• Matematica nella realtà
• Inclusione e potenziamento
• Competenze e Invalsi
• Videoesercizi e videoproblemi
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QUADRATOAL
Luigi Ferrando
Leonardo Sasso
PERCORSI
SEMPLIFICATIa cura di F. Brembati, R. Donini
Luigi Ferrando
Leonardo Sasso
QUADRATOAL
2
PERCORSI
SEMPLIFICATI
INDICE
ARITMETICA 2 1
1. I numeri decimali 2
Formulario dello studente 10
2. Rapporti e proporzioni 11
Formulario dello studente 25
GEOMETRIA 2 27
3. Circonferenza e cerchio 28
Formulario dello studente 37
4. L’area delle i gure piane 38
Formulario dello studente 59
5. Il teorema di Pitagora 60
Formulario dello studente 78
Tavole di scomposizione
in fattori primi dei numeri da 1 a 200 80
Tavola di quadrati e radici quadrate
dei primi 200 numeri 81
Contenuti
Frazioni e numeri decimali
Rapporti e proporzioni
Ingrandimenti e riduzioni
La percentuale
Obiettivi
Distinguere i numeri decimali limitati dai numeri periodici
Trasformare in frazione e svolgere calcoli con i numeri decimali limitati
Calcolare il rapporto fra due numeri
Capire cosa sono le proporzioni e applicare la proprietà fondamentale delle proporzioni
Calcolare il termine incognito di una proporzione
Utilizzare i rapporti nell’ingrandimento e nella riduzione di figure
Applicare le proporzioni nel calcolo della percentuale
ARITMETICA 2
ARITMETICA 2
2
1 I numeri decimaliIn questa Unità approfondiremo lo studio dei numeri
decimali. Ogni giorno utilizzi i numeri decimali, quindi
possiedi sicuramente delle conoscenze su questo
argomento che ti possono risultare utili.
Ad esempio quando acquisti un gelato che costa 2,50 euro
hai utilizzato i numeri decimali.
Scoprirai che ci sono diverse tipologie di numeri decimali,
e che tutti possono essere generati da una frazione.
L’argomento è semplice e interessante quindi… buon
lavoro!
Obiettivo: sapere che una frazione rappresenta il quoziente della divisione tra due numeri naturaliUna frazione, oltre a rappresentare una parte dell'intero, può anche essere considerata un
operatore, cioè un'operazione.
La frazione 16 _ 2 può essere considerata una divisione, ovvero: 16 : 2 = 8
Esempio 15 _ 4 = 15 : 4 = 3,75 10 _
3 = 10 : 3 = 3,3333333… 32 _
4 = 32 : 4 = 8
I quozienti, cioè i risultati delle divisioni, possono essere numeri sia interi che decimali, a loro
volta i risultati che sono numeri decimali possono essere limitati come per esempio 3,75 o
illimitati, come per esempio 3,3333333…
Esercizio in autonomia 1. Calcola i numeri generati dalle seguenti frazioni.
2 _ 16
8 _ 7 52 _
14 5 _
18 85 _
4 2 _
18 24 _
5 32 _
8 4 _
40
Esempio 2 _ 15
= 2 : 15 = 0,1333333…
1 I numeri decimali
3
Obiettivo: conoscere i numeri decimali limitati e illimitati periodiciNei numeri decimali limitati il numero di cifre decimali è limitato: se esegui la divisione a
mano a un certo punto il resto è zero; se invece usi la calcolatrice, sullo schermo comparirà
un numero limitato di cifre decimali.
Esempio Questi sono numeri decimali limitati:
2,24 3,7589 9,4 3,323569
Nei numeri decimali illimitati le cifre decimali che si trovano dopo la virgola sono infinite.
Se esegui la divisione a mano, potresti procedere per ore e ore senza arrivare mai ad avere
resto zero, mentre se usi una calcolatrice, sul display appaiono in genere 8 cifre decimali
oppure il numero scritto sotto forma di un particolare tipo di potenza.
Esempio Questi sono numeri decimali illimitati:
2,32323232… 0,3333333… 25,65555…
I numeri decimali illimitati si chiamano periodici e hanno una particolare notazione, cioè
si traccia un segno orizzontale sopra le cifre decimali che si ripetono. Le cifre che si trovano
sotto il trattino orizzontale si chiamano periodo.
Esempio 1 _ 3 = 0,3333333333… = 0,
_ 3
5 _ 12
= 0,416666666… = 0,41 _ 6
5 _ 11
= 0,4545454545… = 0, ‾ 45
Esercizio in autonomiaConsidera le seguenti frazioni e stabilisci con il calcolo se generano un numero
naturale (cioè intero), un numero decimale limitato o un numero decimale
periodico.
2. 5 _ 14
6 _ 14
5 _ 16
12 _ 4 10 _
3
Esempio 5 _ 10
= 5 : 10 = 0,5 numero decimale limitato
ARITMETICA 2
4
Esercizi in autonomia 3. Vero o Falso?
a. La frazione 21 _ 2 genera un numero decimale limitato. V F
b. La frazione 30 _ 15
genera un numero naturale. V F
c. La frazione 2 _ 6 dà origine a un numero decimale illimitato di periodo 6. V F
d. Una frazione rappresenta il quoziente di una divisione. V F
e. Un numero decimale limitato ha un numero infinito di cifre decimali. V F
f. Le frazioni 3 _ 9 , 18 _
54 e 7 _
21 generano lo stesso numero decimale. V F
4. Calcola il numero generato dalla frazione 0 _ 33
.
