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Fisica per MedicinaLezione 21 - Circuiti

Dr. Cristiano Fontana

Dipartimento di Fisica ed Astronomia “Galileo Galilei”Università degli Studi di Padova

28 novembre 2017

Indice

ElettromagnetismoCircuitiCampo magneticoCampo magnetico e correnti

2/30 FISICA PER MEDICINA Lezione 21 - Circuiti – Dr. Cristiano Fontana – 28 novembre 2017

Circuiti elettrici

Sono dei sistemi fisici in cui la carica elettrica può fluire in modocontinuo. Possono essere costituiti da diversi componenti, ad esempio:

Generatori di tensioneSono in grado di compiere lavoro ed indurre il movimento delle carichecreando una differenza di potenziale costante.

ResistenzeLimitano il passaggio della corrente e dissipano energia sottoforma dicalore.

CondensatoriAccumulano carica che poi possono cedere (e.g. per stabilizzarecorrenti).


Conservazione della carica

dqin

dqAdqB

Iin

IB IA

Se prendiamo in considerazione un nodo in uncircuito la quantità di carica in ingresso deveessere pari alla somma delle cariche in uscita

qin = qA + qB (1)

questa relazione deve essere valida anche inogni istante

dqin = dqA + dqB (2)dqin

dt=

dqA

dt+

dqB

dt(3)

Iin = IA + IB (4)


Circuito resistivo

+

I

R

VA = cost.

A

B

VB = cost.

Conduttori Il generatore, creando una differenza dipotenziale, riesce a spostare cariche dalcoduttore inferiore al coduttore superiore,provocando così la corrente nel circuito.

Vgen = ∆VR = IR (5)

quindi l’intensità di corrente che fluisce è

I =Vgen

R(6)


Resistenze in serie

+

VA

I

VB

VC

R1

R2

Nel caso in cui si abbiano due resistenze in seriein un circuito, la corrente I che passa attraversodi esse è la stessa. Andando ad applicare lalegge di Ohm per calcolare la resistenzaequivalente si ottiene

ReqI = VA − VC (7)

Req =VA − VC

I=

VA − VB + VB − VC

I(8)

=VA − VB

I︸︷︷︸=R1

+VB − VC

I︸︷︷︸=R2

= R1 + R2 (9)

Ovvero la resistenza equivalente di delleresistenze in serie è la somma delle resistenze

Req =∑

i

Ri (10)


Resistenze in parallelo I

+

VA

VB

R1 R2

I

I1 I2

Nel caso in cui si abbiano due resistenze inparallelo in un circuito, la somma delle correnti Iiche passano attraverso a ciascuna di esse è parialla corrente che scorre nel circuito:

I = I1 + I2 (11)

Inoltre la differenza di potenziale ai capi dientrambe le resistenze è la stessa. Andando adapplicare la legge di Ohm per calcolare laresistenza equivalente si ottiene

1Req

=I

VA − VB=

I1 + I2VA − VB

(12)

=I1

VA − VB+

I2VA − VB

=1

R1+

1R2

(13)


Resistenze in parallelo II

+

VA

VB

R1 R2

I

I1 I2

Ovvero l’inverso della resistenza equivalente didelle resistenze in parallelo è la somma degliinversi delle resistenze

1Req

=∑

i

1Ri

(14)


Circuito RC in carica I

+

VA

I

VB

VC

R

C

Vediamo le relazioni che governano gli elementicircuitali in questo circuito

V = IR Resistenza (15)q = CV Condensatore (16)

Vgen = ∆VAC = cost. Generatore (17)

La tensione ai capi del generatore sarà pari allasomma delle tensioni ai capi dei due componenti

Vgen = IR︸︷︷︸∆VAB

+qC︸︷︷︸

∆VAB

(18)


Circuito RC in carica II

+

VA

I

VB

VC

R

C

Deriviamo l’espressione (18) ricordando che ilgeneratore genera una tensione costante

0 =ddt

Vgen (19)

=ddt

IR +ddt

[ qC

](20)

= RdIdt

+1C

dqdt︸︷︷︸=I

(21)

otteniamo così un’equazione differenziale avariabili separabili

RdIdt

= − IC

(22)


Circuito RC in carica III

Risolviamo l’equazione

RdII

= − dtRC

(23)∫ I(t0)

I(0)R

dII

= −∫ t0

0

dtRC

(24)

log[

I(t0)I(0)

]= − t0

RC(25)

I(t0) = I(0)e− t0RC (26)

nel momento di accensione del circuito in fase di carica abbiamo

I(0) =Vgen

R(27)

perché all’inizio il condensatore è scarico e non si oppone alpassaggio di corrente.


