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Esercizi di Analisi MatematicaIngegneria Meccanica

(corso tenuto dal dott. B. Palumbo)A.A. 2007-08

PRINCIPIO DI INDUZIONE

A.1 Dimostrare che per ogni n naturale vale la formula .








A.9 Dimostrare che per ogni n interno non negativo si ha









LIMITI DI FUNZIONI E DI SUCCESSIONI

B.1 Verificare (applicando solo la definizione) che .

B.2 Verificare che . B.3 Verificare che .






Calcolare i seguenti limiti:

B.14 B.15 B.16

B.17 B.18 B.19

B.20 B.21 B.22

B.23 B.24 B.25.

B.26 B.27 B.28

B.29 B.30 B.31

B.32 B.33 B.34

B.35 B.36 B.37

B.38 B.39 B.40

B.41 B.42 B.43

B.44

B.45 Modificare l'esercizio B.44, sostituendo il secondo radicale con ; dimostrare che il limite è

uguale a , indipendentemente dai parametri b e c.

B.46 B.47 B.48

B.49 Siano f e g due funzioni definite in un intorno bucato I di a, e sia ; sia inoltre g limitata (esiste

quindi un M positivo tale che |g(x)| < M per ogni x I). Dimostrare che . Vale ancora un risultato

analogo se f tende ad un limite finito L diverso da 0?B.50 Dire se è valido il seguente inverso del teorema della permanenza del segno: se f è positiva in un intorno bucato di

a, e se esiste , allora deve essere L > 0.

B.51 Siano f e g due funzioni definite in un intorno bucato I di a, sia , supponiamo che esista finito

, e sia inoltre f(x) < g(x) in tutto I; dimostrare che M. {Suggerimento: se per assurdo fosse

...}

TEOREMI SULLE FUNZIONI CONTINUE ED APPLICAZIONI

C.1 Dire se il teorema di Bolzano - Cauchy (esistenza degli zeri) è applicabile alla funzione

nell'intervallo , e in caso affermativo determinare i punti c che verificano la tesi del teorema.

C.2 Dire se il teorema di Bolzano - Cauchy è applicabile alla funzione nell'intervallo [10 , 15], e in caso affermativo determinare i punti c che verificano la tesi del teorema.

C.3 Dire se il teorema di Bolzano - Cauchy è applicabile alla funzione nell'intervallo [1 , 1], e in caso

affermativo determinare i punti c che verificano la tesi del teorema.

C.4 Dire se il teorema di Bolzano - Cauchy è applicabile alla funzione nell'intervallo e in

caso affermativo determinare i punti c che verificano la tesi del teorema.

C.5 Dire se il teorema di Weierstrass è applicabile a ciascuna delle seguenti funzioni negli intervalli indicati:

f(x) = x2 nell'intervallo [0 , +); nell'intervallo [1 , 1];

nell'intervallo .

C.6 Esistono intervalli in cui il teorema dei valori intermedi è applicabile alla funzione f(x) = [x]?

C.7 Estendere il teorema dei valori intermedi come segue: sia f continua nell'intervallo [a , +), e sia uguale

ad un numero finito L diverso da f(a) (si può supporre ad esempio f(a) < L); allora, per ogni k compreso tra f(a) ed L, esiste almeno un c (a , +) tale che f(c) = k.{Suggerimento: applicare dapprima la definizione di limite con = L k; scegliere quindi un p opportuno ed applicare il teorema dei valori intermedi all'intervallo [a , p].}

C.8 Estendere il teorema dei valori intermedi come segue: sia f continua nell'intervallo [a , b), e sia ;

allora, per ogni k maggiore di f(a) esiste almeno un c (a , b) tale che f(c) = k.{Suggerimento: applicare dapprima la definizione di limite infinito con M = k; scegliere quindi un p opportuno ed applicare il teorema dei valori intermedi all'intervallo [a , p].}

C.9 Dopo aver osservato che l'estensione del teorema dei valori intermedi vista nell'esercizio precedente si dimostra in

modo simile per una funzione f continua in (a , b] e tale che , dimostrare il seguente teorema: se f è

continua in (a , b), e se risulta e , allora per ogni k reale esiste almeno un c

(a , b) tale che f(c) = k. Da ciò dedurre che l'equazione tg x + x = k ammette almeno una radice compresa tra e

comunque si fissi k reale.

C.10 Siano f e g due funzioni continue in uno stesso intervallo I = (a , b). È possibile che la disuguaglianza f(x) g(x) sia verificata in un solo punto di I?

C.11 Dire se la seguente affermazione è vera o falsa: se una funzione f è continua in [a , b], e se risulta f(a) > 0 ed f(b) > 0, allora f non si annulla in nessun punto di (a , b).