5. Calcola il numero generato dalla frazione 33 _ 1
.
6. Calcola il numero generato dalla frazione 1 _ 6
. Che tipo di numero è?
7. Quali tra i seguenti numeri sono numeri decimali limitati?
3,4 7, _ 8 6 10 0,2 1,
_ 3 9,5 2 0,8
8. Quali tra i seguenti numeri sono numeri decimali illimitati periodici?
7 2, _ 4 9,1 5,
_ 1 0,
_ 9 7,
_ 3 8 1,6 4,
_ 6
9. In quale modo viene scritto il numero decimale periodico 0,3333333333…? Qual è il periodo?
10. In quale modo viene scritto il numero decimale periodico 1,6767676767…? Qual è il periodo?
11. Vero o Falso?
a. 0,9 è un numero decimale periodico. V F
b. La frazione 4 _ 2 dà origine a un numero naturale. V F
c. 2, _ 3 è un numero decimale periodico. V F
d. La frazione 3 _ 2 dà origine a un numero decimale periodico. V F
e. La frazione 1 _ 3 dà origine a un numero decimale limitato. V F
1 I numeri decimali
5
Esercizio svolto 12. Trasforma le frazioni 15 _
8 e 7 _
3 in numeri decimali e indica che tipo di numero
decimale hai ottenuto come quoziente.
15 _ 8 → 15 : 8 = 1,875 il resto della divisione è zero e il quoziente è un numero
decimale limitato.
7 _ 3 → 7 : 3 = 2,3333… = 2,
_ 3 il resto della divisione non è mai zero e si ripete la
cifra 3 del quoziente, che è quindi un numero decimale illimitato periodico.
Esercizi in autonomia 13. Trasforma la frazione 6 _
5 in numero decimale dividendo il numeratore per il
denominatore. La divisione ha termine? Che numero decimale è il quoziente?
14. Trasforma la frazione 8 _ 3
in numero decimale dividendo il numeratore per
il denominatore. La divisione ha termine? Che resto ottieni? Che numero
decimale è il quoziente?
15. Trova i numeri decimali originati dalle frazioni 12 _ 25
, 3 _ 5
e 27 _ 8
e verifica che sono
numeri decimali limitati.
16. Trova i numeri decimali originati dalle frazioni 7 _ 9
, 40 _ 33
e 1 _ 21
e verifica che sono
numeri decimali illimitati periodici.
Per ciascuna delle seguenti frazioni dividi il numeratore per il denominatore e indica che tipo di numero decimale hai ottenuto come quoziente.
17. 1 _ 2
16 _ 3
7 _ 5
11 _ 4
18. 10 _ 3
11 _ 8
1 _ 4
3 _ 4
19. 9 _ 2
5 _ 6
11 _ 6
10 _ 4
20. 53 _ 30
37 _ 15
41 _ 20
61 _ 40
Obiettivo: conoscere e sapere operare con le frazioni decimali e con i numeri decimali limitatiLe frazioni decimali sono frazioni che hanno come denominatore 10 o un multiplo di 10
(ad esempio 100, 1.000, 10.000…)
Esempio 7 _ 10
15 _ 100
2 _ 1.000
154 _ 10.000
ARITMETICA 2
6
Le frazioni decimali generano sempre numeri decimali limitati.
– Calcoliamo il primo esempio:
7 _ 10
= 7 : 10 = 0,7
Si dice che la frazione 7 _ 10
è la frazione generatrice del numero 0,7.
Questo significa che se trasformi la frazione 7 _ 10
nella divisione 7 : 10 ottieni il numero 0,7.
Esempio 15 _ 100
= 15 : 100 = 0,15
2 _ 1.000
= 2 : 1.000 = 0,002
154 _ 10.000
= 154 : 10.000 = 0,0154
Ricorda:
Per dividere per 10, 100, 1000… puoi semplicemente contare gli zeri del divisore e
spostare la cifra delle unità come nella tabella.
DIVIDO PER… GLI ZERI SONO… SPOSTO LA CIFRA DELLE UNITÀ A SINISTRA DI…
10 1 1 cifra
100 2 2 cifre
1000 3 3 cifre
Esempio 32 : 10 = 3,2
313,2 : 100 = 3,132
5 : 1000 = 0,005
– Per calcolare la frazione generatrice di un numero decimale limitato si procede così:
al numeratore si scrive il numero intero senza la virgola;
al denominatore si scrive il numero 1 seguito da tanti zeri quante sono le cifre dopo la
virgola.
1 I numeri decimali
7
Esempio Calcola la frazione generatrice del numero 1,26
126 _ 100
al denominatore si scrive il numero 1 seguito da tanti zeri quante sono le cifre decimali (in questo caso ci sono due cifre decimali, il 2 e il 6, quindi si scrivono due zeri)
al numeratore si scrive il numero intero senza la virgola
frazione generatrice di 1,26
Verifichiamo di avere individuato correttamente la frazione generatrice e proviamo a fare la
divisione.
126 : 100 = 1,26
Svolgendo la divisione otteniamo il numero 1,26 quindi abbiamo individuato correttamente la
frazione generatrice.