Circuito RC in carica IV

0 2 4 60

2

4

6

I [m

A]

0 2 4 6t [ms]

0

2

4

6

V [V

]

Figura: Esempio conR = 1 kΩ, C = 1 µF equindi τ = 1 ms.

La corrente che scorre nel circuito è quindi

I(t) =Vgen

Re− t

τ ove τ = RC (28)

La tensione ai capi del condensatore si calcolausando l’equazione (18):

Vcap(t) = ∆VBC(t) (29)= Vgen − RI(t) (30)

= Vgen − R ·Vgen

Re− t

τ (31)

= Vgen

[1 − e− t

τ

](32)


Circuito RC in scarica I

+

VA

I

VB

VC

R

C+q0

–q0

Il generatoreè tolto

Le tensioni ai capi capi dei due componentidevono essere uguali ed opposte perché ilgeneratore è stato sostituito con un conduttore

0 = IR +qC

(33)

derivando l’espressione otteniamo

ddt

IR = − ddt

[ qC

]= − I

C(34)

dII

= − dtRC

(35)∫ I(t0)

I(0)

dII

= −∫ t0

0

dtRC

(36)

log[

I(t0)I(0)

]= − t0

RC(37)

I(t0) = I(0)e− t0RC (38)


Circuito RC in scarica II

0 2 4 66

4

2

0

I [m

A]

0 2 4 6t [ms]

0

2

4

6

V [V

]

Figura: Esempio conR = 1 kΩ, C = 1 µF equindi τ = 1 ms.

Se la carica iniziale presente nel condensatore èq0 allora la tensione iniziale è

V0 =q0

C(39)

e quindi la corrente iniziale è data dalla (33)

0 = I0R + V0 I0 = −V0

R(40)

ottenendo la corrente in funzione del tempo

I(t) = −V0

Re− t0

τ ove τ = RC (41)

e le tensioni ai capi della resistenza e dellacapacità

Vres(t) = RI(t) = −V0e− t0τ (42)

Vcap(t) = −Vres(t) = V0e− t0τ (43)


Circuito RC in scarica III

+

VA

I

VB

VC

R

C+q0

–q0

Il generatoreè tolto

Abbiamo ottenuto una corrente negativa:

I(t) = −V0

Re− t0

τ (44)

Perché? Se la capacità è caricata come in figura,ed abbiamo considerato il verso della corrente infigura come positivo, il verso della corrente dopola chiusura del circuito sarà negativo. Perché lecariche positive sulla piastra superiore delcondensatore tenderanno a seguire il percorsoinverso rispetto alla freccia indicata in figura.


Lavoro di un generatore di tensione

+

VA = cost.

dq

VB = cost.

UB

UA

Un generatore compie lavoro per portare lecariche da zone a basso potenziale a zone adalto potenziale, in modo che poi queste seguanoil potenziale nel loro percorso nel circuito.Calcoliamo quindi il lavoro compiuto da ungeneratore per trasportare una carica dq da VB aVA:

dW = −dU (45)

= −(UA − UB

)(46)

= VB dq − VA dq (47)= ∆V dq (48)= Vgen dq (49)


Potenza di un generatore di tensione

+

VA = cost.

dq

VB = cost.

UB

UA

Calcoliamo la potenza del generatore, ricordandoche per un generatore la differenza di potenzialedeve essere costante

Pgen =dWdt

(50)

=ddt

(Vgen q

)(51)

= qddt

(Vgen

)︸︷︷︸

=0

+∆Vdqdt

(52)

= I ·∆V (53)

la cui unità di misura ovviamente è il Watt

[P] = [V ][I] =kg m2

As3 · A = W (54)


Potenza dissipata da una resistenza

Una resistenza dissipa energia elettrica sotto forma di energia termica(il cosiddetto effetto Joule). La quantità di energia termica prodotta perl’unità di tempo è calcolabile dalla potenza dissipata e dalla legge diOhm:

Pres = I · V (I) = I2R (55)


Campo magnetico I

4 2 0 2 4

4

2

0

2

4

NS

Oltre alle forze elettrostatiche in natura si vedono le cosiddette forzemagnetiche, che si possono esercitare tra particolari materiali.Un’importante differenza col campo elettrostatico è che non esistonomonopoli magnetici isolati, solo dipoli (e.g. le calamite).


