La variabilità - UniBg · La variabilità Dott. Cazzaniga Paolo Dip. di Scienze Umane e Sociali...

La variabilità

Dott. Cazzaniga Paolo

Dip. di Scienze Umane e [email protected]

Dott. Cazzaniga Paolo La variabilità

Introduzione [1/2]

Gli indici di variabilità consentono di riassumere le principalicaratteristiche di una distribuzione (assieme alle medie)

Le medie sono rappresentative solo nel caso in cui le unità statistichepresentano modalità “vicine” a questi indici di posizione

Distribuzioni con medie di uguale valore presentano caratteristichediverse:

X = {160, 161, 164, 190, 195}Y = {167, 166, 174, 178, 185}Z = {174, 174, 174, 174, 174}Media aritmetica = 174

Un singolo valore di sintesi non consente di descrivere appieno ladistribuzione di un carattere


Introduzione [1/2]

Distribuzioni caratterizzate dalla stessa media aritmetica possonoavere una diversa variabilità:


Variabilità [1/2]

Variabilità V (X ): misura che esprime la tendenza delle unità di uncollettivo ad assumere diverse modalità del carattere X

V (X ) = 0 se tutte le unità presentano la stessa modalità delcarattere (distribuzione degenere)V (X ) > 0 la variabilità aumenta all’aumentare della diversità trale modalità assunte dalle unitàV (X + c) = V (X ) + c: aggiungendo una costante c ai valori di Xla variabilità non cambiaSe V (X ) > V (Y ) allora il carattere X è più variabile di Y


Variabilità [2/2]

Esistono diverse categorie di indici di variabilità:indici di dispersione rispetto a una mediaindici di disuguaglianza a coppie (mutua variabilità o variabilitàreciproca)indici di mutabilità che misurano l’omogeneità/eterogeneità tra lemodalità di una distribuzione di frequenza

Che possono essere ulteriormente classificati in:assoluti

usano la stessa unità di misura della modalità della distribuzionenon permettono confronti tra distribuzioni statistiche con unità dimisura diverse

relativisi ottengono rapportando un indice assoluto al suo massimo o aduna medianon hanno unità di misurapermettono confronti tra distribuzioni


Variabilità rispetto alla media

Servono a misurare se esiste una “certa stabilità” dei valori assuntidalle unità rispetto alla misura di tendenza centrale

Si basano sul concetto di scarto o scostamento rispetto alla media

varianzadevianzascarto quadratico medio o deviazione standardscostamento semplice dalla media


Varianza

Variabilità rispetto alla media

Rappresenta il valore medio degli scarti al quadrato dalla media

Viene calcolata come:

σ2 =1n

n∑i=1

(xi − x̄)2

Nel caso di distribuzioni di frequenza:

σ2 =1n

k∑j=1

(xj − x̄)2 nj =k∑

j=1

(xj − x̄)2 fj

dove nj e fj sono rispettivamente le frequenze assolute e relative dellaj-esima modalità


Varianza e Devianza

La varianza può essere calcolata anche come:

σ2 =1n

n∑i=1

x2i − x̄2

La devianza è la somma degli scarti al quadrato dalla media

Viene calcolata come:

Dev(X ) =n∑

i=1

(xi − x̄)2

E’ il numeratore della varianza σ2


Scarto quadratico medio o deviazione standard

Per avere una misura con la stessa unità di misura dei dati, vienespesso usata la deviazione standard

La deviazione standard è la radice quadrata della media degli scartidelle unità dalla loro media, per questo viene anche chiamata scartoquadratico medio

Corrisponde alla radice quadrata della varianza e viene calcolatocome:

σ =

√√√√1n

n∑i=1

(xi − x̄)2

Nel caso di distribuzioni di frequenza viene calcolato come:

σ =

√√√√1n

k∑j=1

(xj − x̄)2 nj =

√√√√ k∑j=1

(xj − x̄)2 fj


Scostamento semplice dalla media

Scostamento semplice medio dalla media:

SM =1n

n∑i=1

|xi − x̄ |

ovvero la media degli scarti (in valore assoluto) dalla media x̄

Scostamento semplice dalla mediana:

SMe =1n

n∑i=1

|xi −Me|

ovvero la media degli scarti (in valore assoluto) dalla mediana Me

Per le proprietà della media aritmetica, vale la relazione SM ≥ SMe


Coefficiente di variazione

σ2, Dev , σ, SM e SMe sono indici di variabilità assolutaAssumono valori in una scala dipendente dall’unità di misura edall’intervallo di valori della variabile a cui sono associatiPer questo è difficile confrontare distribuzioni diverse