Esercizi guidati 21. Svolgi la divisione 34,5 : 10.
Gli zeri del divisore (10) sono: . Devo spostare la virgola di posizione.
34,5 : 10 =
22. Svolgi la divisione 1203 : 100.
Gli zeri del divisore (100) sono: . Devo spostare la virgola di posizioni.
1203 : 100 =
23. Scopri la potenza di 10 per cui è stato diviso il numero 34,5 per ottenere 0,345.
La virgola è stata spostata di posizioni. Il divisore è 1 seguito da zeri.
34,5 : = 0,345
Esercizi in autonomia 24. Svolgi le divisioni.
198 : 10 = 96 : 100 = 380 : 100 = 844 : 1000 =
208 : 100 = 20 : 1000 = 5505 : 10 = 300 : 100 =
25. Svolgi le divisioni.
9,67 : 100 = 67,8 : 1000 = 0,29 : 10 = 2,08 : 10 =
0,5 : 10 = 0,08 : 100 = 0,34 : 10 = 0,01 : 100 =
26. Scopri la potenza di 10 per cui sono stati divisi i numeri.
67,8 : = 0,678 209 : = 20,9 2300 : = 23 550 : = 0,55
3,2 : = 0,32 102: = 1,02 4: = 0,04 32,8 : = 3,28
ARITMETICA 2
8
Esercizi in autonomia 27. Quale delle seguenti frazioni decimali dà origine al numero 0,01?
a. 1 _ 10
b. 1 _ 100
c. 1 _ 1.000
28. Quale delle seguenti frazioni decimali dà origine al numero 0,002?
a. 2 _ 100
b. 2 _ 10
c. 2 _ 1.000
29. Quale delle seguenti frazioni decimali dà origine al numero 0,090?
a. 90 _ 10
b. 90 _ 100
c. 90 _ 1.000
Scrivi il segno di uguaglianza (=) o di disuguaglianza (≠) al posto dei puntini.
30. 12 _ 100
1,2 45 _ 10
4,5 203 _ 100
0,203
31. 6 _ 10
0,06 27 _ 100
0,27 656 _ 1.000
0,656
32. 321 _ 10
3,21 8 _ 1.000
0,008 2.875 _ 10.000
2,875
Scrivi sotto forma di numeri decimali le seguenti frazioni decimali.
33. 7 _ 10
5 _ 10
3 _ 100
34. 4 _ 100
91 _ 100
37 _ 10
35. 124 _ 1.000
13 _ 1.000
654 _ 1.000
Svolgere operazioni ed espressioni con i numeri decimali limitatiPer eseguire le operazioni con i numeri decimali si può procedere in due modi.
1° metodo: esegui i calcoli applicando le regole che hai studiato alla scuola primaria.
0,5 + (0,6 × 1,2) − 0,4 = Calcoli
1,22 - 0,40 =
0,82
0 1
0,50 + 0,72 =
1,22
0,6 × 1,2 =
12 6 −
0,72
= 0,5 + 0,72 − 0,4 =
= 1,22 − 0,4 =
= 0,82
Ricorda:
Nella moltiplicazione dei numeri decimali il risultato avrà due cifre decimali se i fattori
hanno ciascuno una cifra decimale.
1 I numeri decimali
9
2° metodo: trasforma i numeri decimali nella loro frazione generatrice e poi esegui i calcoli indicati.
0,5 + (0,6 × 1,2) − 0,4 =
5 _ 10
+ ( 6 _ 10
× 12 _ 10
) − 4 _ 10
=
5 _ 10
+ 72 _ 100
− 4 _ 10
=
50 + 72 − 40 ___________
100 = 82 _
100
Come puoi osservare, il risultato è identico: infatti 82 _ 100
è la frazione generatrice del numero
0,82 che hai ottenuto come risultato con la prima modalità di risoluzione, cioè facendo i
calcoli con i numeri decimali senza trasformarli in frazione.
Esercizi in autonomiaCalcola il valore delle seguenti espressioni, utilizzando il metodo che preferisci.
36. (2,75 + 0,24 : 1,5) − 0,07 × (18 : 0,3 − 14 : 0,7) + 0,89 [1]
37. 0,75 × 3 − (9 × 0,03 + 0,23) × (0,1 × 4 + 0,3 : 0,2) + 0,3 : 0,5
38. [ (2,25 + 0,55) : 0,7 + 3,2 × (1,27 − 1,02) ] : 2,4 [2]
Calcola il valore delle seguenti espressioni, dopo aver trasformato i numeri
decimali in frazioni.
39. 0,62 − [ (0,75 − 0,2) × 0,2 + (0,1 × 3 − 5 × 0,04) ] : 0,7 [ 3 _ 50
]
40. [ (2,5 + 3 _ 5 ) × 5 _
2 − 0,5] : 0,25 − 4,2 : (10,5 − 6,3) [28]
41. 4 × (0,5 × 2 + 3 _ 2 × 0,5) + 0,4 × (1,25 + 0,52) − 6,4 [
6 _ 5 ]
42. 1,5 + [ 1 _ 2 − (0,3 × 9 − 1,8 × 4 _
3 ) ] + 1,5 × 0,2 [2]
43. 8,6 − [ (4,5 + 12 _ 5 ) : 0,3 − (15,5 + 3,2) ] − (0,6 + 1,2 + 1,5) [1]
[ 19 ___ 10
]
10
Nome Classe
1. I numeri decimali
La frazione 18 _ 5 può essere considerata il quoziente di una divisione.
