Problemi, Modelli e Algoritmi

Cagliari Numerical Analysis Group - http://bugs.unica.it/cana/Luisa Fermo, Daniela Lera, Giuseppe RodriguezAnna Concas, Patricia Díaz De Alba, Caterina Fenu, Gabriele Stocchino

Dipartimento di Matematica e InformaticaLa Matematica Applicata si occupa in generale di riprodurre il comportamento di sistemi fisici mediante opportuni modelli matematici e di svilupparealgoritmi efficaci per la loro analisi. Questo poster illustra in modo sintetico alcuni problemi applicativi studiati dal gruppo di Analisi Numerica del nostroDipartimento, insieme ai modelli e algoritmi che sono stati utilizzati per analizzarli. Volutamente, non sono stati indicati collegamenti tra le metodologiematematiche e le applicazioni. Gli studenti interessati potranno discuterne a voce con i componenti del gruppo nel corso dell’incontro previsto.

Algebra Lineare Numerica

Ax = b Av = λv A = LU,QR,XJX−1, UΣV T , . . .

I sistemi di equazioni lineari sono probabilmente il problema piùdiffuso nella Matematica Applicata, perché molti modelli continuilineari vengono ricondotti ad essi mediante discretizzazione, esistemi di equazioni nonlineari possono essere risolti mediante unalinearizzazione iterativa. Il calcolo di una soluzione significativapuò divenire un compito arduo in presenza di un elevatocondizionamento e/o di grandi dimensioni (n 103). È invecerichiesta una riformulazione del problema quando il numero delleequazioni differisce da quello delle variabili o il rango non è pieno.Il calcolo di autovalori e autovettori conduce a problemicomputazionali ancora più complessi e diviene del tutto irrisolubileper alcune classi di matrici non diagonalizzabili di dimensioni nonbanali, conducendo all’introduzione di strumenti alternativi per lostudio delle proprietà delle matrici, quali i valori e vettori singolari.La scelta di un’opportuna fattorizzazione matriciale, completa oparziale, costituisce spesso la chiave per la costruzione di unalgoritmo efficiente in termini di accuratezza e complessità.

Equazioni Differenziali

y = f(x, y)

y(x0) = y0, x ∈ [x0, b]

∆u = f

u∂Ω = u0

Le equazioni differenziali, ordinarie o a derivate parziali, sono inassoluto il modello più utilizzato nelle scienze applicate.Esse sono utilizzate per descrivere un sistema fisico quando sononote informazioni sul suo comportamento locale.L’Analisi Matematica fornisce gli strumenti per il loro studio, maquando non è possibile esprimere la soluzione in forma chiusa ènecessario calcolarne un’approssimazione numerica.

Equazioni Integrali

∫ b

a

k(x, y)f(y) dy = g(x) f(x) + λ

∫ b

a

k(x, y)f(y) dy = g(x)

Quando sono disponibili informazioni globali su un fenomeno, ilmodello matematico spesso presenta la funzione incognita sotto ilsegno di integrale. Per ottenere un’approssimazione numericasignificativa è necessaria una efficace discretizzazione. In talunicasi essa può portare a problemi malposti.

Ottimizzazione

minx∈Rn

f(x)

Il problema di determinare i punti di minimo di una funzione èonnipresente in tutti i settori matematici e applicativi. Il calcolo delminimo può essere reso difficoltoso da vari fattori, quali:nonlinearità, condizionamento, caratteristiche del dominio,sensibilità rispetto al punto iniziale, necessità di determinare ilminimo globale, etc.

Prospezione Geofisica

Nella Geofisica Applicata sono comuni tecniche di indagine nondistruttive basate sull’uso di onde elettromagnetiche o sismiche.

Analisi di reti complesse

Quali sono le pagine web piùimportanti? Come è possibileindividuare una comunità in unarete sociale? Come contrastare ildiffondersi di una malattia?

Traffico veicolare

La modellizzazione del trafficoveicolare consente di simularesituazioni realistiche e non, inmodo da trarre utili indicazioni sucome il sistema reale potrebberispondere al verificarsi dideterminate condizioni.

Computer Vision

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Il problema dello shape from shading ha lo scopo di ricostruire ilmodello 3D di un oggetto, a partire da un insieme di fotografie.

Image Processing

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L’image deblurring (ricostruzione immagini sfocate) è uno dei tantiproblemi matematici interessanti tipico di questo settore di ricerca.

17-20 Ottobre 2016 Corso di Studi in Matematica