare linconveniente e offerta dalla strategia di multilivello.Questa opera utilizzando due o piu modellazioni diverse a scala via via piufine ed impostando una strategia iterativa di soluzione che alterna le diversescale per ridurre lerrore di equilibrio. La soluzione e ottenuta alla scala piufine, rispettando quindi tutti i dettagli definiti a questa scala, ma utilizza
pesantemente contributi ottenuti alle scale rade, quindi in modo molto piuagevole in relazione al minor numero di variabili coinvolte.
Con una scelta appropriata delle diverse modellazioni ed una opportunaarticolazione e taratura della strategia iterativa, si puo ottenere un guadagnodi efficenza dellordine delle centinaia di volte.
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Analisi Pushover e Costruzioni in Muratura Strategia di analisi
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Modellazione in due livelli
0.1 MPa
13000
13000 mm
La scala rada vede linsieme
della parete discretizzata inelementi finiti;
La scala fitta vede i singolicostituenti (mattoni e giunti)con i loro dettagli interni.
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Analisi Pushover e Costruzioni in Muratura Strategia di analisi
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Definizione dellelemento
Lelemento finito utilizzato nelladescrizione rada potrebbe esseredefinito in modo standard, a partireda una opportuna omogeneizzazionein continuo equivalente.
Questa scelta non e tuttaviaconveniente (proprio per ledifferenze di comportamentointrodotte dalla omogeneizzazione).
Risulta conveniente definire
lelemento, per via algebrica,mediante condensazione statica delpattern di mattoni internoallelemento.
u
v
x01
0y
y1
1 6 2
7
384
5
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Analisi Pushover e Costruzioni in Muratura Validazione sperimentale
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Test di Pavia
Test sperimentale su una casetta a due piani condotto allUniversita di Pavia neglianni 90. La struttura e caricata con martinetti orizzontali con escursione ciclica di
intensita crescente.
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
displacement
mm
time
104 104 104104208
624 cm
59
97
117
98
58
234
663
1st floor
2nd floor
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Analisi Pushover e Costruzioni in Muratura Validazione sperimentale
/
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Confronto numerico/sperimentale
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20
(c)
-200
-100
0
100
200
baseshear(kN)
drift
Curva carico/spostamento:
Soluzione numerica multilivello
Soluzione numerica ottenuta daGambarotta e Lagomarsino (1997)
Curva sperimentale
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Analisi Pushover e Costruzioni in Muratura Validazione sperimentale
Al d
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Alcune considerazioni
La simulazione numerica riproduce abbastanza fedelmente il test sperimentale, sia
per per quanto riguarda levoluzione del danno che lampiezza dei cicli di isteresi.Possiamo fare alcune considerazioni
Il danno si evidenzia solo nei giunti di letto ed interessa poco i giunti di testa.Cio puo essere considerato tipico per strutture ben realizzate.
Il danno si manifesta gia nei cicli iniziali, e per escursioni limitate.
La struttura conserva una portanza relativamente elevata in ragionedellattrito.
Una modellazione fine e cruciale per una comprensione dei fenomeni in giocoe per ottenere risultati utili ad un confronto, ma non fornisce, al momento,un approccio utilizzabile nella pratica professionale.
E ragionevole assumere, a vantaggio di sicurezza, che il processo didanneggiamento sia completato e che, quindi, la resistenza residua dellastruttura sia controllata dallattrito.
I meccanismi anelastici che si riscontrano nelle simulazioni sono limitati innumero e ben individuabili.
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Analisi Pushover e Costruzioni in Muratura Validazione sperimentale
D f i l i ll l
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Deformazione anelastica nellelemento
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Analisi Pushover e Costruzioni in Muratura Validazione sperimentale
M d ll i lifi
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Modellazione semplificata
Il comportamento elastico e ricavato con procedura semplificate (medianteopportuna taratura dei fattori elastici). Dato il ruolo, poco rilevante, nelcomportamento complessivo della muratura, questa approssimazione puoritenersi soddisfacente.
Viene usata una discretizzazione in elementi finiti misti, definiti in termini di
spostamento, tensione e deformazioni anelastiche.Lelemento cos definito e insensibile al locking e puo essere utilizzato anchecon discretizzazioni relativamente rade.
Il legame costitutivo e definito assumendo gia completato il processo didanneggiamento. Cio semplifica e rende molto piu veloce il processo di
analisi.Lanalisi e svolta con strategia pathfollowing ed utilizza una variante informato misto dellalgoritmo iterativo arclength.
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Analisi Pushover e Costruzioni in Muratura Validazione sperimentale
A li i h i P 2000
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Analisi pushover in Por 2000
Por2000 Test sperimentaleForza max 30.3 T 30 TSpostamento max 2.18 cm 2.5 cm
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Analisi Pushover e Costruzioni in Muratura Validazione sperimentale
I otesi di odella io e i Po 2000
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Ipotesi di modellazione in Por 2000
Le ipotesi base assunte in Por 2000 sono:1 i maschi murari hanno un comportamento tipo shear-type, ovvero abbiano
rotazioni al piede e in testa impedite;2 il loro spostamento in pianta sia descrivibile come roto-traslazione rigida.
La prima ipotesi e valida in presenza di un sufficiente grado di ammorsamento frale pareti, tale da garantire un comportamento scatolare dellinsieme. Infatti:
la presenza dei muri trasversali limita notevolmente la rotazione delle sezioniterminali delle murature, rendendo plausibile lipotesi di rotazioni impedite alpiede e in testa;
La deformabilita tangenziale e, nelle murature circa 10 volte piu grande chein un Cauchy standard:
nel caso di setti adiacenti ad aperture, la deformabilita del collegamento puoessere messa in conto, come in effetti si fa in Por 2000, attraverso unappropriato trattamento del nodo a dimensione finita.
Per quanto riguarda la seconda ipotesi, questa non discende, dalla presenza disolai di piano rigidi ma e conseguenza anchessa del comportamento scatolare
delledificio (anche in assenza di solai).Raffaele Casciaro (Unical) Newsoft - www.newsoft-eng.it Crotone 2011 31 / 31