18 _ 5 = 18 : 5 = 3,6
Nei numeri decimali limitati, il numero di cifre decimali è limitato.
(3,7 18,45)
Nei numeri decimali illimitati, il numero di cifre decimali che trovi dietro la virgola è illimitato.
(2,333… 1,434343…)
Si scrivono così:
1 _ 3 = 1 : 3 = 0,333333… = 0,
_ 3
5 _ 11
= 5 : 11 = 0,454545454545… = 0, ‾ 45
Per calcolare la frazione generatrice di un numero decimale limitato, come 1,26, si procede così:
126 _ 100
al denominatore si scrive il numero 1 seguito da tanti zeri quante sono le cifre decimali (in questo caso ci sono due cifre decimali, il 2 e il 6, quindi si scrivono due zeri)
al numeratore si scrive il numero intero senza la virgola
frazione generatrice di 1,26
Formulario dello studente
11
2 Rapporti e proporzioni
2 Rapporti e proporzioniIn questa Unità ti verranno presentati i concetti di rapporto e di proporzione; non sono concetti semplici e quindi ti consigliamo di soffermarti molto a riflettere su ogni argomento trattato.
Per renderti più facile l’apprendimento e per aiutarti a comprendere quanto spiegato, troverai moltissimi esempi.
Dopo avere analizzato ogni esempio, prova a farne tu un altro simile che spieghi ed esemplifichi quanto hai appena studiato. Alla fine di ogni paragrafo chiediti “che cosa ho capito?”, prova a spiegare con le tue parole ciò che hai letto e cerca di fare degli esempi. Se ti sembra di avere delle incertezze rileggi con attenzione. È una strategia che funziona sempre!
Obiettivo: acquisizione del concetto di rapporto
Il rapporto è il risultato della divisione tra due numeri; il secondo numero deve essere diverso da 0 perché, come dovresti ricordare, non è possibile dividere un numero per 0.
Il primo termine della divisione si chiama antecedente e il secondo termine si chiama conseguente; il valore del rapporto è il risultato che si ottiene dividendo l’antecedente per il conseguente.
Esempio 5 : 2 = 2,5 valore del rapporto
antecedente conseguente
Il rapporto tra due numeri può essere scritto in due modi diversi:
1 sotto forma di divisione (esempio 5 : 4)
2 sotto forma di frazione (esempio 5 _ 4 )
Esercizi in autonomia
1. Scrivi il rapporto tra 8 e 5 sotto forma di divisione e sotto forma di frazione.
2. Scrivi un rapporto i cui termini siano 9 e 8.
3. Scrivi un rapporto sotto forma di divisione in modo che abbia 12 come
antecedente e 15 come conseguente.
ARITMETICA 2
12
4. Scrivi un rapporto sotto forma di frazione in modo che abbia 1 come
antecedente e 9 come conseguente.
5. Calcola il valore del rapporto 7 : 2, dividendo l’antecedente per il conseguente.
6. Calcola il valore del rapporto 24 : 5, dividendo l’antecedente per il
conseguente.
7. Calcola il valore del rapporto 9 : 4.
8. Calcola il valore del rapporto 50 _ 100
.
9. Calcola il valore del rapporto 21 _ 7
.
Obiettivo: conoscere le proporzioni
Una proporzione è un’uguaglianza di due rapporti.
Esempio 9 : 18 = 7 : 14
Per scrivere una proporzione non è sufficiente porre un rapporto uguale a un altro, è
necessario, infatti, che questi rapporti abbiano lo stesso valore.
Verifichiamo che l’esempio fatto in precedenza (9 : 18 = 7 : 14) rappresenti una
proporzione.
Verifichiamo, quindi, che l’uguaglianza sia vera cioè che 9 : 18 sia uguale a 7 : 14
9 : 18 = 0,5
7 : 14 = 0,5
Le due divisioni danno lo stesso risultato quindi l’uguaglianza è vera:
pertanto 9 : 18 = 7 : 14 è una proporzione.
Esercizio svolto
10. Stabilisci se la seguente uguaglianza è una proporzione.
5 : 16 = 4 : 10
5 : 16 = 0,3125
4 : 10 = 0,4
I due rapporti hanno valori diversi quindi l’uguaglianza considerata non è una proporzione.
13
2 Rapporti e proporzioni
Esercizio guidato 11. Stabilisci se la seguente uguaglianza è una proporzione.
15 : 5 = 60 : 20
Calcola il risultato delle due divisioni che costituiscono l’uguaglianza:
15 : 5 =
60 : 20 =
Se i risultati sono uguali concludi che è una proporzione.
Se i risultati sono diversi concludi che non è una proporzione.
Che cosa concludi?
Esercizi in autonomiaStabilisci quali delle seguenti uguaglianze sono una proporzione.
12. 16 : 12 = 20 : 5
13. 35 : 7 = 18 : 6
14. 2 : 10 = 5 : 20
I numeri che costituiscono una proporzione hanno un nome differente a seconda della
posizione che occupano:
conseguenti medi
9 : 18 = 7 : 14 9 : 18 = 7 : 14
antecedenti estremi
Un numero può essere indicato con nomi diversi, per esempio il numero 9 è sia un
antecedente che un estremo, così come il numero 18 è sia un conseguente che un medio.