C.12 Siano f e g due funzioni continue nell'intervallo [a , b], sia f(a) < g(a) ed f(b) > g(b). Dimostrare che esiste almeno un c in (a , b) per il quale f(c) = g(c). {Suggerimento: considerare la funzione h(x) = f(x) g(x)}

DISEQUAZIONI

{Nota: le disequazioni goniometriche vanno risolte in [0 , 2].}

D.1 D.2

D.3 D.4 D.5 D.6

D.7 D.8

D.9 D.10

D.11 D.12

D.13 D.14

D.15 D.16

D.17 D.1

D.18 D.19

GRAFICI DI FUNZIONI

E.1 E.2 E.3

E.4 E.5 E.6

E.7 E.8 E.9

E.10 E.11 E.12

E.13 E.14 E.15

E.16 E.17

E.19 E.20

E.21 E.22

E.23

E.24 E.25

E.26 E.27

E.28 E.29 E.30

E.31 E.32 E.33

E.34 E.35

E.36 E.37 E.39

E.40 E.41 E.42

E.43 E.44

NUMERI COMPLESSI

F.1 Calcolare .F.2 Dimostrare che, se z e w sono due numeri complessi qualsiasi, il coniugato della loro differenza è uguale alla

differenza dei coniugati.F.3 Determinare tutti i numeri complessi z per i quali .F.4 Dopo aver risolto l'equazione |z|2 + 5z + 10i = 0, calcolare le radici quadrate di ciascuna delle radici così trovate.F.5 Calcolare le radici quarte del numero complesso z = 527 + 336i.F.6 Calcolare le radici quarte del numero complesso z = 41 + 840i.F.7 Calcolare le radici quarte del numero complesso z = 3479 + 1320i.

F.8 Calcolare le radici quarte del numero complesso .

F.9 Calcolare le radici quarte del numero complesso .F.10 Calcolare le radici quarte del numero complesso z = 1081 + 840i. {Suggerimento: 1369 = 372.}F.11 Determinare l'unica soluzione in C dell'equazione .

INTEGRALI

Calcolare i seguenti integrali indefiniti:

G.1 G.2 G.3

G.4 G.5 G.6

G.7 G.8 G.9

G.10 G.11 . G.12

G.13 . G.14 G.15

G.16 G.17 G.18

G.19 G.20 G.21

G.22 G.23 G.24

G.25 G.26 G.27

Calcolare i seguenti integrali definiti:

G.28 . G.29 . G.30 .

G.31 . G.32 G.33

G.34 G.35 G.36

G.37 . G.38 . G.39

G.40 . G.41 G.42

G.43 G.44 G.45

G.46 G.47 G.48

G.49 G.50 G.51

G.52 G.53 G.54

G.55 Sia u una funzione derivabile tre volte con continuità in un intervallo aperto I, tale che si abbia u'''(x)cos 2x == u(x) sen 2x per ogni x in I (non si richiede di determinare u). Calcolare , esprimendo il risultato in termini di u, u', u''.G.56 Sia f una funzione derivabile due volte con continuità su tutto R, tale che f''(x) = exf'(x). Calcolare , esprimendo il risultato in termini di f e di f'.G.57 Sia f una funzione derivabile due volte con continuità su tutto R, tale che f''(x) = 2f(x), dove è un parametro reale non nullo. Calcolare , esprimendo il risultato in termini di f e di f'.

G.8 Calcolare G.9 Calcolare

G.60 Calcolare G.61 Calcolare

G.62 Calcolare

G.63 Dimostrare che per ogni n intero non negativo vale la formula .

G.64 Dimostrare che per ogni n naturale vale la formula

.

G.65 Dimostrare che, fissato il parametro reale , vale per ogni n intero non negativo la formula

.

G.66 Dimostrare che in (0 , +) vale per ogni n naturale la formula

, dove (osservazione: nel caso n = 1 l'indice

della sommatoria dovrebbe variare da 1 a 0: in simili casi, per convenzione la sommatoria si intende "vuota", e pertanto assume il valore 0).G.67 Dimostrare che per ogni n intero non negativo vale la formula (vedi nota all'esercizio precedente)

.

FORMULA DI TAYLOR

Per ciascuna delle seguenti funzioni, scrivere il polinomio di Taylor di ordine n nel punto x0:

H.1 f(x) = e2x; x0 = 0; n = 5. H.2 ; x0 = 0; n = 5.

H.3 f(x) = 2x; x0 = 0; n = 3. H.4 f(x) = ex; x0 = 1; n = 4.

H.5 ; x0 = 1; n = 4. H.6 f(x) = log(5+x); x0 = 0; n = 3.

H.7 f(x) = cos x log(1+x); x0 = 0; n = 5. H.8 f(x) = sen4(x); x0 = 0; n = 7.H.9 f(x) = cos log(1+x); x0 = 0; n = 6.

SERIE

Determinare il carattere delle seguenti serie:

I.1 . I.2 . I.3 .

I.4 . I.5 . I.6 .

I.7 . I.8 I.9

.

I.10 . I.11 . I.12

I.13 I.14 I.15

I.16 I.17 I.18

I.19 I.20 I.21

I.22 Discutere la convergenza della serie al variare del parametro reale .

I.23 Discutere la convergenza della serie al variare del parametro reale .

I.24 Calcolare la somma della serie {Suggerimento: sommare e sottrarre n al numeratore}.

I.25 Calcolare la somma della serie {Suggerimento: n2 + n 1 = n2 + 2n + 1 (n + 2)}.

