Post on 20-Feb-2019
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5. Processi di diffusione termica in una dimensione.
Ovvero: soluzioni esplicite dell’equazione di diffusione
Sistema monodimensionale: barra/cilindro nel limite di piccola sezione
0 L
x
),(),,(: txjtxTT0L qxquj
Regime lineare: x
txTTtxj txTT
q
),(|)(),( ),(
Equazione di diffusione termica non lineare:
x
txTT
xTc
1
t
txTtxTT
txTTV
),()(
)(
),(),(
),(
2
2
x
txTD
t
txT
),(),(VcD /:
Se costanti: equazione di diffusione lineare Vc,
Nel seguito utilizziamo l’equazione di diffusione lineare!
2
Analisi degli stati stazionari
Barra a contatto con due termostati a differenti temperature L0 TT ,
0x
termostato a 0T
Lx
termostato a LT
barra
Nel tempo la barra raggiunge uno stato stazionario descritto campo delle
temperature indipendente dal tempo con condizioni al contorno: )(xTss
Lss0ss TLTT0T )()(
Stato stazionario come soluzione dell’equazione di diffusione:
2
ss
2
ss
x
TD0
t
T
Condizioni al contorno: xL
TTTxT 0L
0ss
)(
bxaxT0dx
xTdss2
ss
2
)()(
gradiente costante della temperatura
3
L
TT
x
xTj 0Lssq
ss
)(:Flusso costante:
Nota: lo stato stazionario non è uno stato di equilibrio, anche se le proprietà del
sistema (barra) sono indipendenti dal tempo. Lo stato termodinamico dei
termostati cambia nel tempo e la barra è sottoposto ad un flusso di calore.
Determinazione del coefficiente di conduttività termica dalla misura della quantità
di calore assorbita/ceduta dai termostati:
LTT
j
0L
q
ss
/)(
0L TT come parametro di controllo della linearità della diffusione termica.
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Effetti della conduttività termica non uniforme: stato stazionario con due barre a
contatto.
11 D,22 D,
0
x
0TL2TLT
L L2
termostato termostato
Equazioni di diffusione
per i due cilindri
2
1 2
2
2 2
( , ) ( , )0 :
( , ) ( , )2 :
T x t T x tx L D
t x
T x t T x tL x L D
t x
Condizioni al contorno: 0 2(0 , ) (2 , ) ( , ) ( , )LT t T T L t T T L t T L t
Quarta condizione: conservazione del flusso al contatto dei due cilindri
2Lx
2
Lx
1
x
txT
x
txTtLjtLj
),(),(),(),(
5
Calcolo della soluzione stazionaria lineare con ( )stT x x
0 0
2
0 : ( ) [ ( ) ]
2 : ( ) ( ) [ ( )]
st st
st st L st
xx L T x T T L T
L
x LL x L T x T L T T L
L
L
TLTj 0ss
1
q
1ss
)(,
L
LTTj ssL2
2
q
2ss
)(,
L’incognita è calcolata dall’uguaglianza dei flussi
21
L2201ssL
q
2ss
q
1ss
q
ss
TTLTTjjj
)(:,,
Implicazione dell’uguaglianza dei flussi: il gradiente termico è inversamente
proporzionale al coefficiente di conduttività termica
2
q
ssLL2
1
q
ss0L j
L
TTj
L
TT
6
Interpretazione secondo un sistema omogeneo con coefficiente di conduttività
termica efficace eff
21eff
2
q
ss
21
1
q
ss
210L
21LL2
210L2
eff
q
ss
111
jj
L
TT
L
TT
L2
TTj
/: 1R Coefficiente di resistenza termica:
21eff RRR
Le resistenze termiche si sommano come le resistenze dei circuiti elettrici
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Diffusione termica nel dominio infinito
Barra isolata con x
Equazione di diffusione in termini operatoriali
2
2
xDtxT
t
txT
:ˆ),(ˆ),(
operatore di diffusione
Analogia con l’equazione di Schroedinger per il moto inerziale (in una dimensione)
2
22
xm2HtxH
t
txi
:ˆ),(ˆ),(
operatore Hamiltoniano
m2DH 2 / se ˆˆ
Differenze
1) Funzione d’onda come campo a valori complessi
2) Unità immaginaria nel termine temporale
L’analogia nella struttura matematica consente di applicare all’equazione di
diffusione gli stessi metodi di soluzione dell’equazione di Schroedinger.
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Soluzione dell’equazione di Schroedinger via autofunzioni dell’Hamiltoniano
m2
qExfExfHiqxxf
22
qqqqq
)()(ˆexp:)(
Stato stazionario per la funzione d’onda:
/exp)()()()(
)()()(ˆ)()()(),(
)()(),(
tiE0ctctcEi
dt
tdc
xfEtcxfHtcxfdt
tdci
t
txixftctx
qqqqq
/(exp),( tEqxitx q
Soluzione come onda stazionaria
con lunghezza d’onda e periodo qEhT / 2q /
Controparte per l’equazione di diffusione:
0Dqxfxfiqxxf 2
qqqqq )()(ˆexp:)(
t0ctctcdt
tdc
xftcxftcxfdt
tdc
t
txTxftctxT
qqqqq
exp)()()()(
)()()(ˆ)()()(),(
)()(),(
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tiqxtxT q exp),(
Nota: assenza dell’unità immaginaria nell’equazione di diffusione dipendenza
temporale oscillatoria rimpiazzata da un decadimento esponenziale!