Esercizi in autonomia 15. In una proporzione gli estremi sono 2 e 21, e i medi sono 6 e 7. Scrivi la
proporzione.
16. In una proporzione i medi sono 2 e 24, e gli estremi sono 12 e 4. Scrivi la
proporzione.
17. In una proporzione gli antecedenti sono 15 e 8, e i conseguenti sono 30 e 16.
Scrivi la proporzione.
18. In una proporzione i conseguenti sono 6 e 3, e gli antecedenti sono 48 e 24.
Scrivi la proporzione.
ARITMETICA 2
14
Obiettivo: conoscere la proprietà fondamentale delle proporzioni
Proprietà fondamentale
Il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi.
Esempio Considera la proporzione seguente 2 : 3 = 4 : 6
medi
2 : 3 = 4 : 6
estremi
Applichiamo la proprietà e verifichiamo se il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli
estremi, cioè verifichiamo che:
3 ⋅ 4 = 2 ⋅ 6
Svolgendo i calcoli otteniamo:
12 = 12 ovvero il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi.
Per capire se due rapporti formano una proporzione è possibile applicare la proprietà
fondamentale. Se il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi i due rapporti
formano una proporzione, altrimenti non siamo di fronte a una proporzione.
Esercizio svolto
19. Stabilisci se la seguente uguaglianza è una proporzione.
15 : 45 = 20 : 50
Confrontiamo il prodotto dei medi e quello degli estremi.
prodotto dei medi: 45 ⋅ 20 = 900
prodotto degli estremi: 50 ⋅ 15 = 750
Il prodotto dei medi è diverso dal prodotto degli estremi, quindi non è una proporzione.
Ricorda!
Esistono due diversi simboli per indicare la moltiplicazione:
a × b
a ⋅ b
15
2 Rapporti e proporzioni
Esercizio guidato
20. Stabilisci se la seguente uguaglianza è una proporzione.
15 : 3 = 40 : 8
Calcola il prodotto dei medi:
Calcola il prodotto degli estremi:
Se i due risultati sono uguali concludi che l’uguaglianza è una proporzione.
Se i due risultati sono diversi concludi che l’uguaglianza non è una proporzione.
Che cosa concludi?
Esercizi in autonomiaApplicando la proprietà fondamentale delle proporzioni, stabilisci quali delle
seguenti uguaglianze formano una proporzione.
21. a. 2 : 3 = 6 : 9 b. 3 : 9 = 6 : 24 c. 7 : 21 = 2 : 6
22. a. 30 : 2 = 60 : 5 b. 10 : 3 = 50 : 15 c. 36 : 8 = 9 : 2
Obiettivo: sapere calcolare il termine incognito di una proporzioneLa proprietà fondamentale delle proporzioni che hai appena studiato è molto utile per
calcolare il termine incognito di una proporzione.
Ti starai chiedendo: che cos’è il termine incognito?
Una cosa incognita è qualcosa che non si conosce.
In matematica il termine incognito è quindi un termine della proporzione che non
conosciamo e che, di solito, si indica con la lettera x.
Esempio 3 : 15 = 2 : x questo è il termine incognito che
possiamo calcolare applicando la proprietà
fondamentale delle proporzioni
Ripasso
Proprietà fondamentale delle
proporzioni
Il prodotto dei medi è uguale
al prodotto degli estremi
Applichiamo la proprietà fondamentale delle proporzioni:
3 ⋅ x = 2 ⋅ 15
Svolgiamo la moltiplicazione a destra dell’uguale:
3 ⋅ x = 30
ARITMETICA 2
16
Dividiamo entrambi i termini dell’uguaglianza per il numero che viene moltiplicato per la x
(in questo caso 3):
3x _ 3 = 30 _
3
Sempliichiamo e otteniamo:
3x _ 3 = 30 _
3 cioè x = 10
Il termine incognito della nostra proporzione è quindi 10 e la proporzione iniziale
(3 ⋅ x = 2 ⋅ 15) diventa 3 : 15 = 2 : 10
Per chi ha una buona memoria visivaSchema per il calcolo del termine incognito
5 ⋅ x = 60
30 : 5 = x : 25 ⋅ x = 30 ⋅ 2
Applica la proprietà fondamentale delle proporzioni: poni il prodotto dei medi uguale al prodotto degli estremi.
Risolvi la moltiplicazione.
Dividi entrambi i termini per il numero che viene moltiplicato per la x.
Il risultato dell’uguaglianza è il valore del termine incognito.
5x _ 5 = 60 _
5
x = 12
Esercizio guidato
23. Risolvi la seguente proporzione sul tuo quaderno seguendo le indicazioni.
16 : x = 26 : 13
1 Applica la proprietà fondamentale delle proporzioni: poni il prodotto dei medi uguale
al prodotto degli estremi.
2 Svolgi la moltiplicazione che non contiene il termine incognito.
3 Dividi entrambi i termini per il numero che viene moltiplicato per la x.
1 10
1 1
17
2 Rapporti e proporzioni
Il risultato dell’uguaglianza è il valore del termine incognito.
x =
Esercizi in autonomiaRisolvi le seguenti proporzioni calcolando il termine incognito.