I.26 Calcolare la somma della serie .





I.31 Verificare che per qualunque valore del parametro positivo a la serie diverge.

CALCOLO DI LIMITI CON LA REGOLA DI DE L'HÔPITAL

J.1 J.2 J.3

J.4 J.5 J.6

J.7 J.8 J.9

J.10 (discutere al variare del parametro positivo ). J.11

J.12 J.13 J.14

J.15 , dove J.16 J.17

J.18 J.19

EQUAZIONI DIFFERENZIALI

Determinare l’integrale generale delle seguenti equazioni differenziali:

K.1 (Suggerimento: porre ).

K.2 (Suggerimento: porre .)




K.6 . K.7 K.8 . K.9 .

K.10 (discutere al variare del parametro reale positivo k).


K.12 (discutere al variare del parametro reale k).

K.13 (discutere al variare del parametro reale k).


K.15 . (Suggerimento: ricordare le formule e

).K.16 .(Suggerimento: ricordare le formule e

).

K.17 . K.18

. K.19 .

K.20 . K.21 . K.22 .

K.23 nell'intervallo (0 , +).

K.24 nell'intervallo (0 , +) (è necessario utilizzare un'opportuna funzione integrale.)

K.25 . K.26 nell'intervallo

.

Risolvere i seguenti problemi di Cauchy:

K.27 K.28 K.29

K.30 K.31 K.32

K.33 K.34

K.35 (è necessario utilizzare un'opportuna funzione integrale)

K.36 K.37 K.38

K.39 K.40 K.41

K.42 K.43

K.44

K.45 K.46


K.48 (è necessario utilizzare un'opportuna funzione

integrale)


K.50 Determinare l'equazione differenziale il cui integrale generale è .




ESERCIZI VARI

L.1 Determinare il valore del parametro reale per il quale la funzione risulta

continua in tutto R, e stabilire inoltre se essa risulta derivabile in x0 = 0.

L.2 Determinare il valore del parametro reale per il quale la funzione

risulta continua in tutto R. Determinare inoltre il campo di derivabilità E di f e calcolare f'(x) per ogni x E.

L.3 Dimostrare che l'equazione ammette una ed una sola radice reale.

L.4 Dimostrare che l'equazione ammette, oltre ad x = 0, una sola radice reale.

L.5 Dimostrare che l'equazione ammette esattamente due radici reali.L.6 Dimostrare che l'equazione ammette esattamente tre radici reali

nell'intervallo (0 , )..

L.7 Dimostrare che per ogni x nell'intervallo vale l'identità .



L.10 Dimostrare che l'equazione ammette una ed una

sola radice reale.L.11 Sia , con x R. Detta g l'inversa di f, determinare il dominio di g e calcolare la derivata di g,

precisando se g è derivabile o no in tutto il suo dominio. Dimostrare quindi che l'equazione g(x) + x ammette una ed

una sola radice reale. {Suggerimento: calcolare preventivamente per tentativi g(1) e .}

L.12 Determinare il valore del parametro per il quale la funzione

risulta continua in tutto l'intervallo (0 , 2).

Studiare inoltre la derivabilità di f in (0 , 2).

L.13 Sia

Si dimostri che alla funzione f è applicabile il teorema di Rolle sull'intervallo . Si applichi quindi tale

teorema per dimostrare che l'equazione (1 tg x)cos2 x = x2 ammette almeno una soluzione in .

L.14 Determinare il valore del parametro reale per il quale la funzione

risulta continua in tutto R. Determinare inoltre il campo di

derivabilità E di f e calcolare f'(x) per ogni x E.

L.15 Dimostrare che per ogni x nell'intervallo [1 , 2] vale l'identità .

L.16 Dimostrare che la funzione assume valori positivi per ogni x nell'intervallo [5 , +).

L.17 Dire se il teorema di Lagrange è applicabile alla funzione f(x) = |x|3 + |x 3| nell'intervallo [1 , 3], ed in caso affermativo determinare i punti c che verificano la tesi del teorema.

L.18 Dimostrare che per ogni x nell'intervallo [4 , 5] vale l'identità .

L.19 Sia . Senza tentare di calcolare esplicitamente l'integrale, determinare il dominio di F,

dimostrare (tramite un'opportuna maggiorazione) che è finito e non maggiore di , e che l'equazione F(x)

= 0 ammette l'unica radice reale x = 0.L.20 Dimostrare che in tutto l'intervallo ( , 1] vale la disuguaglianza

.

L.21 Dimostrare che la funzione è positiva in tutto l'intervallo [0 , +).


L.23 Sia verificare che f(n)(0) = 0 per ogni n 0.

L.24 Determinare l'unico polinomio P per il quale P'(x) 3P(x) = 4 5x + 3x2.

L.25 Dimostrare che per ogni x > 1 vale l'identità .


L.27 Sia

Determinare l'insieme di continuità e di derivabilità di f; quindi dimostrare, senza applicare il teorema di

Bolzano - Cauchy, che l'equazione 24 x3logx 8x3 + 1 = 0 ammette almeno una soluzione in .

Date post:	12-Sep-2018
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