E’ quindi possibile costruire indici di variabilità relativacoefficiente di variazione CVottenuto rapportando la deviazione standard alla media:

CV =σ

|x̄ |

CV è un numero puro che viene spesso espresso in formapercentualeCV è una misura proporzionale della variabilità rispetto allamedia


Altri indici di variabilità

Dato un insieme di n valori ordinati x1, x2, . . . , xn

Range:Calcolato come R = xn − x1

Indice molto semplice da calcolareNon fornisce indicazioni precise, soprattutto nel caso di valorianomali nella distribuzione

Differenza interquartile:Calcolata come distanza tra terzo e primo quartile DI = Q3 −Q1

Indice semplice da calcolare, esclude eventuali valori anomaliSe DI è piccola, allora la metà dei valori si trova concentrataintorno alla medianaAll’aumentare di DI aumenta quindi la dispersione del 50% deivalori intorno alla mediana


Rappresentazione grafica [1/3]

La descrizione di un carattere tramite indice di posizione (ad es.media) dovrebbe essere sempre accompagnato da un indice divariabilità

Box-plot:realizzabile per caratteri quantitativi o qualitativi ordinabiliè composto da:

un box con un segmento orizzontale che identifica la mediana o lamediail box rappresenta la variabilità della distribuzione (50% centraledella distribuzione)due segmenti che identificano gli intervalli in cui sono presenti ivalori < Q1 e > Q3

eventuali valori anomali esterni individuati come Q1 − (α× DI) eQ3 + (α× DI), con α = 1, 5



Informazioni date dal box-plot:distanze tra la mediana e i quartili descrivono la forma delladistribuzione (simmetria/asimmetria)valori adiacenti inferiori e superiori forniscono informazioni sulladispersione e sulle code della distribuzione

Per disegnare un box-plot:1 ordinare i dati2 calcolare la mediana, il primo e il terzo quartile3 identificare i valori massimo e minimo




Indici di mutua variabilità [1/4]

Permettono di effettuare confronti a coppie tra le diverse modalitàassunte dalle unità del collettivo

Differenza semplice media senza ripetizione:

∆ =1

n(n − 1)

n∑i=1

n∑j=1

|xi − xj |

dove i , j = 1, . . . ,n e i 6= j . Ovvero la media aritmetica delle differenze(in valore assoluto) di tutte le coppie di termini distinti

Differenza semplice media con ripetizione:

∆R =1n2

n∑i=1

n∑j=1

|xi − xj |

vengono considerate tutte le coppie, anche quelle formate da unamodalità con sé stessa



Nel caso di distribuzioni di frequenza, sapendo che il numero dicoppie è pari a ninj :

∆ =1

n(n − 1)

n∑i=1

n∑j=1

|xi − xj |ninj

∆R =1n2

n∑i=1

n∑j=1

|xi − xj |ninj

La relazione tra i due indici è la seguente:

∆ = ∆Rn

n − 1



∆ e ∆R assumono valore 0 quando tutti i dati sono uguali∆ e ∆R assumono valore massimo quando (n − 1) valori sonopari a 0 tranne l’n-esimo

Un indice normalizzato (tra 0 e 1, ovvero una percentuale) puòessere ottenuto come segue:

dividendo ∆ per il suo massimo teorico 2x̄R = ∆/2x̄ viene chiamato rapporto di concentrazione



Differenza quadratica media senza e con ripetizione:

∆2 =

√√√√ 1n(n − 1)

n∑i=1

n∑j=1

|xi − xj |, ∆2R =

√√√√ 1n2

n∑i=1

n∑j=1

|xi − xj |

Si può inoltre dimostrare che:

∆2 = σ

√2n

n − 1∼= σ√

2


La concentrazione [1/3]

Misura specifica dei caratteri quantitativi e trasferibiliDato un insieme di n valori 0 ≤ x1 ≤ x2 ≤ · · · ≤ xn