24. 2 : 3 = 4 : x [6]
25. x : 12 = 5 : 6 [10]
26. 15 : 10 = x : 6 [9]
27. 6 : x = 15 : 25 30 : 35 = 6 : x [10; 7]
28. 15 : x = 3 : 5 10 : 14 = 15 : x [25; 21]
29. 20 : x = 5 : 7 8 : 3 = x : 15 [28; 40]
30. 4 : x = 12 : 39 x : 4 = 85 : 20 [13; 17]
31. 6 : 4 = x : 14 11 : 3 = 22 : x [21; 6]
32. 7 : x = 21 : 15 x : 100 = 4 : 16 [5; 25]
33. 7 : 42 = x : 36 40 : 5 = 72 : x [6; 9]
34. 8 : x = 20 : 25 x : 80 = 12 : 48 [10; 20]
35. x : 3 ___ 10
= 1 __ 3 : 1 __
8 3 __
5 : x = 4 ___
15 : 5 ___
18 [ 4 __
5 ; 5 __
8 ]
36. 3 __ 4 : 1 __
2 = x : 1 __
6 8 __
3 : 16 ___
9 = 18 ___
16 : x [
1 __ 4 ; 3 __
4 ]
37. x : 21 ___ 4 = 7 __
4 : 7 ___
16 3 __
2 : x = 27 ___
2 : 9 __
4 [21; 1 __
4 ]
38. 14 ___ 5 : 7 = x : 15 ___
4 5 __
6 : 20 ___
9 = 15 ___
16 : x [
3 __ 2 ; 5 __
2 ]
39. 9 __ 7 : x = 3 ___
10 : 21 ___
5 1 __
4 : 11 ___
3 = x : 44 ___
9 [18; 1 __
3 ]
ARITMETICA 2
18
Obiettivo: conoscere le nozioni fondamentali della riduzione e dell’ingrandimento in scala
scala 1:1.000.000
Nel tuo percorso scolastico avrai già studiato che nelle cartine l’immagine è ridotta in scala,
cioè è rimpicciolita.
La scala può essere rappresentata sotto forma di frazione o sotto forma di rapporto.
Esempio scala 1 ____ 100
oppure scala 1 : 100
Questo tipo di scrittura significa che un centimetro sulla carta equivale a 100 cm nella
realtà.
Esercizi svolti 40. Due luoghi distano sulla carta 1 cm; se la cartina è in scala 1:8.000 quanto
distano nella realtà?
Nella realtà i due luoghi distano 8.000 cm, cioè 80 m.
scala 1:8.000
Quando la distanza tra due luoghi è diversa dall’unità è utile utilizzare le proporzioni.
19
2 Rapporti e proporzioni
41. Se su una cartina in scala 1:200 due luoghi sono distanti 5 cm, quanto distano nella realtà?
Rappresentiamo questa informazione sotto forma di proporzione, assegnando l’incognita alla distanza reale tra i due punti:
1 : 200 = 5 : x
1 centimetro sulla carta
distanza reale corrispondente a 1 cm
5 centimetri sulla carta
distanza reale che vogliamo calcolare corrispondente a 5 cm sulla carta
Applichiamo la proprietà fondamentale delle proporzioni:
1 ⋅ x = 200 ⋅ 5
Calcoliamo l’incognita:
x = 1.000
I due punti distano 1.000 cm ovvero 10 m.
Negli esempi trattati fino a ora la scala ha rimpicciolito le dimensioni reali, ossia è stata
applicata una riduzione in scala. Tuttavia è possibile ingrandire le misure reali facendo un
ingrandimento.
Esempio Scala 20:1 significa che 20 cm rappresentati nel disegno
corrispondono a 1 cm nella realtà, quindi il disegno è 20 volte
più grande dell’oggetto reale.
Esercizi in autonomia 42. Un disegno riproduce un oggetto in scala 1:25. Quale delle due affermazioni è
vera?
a. A 25 cm nella realtà corrisponde 1 cm sul disegno.
b. A 1 cm nella realtà corrispondono 25 cm sul disegno.
43. Un disegno riproduce un oggetto in scala 50:1. Quale delle due affermazioni è vera?
a. A 50 cm nella realtà corrisponde 1 cm sul disegno.
b. A 1 cm nella realtà corrispondono 50 cm sul disegno.
44. Lo spillo è stato ingrandito con una scala uguale a 2:1. Misura con il righello
la lunghezza dello spillo e calcola qual è la sua reale misura. [2,5 cm]
ARITMETICA 2
20
45. La biro è stata disegnata con una scala uguale a 1:3. Misura con il righello la
lunghezza della biro e calcola qual è la sua misura nella realtà. [15 cm]
46. La puntina da disegno è rappresentata in scala 5:1. Misura con il righello la
puntina e calcola qual è la sua lunghezza reale. [0,5 cm]
47. Qual è l’altezza dell’albero nella realtà se la scala usata nel disegno è 1:200?
Utilizza il righello per misurare l’altezza dell’albero. [6 m]
48. Un segmento è disegnato in scala 1:150. A quale lunghezza reale corrisponde
1 cm sul disegno? [150 cm]
Obiettivo: sapere applicare le proporzioni al calcolo della percentualePer calcolare le percentuali è molto utile utilizzare le proporzioni.
