Decadimenti

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Decadimenti

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Conservazione del 4-Impulso

• Conseguenza delle proprieta’ di invarianza per traslazione nello spazio e nel tempo per un sistema isolato:– Conservazione del 4-impulso totale in ogni processo fisico

• Numero e tipo di particelle nello stato iniziale sono in generale diversi da quelli nello stato finale:– Creazione e distruzione di particelle

• Di enorme importanza nelle applicazioni della cinematica relativistica allo studio di fenomeni specifici.– E’ spesso possibile individuare altre quantita’ conservate

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Decadimento a Due Corpi (1)

• Particella “madre” di massa M che decade in due particelle “figlie” di massa m1 ed m2

• Lavoriamo nel sistema del CM della particella madre, imponendo la conservazione del 4-impulso (omettiamo per il momento gli “*” che identificano le quantita’ nel CM):

• Le particelle figlie escono back-to-back nel sistema del CM

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• Da cui:

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• E quindi:

• Riarrangiando i termini:

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• In conclusione, riintroducendo gli “*”, troviamo che |p|* delle particelle figlie, nel sistema del CM della particella madre e’:

• Se m1=m2=m

• Se m1=m2=0

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• Energia delle particelle “figlie” nel sistema del CM della particella “madre”:

• Osservazioni:– Impulso delle particelle “figlie” e’ uguale, la loro energia in generale no– Impulsi (in modulo) ed energie hanno un valore fisso nel CM:

Caratteristica dei processi a due corpi– Perche’ l’impulso abbia valori reali deve essere come ci si attende intuitivamente– Nulla ci dice la cinematica della distribuzione angolare: essa e’ fissata

da regole dinamiche legate al momento angolare ed allo stato quantico della particella che decade

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• Qual e’ l’impulso delle particelle figlie nel riferimento del LAB, nel quale la particella madre viaggia con velocita’ b=p/E ? Applicazione della relazione impulso-angolo trovata prima:

• Come atteso, due situazioni possibili:

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Decadimento po->gg (1)• Consideriamo il decadimento po ->gg nel CM

• Nel CM del p0 escono back-to-back 2 fotoni monocromatici di 67.5 MeV ciascuno

Decadimento po->gg (2)• Nel sistema del LAB il po si muove con impulso pp

(scegliamo asse z nella direzione di volo del po)• TdL di un fotone dal CM al LAB:

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Decadimento po->gg (3)• Ricaviamo minima e massime energia del fotone nel LAB

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Decadimento po->gg (4)• Nel CM i fotoni sono monocromatici.

– Nel LAB c’e’ correlazione energia-angolo

• Se consideriamo un gran numero di decadimenti osserviamo una distribuzione statistica di angoli di decadimento a cui corrisponde una distribuzione statistica di energie dei fotoni.

• Il decadimento del po e’ isotropo nel suo CM (ossia la distribuzione angolare dei fotoni e’ costante in cosq ed in j):

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Decadimento po->gg (5)• Distribuzione dell’energia del g nel LAB

• Ci aspettiamo quindi distribuzione piatta tra Emin ed Emax del fotone.

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Decadimento po->gg (6)• Distribuzione angolare

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Scoperta del po (1)• Scattering di p- su p. Possibili reazioni:

• Caso 1): impulso di g ed n ha unico valore: g monocromatico

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Scoperta del po (2)• Caso 2). Ci aspettiamo:• Impulso del po con un unico valore

• Distribuzione piatta in Eg

• Valore minimo dell’angolo fra i 2 g

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Scoperta del po (3)• Scatteri di p- in cui si ipotizza vengano prodotti po soprattutto in

avanti.

• In questo caso pp e’ fissato (al valore dell’impuso del p incidente se si trascurano le differenze di massa)

• Contatori vedono flusso di g dal bersaglio– Due contatori in posizione simmetrica rispetto al fascio osservano 2 g in

coincidenza– Variando l’angolo fra i contatori si osserva che al di sotto di un certo

angolo i conteggi vanno a zero

• Distribuzione di energia dei g e’ piatta

• Il p0 e’ stato scoperto !