Campo magnetico II

4 2 0 2 4

4

2

0

2

4

NS NS

4 2 0 2 4

4

2

0

2

4

NS N S

Le calamite sono dei dipoli magnetici possono attrarsi e respingersireciprocamente. Questo comporta che i dipoli tendono ad orientarsinella stessa direzione. Si comportano in modo simile ai dipoli elettrici.


Campo magnetico III

4 2 0 2 4

4

2

0

2

4

NS NS

4 2 0 2 4

4

2

0

2

4

NS N S

4 2 0 2 4

4

2

0

2

4

-1 1 -1 1

4 2 0 2 4

4

2

0

2

4

-1 1 1 -1


Bussole

Le bussole sonocostituite da piccoliaghi magnetizzati,liberi di ruotare, chetendono ad allinearsicon le linee di campomagnetico.


Forza di Lorentz

x

y

z

v

B F

Sperimentalmente si vede che lecariche elettriche in movimentosono soggette ad una forza, dettadi Lorentz, se si trovano immersein un campo magnetico.

~F = q~v × ~B (56)


Campo magnetico I

Sfrutteremo la forza di Lorentz per derivare una definizione operativadel campo magnetico:

F = qvB ⇒ B =Fqv

(57)

Determiniamo l’unità di misura:

[B] =[F ]

[q][v ]=

NC · m/s

=N

A · m= 1 T (58)

Che è detta Tesla. Si usa spesso il Gauss che è definito come:

1 G = 1 · 10−4 T (59)


Campo magnetico II

E.g. Il campo magnetico terrestre non è uniforme sulla superficieterrestre e varia tra

Bterra = 0.2 G ↔ 0.7 G (60)

Nella prossimità di una calamita di ferrite possono esserci campidell’ordine di

Bferrite ≈ 0.1 T = 1000 G (61)

mentre per delle calamite al neodimio

Bneodimio ≈ 1 T (62)


Campo magnetico III

Figura: Alcuni animali sono in grado di orientarsi usando il campo magneticoterrestre [C. Walcott, J. of Exp. Biology 199 (1996) 21-27]


http://jeb.biologists.org/content/199/1/21.article-info

Campo magnetico IV

Figura: Un recente articolo afferma che i cani si orientano in direzionenord-sud quando defecano. [Hart et al. Frontiers in Zoology 10 (2013) 80].Sebbene le affermazioni siano state contestate [The SkeptVet: Do Dogs LineThemselves Up With the Earths Magnetic Field to Poop?].


Lavoro del campo magnetico

x

y

z

v

B F

Il campo magnetico non compie lavoro.Ricordiamo che la velocità è la derivata dellaposizione, quindi d~r = ~v dt e calcoliamo il lavorocompiuto

d ~W = ~F · d~r (63)

=(

q~v × ~B)· d~r =

(q~v × ~B

)· ~v dt (64)

= q(~v × ~v

)︸︷︷︸=0

·~B dt = 0 (65)

ove abbiamo usato l’identità(~a × ~b

)· ~c =

(~b × ~c

)· ~a =

(~c × ~a

)· ~b. (66)

Intuitivamente ~v × ~B ⊥ ~v per le proprietà del protto vettoriale, quindi ilprodotto scalare con ~v stesso annulla l’espressione.


http://www.frontiersinzoology.com/content/10/1/80

http://skeptvet.com/Blog/2014/01/do-dogs-line-themselves-up-with-the-earths-magnetic-field-to-poop/

http://skeptvet.com/Blog/2014/01/do-dogs-line-themselves-up-with-the-earths-magnetic-field-to-poop/

Moto in un campo magnetico uniforme

B

v1

v2

F

F

Una carica elettrica in un campomagnetico uniforme, in primaapprossimazione, si muove di motocircolare uniforme se la suavelocità è perpendicolare al campomagnetico. Assumiamo che

~B = (0,0,Bz) & ~v = (vx , vy ,0)(67)

Possiamo eguagliare la forza centripeta con la forza magnetica:

~Fc = ~Fm (68)

mω2r = qvB = qωrB (69)

ω =qBm

(70)

quindi la frequenza di rotazione è f = qB2πm .


Ciclotrone

Figura: Una nota applicazione del moto circolare nei campi magnetici è ilciclotrone. Sono usati per la produzione di radioisotopi medici e perl’adroterapia. Immagine del brevetto di Ernest O. Lawrence [wiki]


https://en.wikipedia.org/wiki/File:Cyclotron_patent.png

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