Esempio Il cellulare dei tuoi sogni costa 400 euro. Oggi è in vendita con uno
sconto del 30%. Quanto è lo sconto?
Per calcolare lo sconto si imposta la seguente proporzione:
sconto : costo totale del cellulare = 30 : 100
sconto espresso in % costo totale espresso in %
Sostituiamo i dati del problema. Il termine incognito è lo sconto,
ovvero ciò che voglio calcolare; gli altri dati li conosciamo e quindi li
sostituiamo nella proporzione.
x : 400 = 30 : 100
21
2 Rapporti e proporzioni
Risolviamo la proporzione:
100 ⋅ x = 400 ⋅ 30
100 ⋅ x = 12.000
100x
_____ 100
= 12.000 ______ 100
x = 120
Calcolando il valore del termine incognito si trova che oggi il
cellulare è in vendita con uno sconto di 120 euro.
Esercizio guidato 49. Una bellissima felpa costava 50 euro, adesso è in saldo e viene venduta con
uno sconto del 20%. Quanto è lo sconto? Qual è il prezzo scontato della felpa?
Per prima cosa è necessario stabilire qual è incognita, in questo caso è lo sconto che
viene applicato.
Impostiamo la proporzione seguente sostituendo i numeri:
sconto espresso
in percentuale:
totale espresso
in percentuale=
sconto applicato
(cioè la nostra
incognita)
:
costo totale
della felpa
Risolviamo la proporzione e avremo calcolato lo sconto che viene applicato alla felpa.
Sapendo che la felpa costava 50 euro e che adesso è venduta con lo sconto che
abbiamo appena calcolato, calcoliamo il prezzo della felpa:
Esercizi in autonomia 50. Tempo fa avevi visto uno zaino che ti interessava e che costava 60 euro;
quando sei tornato al negozio per comprarlo ti hanno detto che il prezzo era aumentato del 10%. Di quanto è aumentato il costo dello zaino?Se hai portato con te 70 euro, puoi comprare lo zaino o i soldi non ti bastano?
51. Un videogioco che costa 60 euro è proposto con lo sconto del 15%. Quanto costa il videogioco?
52. Sull’etichetta di una borsa in vendita è segnata la diminuizione del prezzo: da 80 euro a 70. Sulla stessa etichetta è scritto che la diminuzione corrisponde a uno sconto del 10%. È corretto?
ARITMETICA 2
22
Obiettivo: sapere applicare i concetti delle proporzioni al disegno di un areogrammaRipasso
360°
Angolo giro
O r
OA
BSettore circolare: è una parte del cerchio delimitata da due raggi
L’areogramma è anche chiamato grafico a torta ed è un tipo di rappresentazione che
consente di visualizzare molto bene e molto facilmente alcuni tipi di dati e di informazioni.
Esempio
Territorio
Collina
Montagna
Pianura
Avrai riconosciuto il disegno sopra rappresentato perché lo avrai
trovato moltissime volte nel libro di geografia.
Osservando il grafico ti risulta evidente che il territorio analizzato
è per la maggior parte ricoperto da colline, per circa un quarto è
pianeggiante e per la restante parte è montuoso.
Proviamo ora a sfruttare le proporzioni per costruire un areogramma partendo da un
esempio concreto.
Esempio In una classe di seconda media l’insegnante di matematica ha
consegnato una verifica e non è molto soddisfatto: infatti 15
studenti hanno raggiunto la sufficienza, 6 studenti hanno ottenuto
un voto insufficiente e solo 3 hanno preso un ottimo voto.
Vogliamo rappresentare questi dati con un areogramma.
Calcoliamo il totale degli studenti:
15 + 6 + 3 = 24
23
2 Rapporti e proporzioni
Per potere impostare l’areogramma dobbiamo sapere quanto sono ampi gli angoli delle
fette che rappresentano i dati che vogliamo raffigurare.
Quanto sarà grande la fetta che rappresenta i ragazzi che hanno preso la sufficienza?
Sarà grande così?
sufficienza
Oppure così?
sufficienza
Sicuramente sappiamo che sarà una fetta grande perché la maggior parte degli studenti ha
preso la sufficienza. Per sapere con esattezza quanto è grande la fetta dobbiamo calcolare
l’ampiezza dell’angolo; l’ampiezza dell’angolo è la nostra incognita.
15 : 24 = x : 360°
La proporzione indica sempre una parte rapportata all’intero solo che utilizza due modi
diversi di rappresentarli: nel primo termine il gruppo che ha preso la sufficienza è messo in
rapporto con il totale degli alunni; nel secondo termine l’ampiezza dell’angolo che vogliamo
calcolare è messo in rapporto al totale dell’ampiezza dell’angolo, ovvero 360°.
Risolviamo la proporzione:
24 ⋅ x = 360° ⋅ 15 24 ⋅ x = 5.400
x = 5.400 _____ 24
= 225°
Rappresentiamo, aiutandoci
con il goniometro, un settore circolare
che abbia l’angolo al centro di 225°.
sufficienza
225°
ARITMETICA 2
24
Applicando lo stesso ragionamento calcoliamo quanto è ampia la fetta che rappresenta i
ragazzi che hanno preso l’insufficienza.