Campo deve essere a valori reali
t
qqeqxbatiqxbatxT
)cos(expRe),(
),( txT
oppure
t
qqeqxbatiqxbatxT
)sin(expIm),(
o loro combinazioni lineari: tqeqxTatxT
)sin(),(
Decadimento allo stato di equilibrio a tempi lunghi:
aeqxTatxTTt
tteqq
)sin(lim),(lim
t
eqqeqxTTtxT
)sin(),(
eqTT0t0txT per ),(Temperatura positiva:
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Soluzione del problema diffusivo poco interessante: come si fa ad imporre una
dipendenza periodica della temperatura allo stato iniziale?
Situazione sperimentalmente rilevante: riscaldamento locale del sistema
precedentemente equilibrato salvo in un dominio finito eqT0xT ),(
Problema formale: data la condizione iniziale determinare il campo di
temperature a tempi successivi (t>0) come soluzione dell’equazione di
diffusione
),( txT
),( 0xT
0txTt
),(ˆ
Si possono utilizzare le onde stazionarie a tale scopo?
Ingredienti metodologici:
1) L’onda stazionaria diffusiva
),(),(ˆ:exp:),( txftxfDqtiqxtxf qqq
2
qqq
è una soluzione dell’equazione di diffusione
0txft
q
),(ˆ
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2) Le combinazioni lineari di onde stazionarie diffusive sono soluzioni
dell’equazione di diffusione
jjqj
j qc0txfct j
,),(ˆ
3) Estensione al continuo della combinazione lineare
)(),()(ˆ qc0txfqcdqt
q
Questione: come scegliere la funzione peso c(q) affinché si riproduca il profilo
iniziale della temperatura T(x,0)?
),()(),()( 0xTeqcdq0xfqcdq iqx
q
Ingrediente matematico necessario: trasformate di Fourier
Data una funzione g(x), la sua trasformata di Fourier è definita come
)(:)(~ xgedxqg iqx
Teorema: sotto opportune condizioni (per l’esistenza dell’integrale) la funzione
originaria è data come anti-trasformata di Fourier
)(~)( qgedq2
1xg iqx
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Se con g(x) che si annulla esponenzialmente per )(),( xgT0xT eq x
eq
iqxiqx T0xTedxxgedxqg
),()()(~
Allora )(~),( qgedx2
1T0xT iqx
eq
e la funzione di peso risulta determinata: 2
qgqc
)(~)(
Soluzione del problema diffusivo con condizione iniziale data:
)(~),()(~),( qgtxfdq2
1Tqgedq
2
1TtxT qeq
tiqx
eqq
Nota: non si pone nessun vincolo sulla condizione iniziale T(x,0) , salvo il
decadimento sufficientemente veloce all’infinito.
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Applicazione: condizione iniziale gaussiana
per dati )(),( xaGT0xT
0eq
00eq x00a0T ,,,
Gaussiana normalizzata: 2
22
2
2xxG
)/exp()(
: “larghezza” della gaussiana
22xxGdx1xGdx
)()(
Proprietà: la trasformata di Fourier di una gaussiana è ancora una gaussiana
)/exp()()(~
2qxGedxqG 22iqx
0 x
)(xG
355222 .ln
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2Dt2qedq2
aT
eedq2
aTqGtxfdq
2
aTtxT
2
0
2iqx
eq
2qtiqx
eqqeq
20
2q
0
/)(exp
)(~
),(),(/
Soluzione dell’equazione di diffusione:
)(
/)(exp),(
)( xGaT
2tqedq2
aTtxT
teq
22iqx
eq
Definizione: larghezza della gaussiana dipendente dal tempo 2
0Dt2t :)(
Conclusione: il profilo della temperatura è gaussiano a tutti i tempi.
Quale stato per tempi infiniti?
eqt TtxT0xGtt ),()()(: )(
L’energia termica in eccesso viene distribuita equamente su una barra infinita,
non producendo alcun incremento di temperatura rispetto a eqT
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0/x x
( , )T x t T
1a00 ,
Il coefficiente di diffusione controlla la rapidità della redistribuzione di energia
termica.
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Delta di Dirac: 0 0( ) ( ) ( )f x dx f x x x
0 00
lim ( ) ( )G x x x x
Quale condizione iniziale per ? 00 )(
Se , allora )(),()( xaT0xT00 eq
Nota:
0tx0TtxT2
0x0T0xT1
eq
eq
fissato per , per ),()
per ),()
Implicazione: nei punti con , c=velocità della luce, risulta una
propagazione dell’energia termica a velocità superluminale.
ctx ||
Nota: il campo della temperatura risulta indeterminato per t<0.
Data una condizione iniziale arbitraria T(x,0), l’equazione di diffusione determina
univocamente il campo di temperature T(x,t) nei tempi successivi, t>0, ma non
necessariamente nei tempi antecedenti, t<0.