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Decadimenti di K e p a Riposo

• Decadimenti di K e p “da fermi” in emulsioni nucleari.

• Energie fissate ->Range in emulsione nucleare fissati• Dal range delle tracce osservate: Riconoscimento p vs. K

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pstop->mn

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Kstop->mn

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K,p->mn in volo

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Identificazione dei K in Alice

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Fasci di Neutrini (1)• Costruzione dei fasci di neutrini e’ basata sui decadimenti K,p->mn

– K,p prodotti in collisioni protoni-nuclei

• Nel CM della particella madre:

• Il decadimento e’ isotropo, quindi la distribuzione di energia nel LAB:

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Fasci di Neutrini (2)• Spettro di energia dei neutrini molto largo

– Per un dato evento l’energia del neutrino incidente non e’ nota

• E’ possibile ricavare l’energia del neutrino dall’angolo di emissione

• Relazione tra angolo ed energia si trova dalla conservazione del 4-impulso

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Fasci di Neutrini (3)

Se Ep>>mp

Per piccoli angoli:

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Neutrini dal CERN al Gran Sasso (1)

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Invarianti• (Quantita’) invariante:

– Grandezza fisica che ha lo stesso valore in tutti i sistemi di riferimento.

• Esempi:– Norma di un 4-vettore– Massa (a riposo) di una particella– Prodotto scalare di due 4-vettori

• Utili per trattare in modo abbreviato e semplice molti problemi di cinematica relativistica

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Gradi di Liberta’• Stato finale ad N corpi con massa fissata.

– 3N componenti dell’impulso– Normalmente lo stato iniziale (massa ed impulso) e’ noto– -> 4 vincoli dalla conservazione del 4-impulso– In generale 3N-4 gradi di liberta’

• Decadimenti a due corpi: 6-4=2 gradi di liberta’– Normalmente angoli q* e j* della direzione del volo nel CM– Di solito j* non e’ significativo -> una sola variabile

dinamicamente rilevante: q*

• Decadimento a 3 corpi: 9-4=5 gradi di liberta’

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Decadimento a 3 Corpi (1)• 3 particelle nello stato finale:

– 3x3=9 Componenti impulso di 3 particelle

• Conservazione del 4-impulso totale:

• 4 relazioni di conservazione = vincoli– 9-4=5 gradi di liberta'

• 3 variabili non significative dinamicamente– (Es.: Orientamento della terna di assi nel CM (3 angoli) non rilevante)– 2 variabili dinamicamente significative

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Decadimento a 3 Corpi (2)• Consideriamo la somma dei 4-impulsi delle

particelle 1 e 2 dello stato finale:

• Il modulo quadro di P, che e’ un invariante,:

• sarebbe la massa a riposo al quadrato se P fosse il 4-impulso di una particella.In questo caso e’ la massa a riposo del sistema di due particelle.– Non dipende solo dalla massa a riposo ma anche dagli

impulsi (in modulo e direzione) delle due particelle

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Decadimento a 3 Corpi (3)• Applichiamo ora la conservazione del 4-impulso :

• Definiamo gli invarianti:

• Il cui significato fisico e’ quello di massa invariante delle 3 coppie di particelle che si possono formare in uno stato finale a 3 corpi

• Vale la relazione:• Quindi solo due delle si sono indipendenti

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Decadimento a 3 Corpi (4)

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Decadimento a 3 Corpi (5)• Regioni di variabilita’ delle 3 masse invarianti:

• Considerando le prime 2 come indipendenti:• La regione accessibile del piano m12, m13 non e’ un rettangolo

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Questa equazione definisce una curva nel piano (s2.s1) che delimita la regione ammessa

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Dalitz Plot (1)• Modo di rappresentare le variabili dinamiche in

una reazione con stato finale 3 a corpi:

Ogni evento: un punto

Modo interessante perindividuare la produzione distati instabili (risonanze),che si individua dall’accumulo di eventi in certe regioni

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Dalitz Plot (2)

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