Impostiamo la proporzione e ricordiamo che l’incognita rappresenta l’ampiezza dell’angolo
al centro. Ricordiamo inoltre che i ragazzi che hanno preso insufficiente sono 6 e che il
totale degli studenti è 24.
6 : 24 = x : 360°
24 ⋅ x = 360° ⋅ 6
x = 2.160 _____ 24
x = 90°
In questo caso l’angolo al centro è pari a 90°,
quindi sempre usando il goniometro
rappresentiamo una fetta che abbia un’ampiezza
di 90° e che rappresenti i ragazzi
che hanno preso insufficiente.
sufficienza
insufficienza
225°90°
La fetta che manca dovrebbe rappresentare i pochi fortunati che hanno preso
un buon voto. Proviamo a verificare.
Studenti che hanno preso un buon voto: 3
Totale degli alunni: 24
3 : 24 = x : 360
24 ⋅ x = 360 ⋅ 3
x = 1.080 _____ 24
x = 45°
Verifica con il goniometro che la fetta
avanzata è ampia 45°.
L’areogramma che hai appena costruito
rappresenta in modo chiaro l’esito di questa
disastrosa verifica di matematica.
insufficienza
sufficienza
ottimo voto
Esercizi in autonomia 53. Rappresenta con un areogramma le seguenti informazioni.
Gli studenti della classe II B stanno scegliendo la meta per la loro gita scolastica. 18 studenti vorrebbero andare a Venezia, 5 vorrebbero andare sulle Dolomiti e 2 vorrebbero andare a Firenze.
54. Rappresenta con un areogramma i seguenti dati.
In una scuola media ci sono 100 studenti che stanno terminando la terza media; di questi 30 andranno in un liceo, 50 frequenteranno un istituto tecnico e 20 frequenteranno un corso di formazione professionale.
25
Nome Classe
2. Rapporti e proporzioni
1. Il rapporto è il risultato della divisione tra due numeri, in cui il secondo numero deve essere diverso da zero.
Esempio:
5 : 2 = 2,5 valore del rapporto
antecedente conseguente
Il rapporto tra due numeri può essere scritto in due modi diversi:
1 sotto forma di divisione (esempio 5 : 4)
2 sotto forma di frazione (esempio 5 __ 4 )
2. Una proporzione è l’uguaglianza tra due rapporti.
conseguenti medi
9 : 18 = 7 : 14 9 : 18 = 7 : 14
antecedenti estremi
3. Proprietà fondamentale delle proporzioni: il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi.
Esempio: 2 : 3 = 4 : 6
medi
2 : 3 = 4 : 6
estremi
quindi 3 ⋅ 4 = 2 ⋅ 6 svolgendo i calcoli otteniamo che 12 = 12
Formulario dello studente
26
4. Calcolo del termine ignoto
5 ⋅ x = 60
Esempio:
30 : 5 = x : 25 ⋅ x = 30 ⋅ 2
Applica la proprietà fondamentale delle proporzioni: poni il prodotto dei medi uguale al prodotto degli estremi.
Risolvi la moltiplicazione.
Dividi entrambi i termini per il numero che viene moltiplicato per la x.
Il risultato dell’uguaglianza è il valore del termine incognito.
5x _ 5 = 60 _
5
x = 12
Applicazione pratica: ingrandimenti e riduzioni in scala
Riduzione in scala: scala 1 ____ 100
oppure scala 1:100
Questo tipo di scrittura signiica che 1 cm sulla carta equivale a 100 cm nella realtà.
SCALA CARTA REALTÀ
1 ____ 100
1 cm 100 cm = 1 m
1 _______ 100 000
1 cm 100 000 cm = 1 km
Ingrandimenti in scala: scala 20:1
Questa scrittura signiica che 20 cm rappresentati nel disegno corrispondono a 1 cm nella realtà, quindi il disegno è 20 volte più grande dell’oggetto reale.
FATTORE CARTA REALTÀ
10 : 1 1 cm 0,1 cm = 1 mm
1000 : 1 1 cm 0,001 cm = 0,01 mm
Formulario dello studente
Contenuti
Circonferenza e cerchio
Area delle figure piane
Teorema di Pitagora
Obiettivi
Conoscere gli elementi della circonferenza e del cerchio
Calcolare l’area del rettangolo, del quadrato, del parallelogramma, del rombo, del trapezio e del triangolo
Conoscere il teorema di Pitagora
Applicare il teorema di Pitagora al calcolo dei lati del triangolo rettangolo
Applicare il teorema di Pitagora ad alcuni poligoni che contengono triangoli rettangoli
GEOMETRIA 2
GEOMETRIA 2
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3 Circonferenza e cerchioPensa a una figura che non ha lati: sembra difficile, ma, in verità, riesci a riconoscerla facilmente guardandoti intorno, anche semplicemente:
osservando il cielo in una notte di luna piena,
cercando nel portafoglio la moneta giusta,
apparecchiando la tavola con piatti variopinti,
Disegna la figura alla quale hai pensato.
È facile disegnarla in modo preciso?
Obiettivo: conoscere la definizione di cerchio e circonferenzaChe cos’è un cerchio?Prendiamo ora il compasso, puntiamolo nel centro O e facciamolo ruotare.
La figura che hai immaginato assomiglia a questa?
La figura si chiama cerchio.
Il punto O in cui hai fissato la punta del compasso si chiama centro.
O