La ricchezza complessiva del carattere è An = x1 + x2 + · · ·+ xn

Se tutte le unità hanno lo stesso ammontare di ricchezza An/n,allora c’è assenza di concentrazioneSe (n − 1) unità hanno 0 e l’n-esima possiede tutta la ricchezza,allora concentrazione è massimaPer le situazioni intermedie si considerano:

la frequenza cumulata Fi delle prime i unitàla quota del carattere Qi =

x1+x2+···+xiAn

= AiAn

posseduta dalle primei unitàin generale Fi ≥ Qi



Curva di Lorenz

Asse delle ascisse (asse x): frequenze cumulate relative Fi

Asse delle ordinate (asse y ): quantità cumulate relative Qi



Curva di Lorenz: equidistribuzione e massima concentrazione


Indici di mutabilità

Attitudine dei caratteri qualitativi ad assumere differenti modalità

Esempio: colore degli occhi


Indici di omogeneità [1/2]

L’indice di omogeneità viene definito a partire dalle frequenze relativefj di una distribuzione come:

O1 = f 21 + f 2

2 + · · ·+ f 2k =

k∑j=1

f 2j

aumenta se le frequenze sono concentrate su poche modalitàaumenta al diminuire del numero di modalitàil valore è massimo quando una sola modalità ha frequenzarelativa fj = 1il valore minimo è O1 = 1/k , quando tutte le frequenze sonouguali tra loro

Il risultato dipende dal numero di modalità del carattere


Indici di omogeneità [2/2]

Indice di omogeneità relativo:

O1_rel =k

k − 1(O1)

assume valore 1 quando tutti i casi si trovano nella stessacategoriaassume valore 0 quando tutte le modalità hanno ugualefrequenza

Entropia:

O2 = −k∑

j=1

fj log(fj )

assume valore 0 nel caso di massima omogeneitàassume valore −log(k) nel caso di minima omogeneità


Indici di eterogeneitàCalcolati come complemento a uno degli indici di omogeneità:

Indice di eterogeneità:

E1 = 1−k∑

j=1

f 2j

Indice relativo di eterogeneità:

E1_rel =k

k − 1E1

Indice di eterogeneità (rispetto all’entropia):

E2 = 1−k∑

j=1

fj log(fj )

Indice relativo di eterogeneità:

E2_rel =E2

log(k)


La forma di una distribuzione [1/3]

Caratteristiche di una distribuzione:asimmetriacurtosi

Una distribuzione è simmetrica quando il ramo destro delladistribuzione può essere ribaltato e perfettamente sovrapposto aquello sinistro

La differenza tra media, mediana e moda:fornisce una misura assoluta riguardo alla simmetria di unadistribuzionenon permette di fare confronti tra fenomeni diversi


La forma di una distribuzione [2/3]

Indice di asimmetria di Pearson (skewness):misura relativa e quantitativa del grado di asimmetria di unadistribuzioneviene calcolato come:

Sk =x̄ −Mo

σ∼=

3(x̄ −Me)

σ

Indice di Fisher:assume valori positivi (negativi) nel caso di asimmetria positiva(negativa)assume valori nulli in caso di simmetrial’indice nullo è una condizione necessaria ma non sufficiente peravere simmetriaviene calcolato come:

γ1 =1n

n∑i=1

(xi − x̄σ

)3


La forma di una distribuzione [3/3]Curtosi o disnormalità:

rileva quanto una distribuzione è piatta o appuntita rispetto alladistribuzione normaledistribuzioni piatte con code ampie sono dette platicurtichedistribuzioni appuntite con code piccole sono dette leptocurtichela distribuzione normale è mesocurtica o normocurtica


Ricapitolando

Statistica descrittiva

Collezionare dati

Indagine

Popolazione

Campionerappresentativo della

popolazione

Dati

Dati primari (ottenutitramite indagini)

Dati secondari (ottenutitramite altre fonti)

Variabili qualitativi

Variabili quantitativi

Discrete

Continue

Misure di sintesi

Medie di posizione

Moda

Mediana

Quartili

Medie analitiche

Media aritmetica

Media geometrica

Media armonica

Variabilità

Variabili quantitative

Variabili qualitative

Rappresentazionegrafica

Diagramma a barre

Istogramma

Boxplot

Censimento

Sconnesse

Ordinali

Curva di Lorenz

Forma di unadistribuzione

Curtosi

Asimmetria

Indice di Pearson

Indice di Fisher

Concentrazione

Indici di mutuavariabilità

Variabilità rispetto allamedia

Varianza Devianza

Deviazione standard

Scostamento semplicemedio

Coefficiente divariazione

Range

Distanza Interquartile

Indici di Omogeneità

Indici di Eterogeneità

Entropia


Dove studio questi argomenti?

Capitolo 9 del libro!


Date post:	24-Jan-2021
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