L’equazione di diffusione è il generatore di un semigruppo di trasformazioni
dinamiche (invece di un gruppo, come nella Meccanica Classica o Quantistica).
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0 L
x
Diffusione termica in un cilindro finito e isolato.
Condizione al contorno: assenza di flusso! 0tLjt0j qq ),(),(
0x
txT
x
txT
x
txTtxj
Lx0x
q
),(),(),(),(
cioè condizioni al contorno di tipo riflessivo.
Obiettivo: data la condizione iniziale , trovare per ( ,0)T x ( , )T x t 0t
Isomorfismo con l’equazione di Schroedinger per la particella in una scatola:
possiamo utilizzare gli stessi metodi di soluzione, in particolare l’espansione su
una base di autofunzioni dell’operatore di evoluzione temporale
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( ) ( )n n nx x Problema agli autovalori con 0,( ) / | 0n x Ld x dx
Spazio vettoriale Hilbertiano delle funzioni che soddisfano alle condizioni al
contorno, con prodotto scalare definito come
0| ( ) ( )
L
f g dx f x g x
Possibili forme funzionali per le autofunzioni: exp( ), sin( ), cos( )Kx Kx Kx
Solo soddisfa alla condizione al contorno per cos( )Kx 0x
Condizione al contorno per : x L
0 cos( ) / | sin( )x Ld Kx dx K KL KL n
0,1,2, ( ) cos( / )nn x n x L 2 2 2/n n D L
=costante, : soluzione per lo stato di equilibrio
Per
00 0
Le autofunzioni normalizzate
costituiscono una base ortonormale ,0( ) (2 ) / cos( / )n nx L n x L
,|n m n m
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Espansione del campo di temperatura sulla base:
),()(:)()()(),( txTxtcxtctxT nn
n
Calcolo della dipendenza temporale:
),()(/),()(:)(
txTxdttxdTxdt
tdcnn
è un operatore hermitiano
t
nnnnnne0ctctctxTx
dt
tdc )()()(),()(
)(
Coefficienti deteminati dall’espansione della condizione iniziale
),()()( 0xTx0c nn
)(0cn
Conclusione:
soluzione esplicita, ma non analitica: bisogna sommare una serie!
0
( , ) ( ) | ( ,0)nt
n n
n
T x t e x T
Stato di equilibrio
determinato dalla temperatura media iniziale : la conservazione
dell’energia interna implica che la temperatura media sia costante
0 0 0 .0
lim ( , ) (0) (0) / ( ,0) / (0)L
eq avt
T T x t T T L dx T x L T
0,
.0 0
( )0 ( , ) ( , ) / ( )
L LL
v v av
dU t d d ddx u x t c L dxT x t L c L T t
dt dt dt dt
.(0)avT
20
0 0.25 0.5 0.75 1.0/x L
( , ) 298T x t
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Esempi di problemi con condizioni al contorno di tipo non riflessivo
Cilindro in equilibrio per con un termostato a temperatura a contatto con
Il bordo a , che per viene posto a contatto al bordo con un
termostato a temperatura
0t LTx L 0t 0x
0T
Equazione di diffusione per :
condizioni al contorno:
condizione iniziale:
0t 2
2
( , ) ( , )( , )
T x t T x tD T x t
t x
0lim ( , ) per 0Lt
T x t T x
0(0, ) ( , ) LT t T T L t T
Soluzione stazionaria: 0 0( ) lim ( , ) ( )st Lt
xT x T x t T T T
L
Soluzione esatta via espansione sulle autofunzioni di
( , ) ( , ) ( ) (0, ) ( , ) 0stT x t T x t T x T t T L t
00
0 : lim ( , ) ( )(1 / )Lt
x T x t T T x L
( , )( , )
T x tT x t
t
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Autofunzioni di con condizioni al contorno per ( , )T x t
,1,2,3, ( ) 2/ sin( / ) |n n m n mn x L n x L
2 2 2( ) ( ) ( / )n n n nx x n D L
Soluzione del problema
( , ) ( ,0) ( ) | ( ,) ( ) | ( ,0)ntt t
n n n n
n n
T x t e T x e x T e x T
0
2| ( ,0) ( 1) ( )n
n L
LT T T
n
20
0
2( ) ( 1)( , ) sin( / ) ( / ) 2
nn tL
n
T TT x t e n x L t t D L
n
23
00.20.40.60.81.0/x L
0
( , ) L
L
T x t T
T T
24
Soluzione analitica per il cilindro semi-infinito ( )L
0(0, ) 0 : ( ,0) LT t T x T x T T
Funzione errore: 2
0
2erf ( ) erf ( ) 0 erf ( ) 1
yzy e dz y
Funzione di prova: con erf ( 2 / )x ( )t
Dopo sostituzione nell’equazione di diffusione:
con la soluzione di interesse poichè
2( ) 1 ( )( )
2
d t d tt D
dt dt
( ) 2t Dt
0lim erf[ 2 / ( )]x
x t
1 per 0
0 per 0
x
x
Soluzione esplicita: 0 0( , ) ( )erf ( / )T x t T T T x Dt