Misura di figureMisura di figure

Figure equivalenti e areeFigure equivalenti e aree

Cosa vuol dire misurare una figura?Cosa vuol dire misurare una figura?

Possiamo misurare la parte di piano che Possiamo misurare la parte di piano che occupa.occupa.

Parlando di misura la parola Parlando di misura la parola “uguaglianza”, “congruenza” non è più “uguaglianza”, “congruenza” non è più giusta. giusta.

Due figure che Due figure che hanno la stessa misurahanno la stessa misura nonnon è detto che siano è detto che siano congruenticongruenti!!

Introduciamo il concetto di EQUIVALENZA Introduciamo il concetto di EQUIVALENZA tra figuretra figure

Figure equivalentiFigure equivalenti

Due figure si dicono Due figure si dicono EQUIVALENTIEQUIVALENTI se vale almeno una delle tre se vale almeno una delle tre affermazioni che seguono:affermazioni che seguono:

1)1) Sono congruentiSono congruenti

2)2) Sono equicomposte o Sono equicomposte o equiscomponibiliequiscomponibili

3)3) Sono ottenute per sottrazione di Sono ottenute per sottrazione di figure uguali da figure uguali in figure uguali da figure uguali in partenza (equicompletabili)partenza (equicompletabili)

1)1) CongruentiCongruenti

Perfettamente sovrapponibili mediante Perfettamente sovrapponibili mediante movimento rigido (rotazione, movimento rigido (rotazione, traslazione, roto-traslazione)traslazione, roto-traslazione)

2)2) Equicomposte Equicomposte o equiscomponibili o equiscomponibili

3)3) Ottenute per sottrazione di figure Ottenute per sottrazione di figure uguali da figure uguali in partenzauguali da figure uguali in partenza

Due poligoni equivalenti hanno Due poligoni equivalenti hanno la stessa estensionela stessa estensione

AREA = misura dell’estensione di AREA = misura dell’estensione di una superficie (parte di piano)una superficie (parte di piano)

Quindi: Quindi:

Due poligoni EQUIVALENTI Due poligoni EQUIVALENTI

hanno la stessa AREAhanno la stessa AREA

Come misurare un’area?Come misurare un’area? Misurare Misurare confronto confronto Come unità di misura conviene scegliere Come unità di misura conviene scegliere

una piccola area quindi una una piccola area quindi una piccola figurapiccola figura Proviamo ad effettuare un Proviamo ad effettuare un

RICOPRIMENTORICOPRIMENTO della figura da misurare della figura da misurare Per avvicinarsi il più possibile alla misura Per avvicinarsi il più possibile alla misura

“reale”, le unità di misura che affianchiamo “reale”, le unità di misura che affianchiamo non devono sovrapporsi, non devono non devono sovrapporsi, non devono creare buchi, non devono lasciare avanzi.creare buchi, non devono lasciare avanzi.

RicoprimentiRicoprimenti

Ricopriamo un rettangolo con CERCHIRicopriamo un rettangolo con CERCHI

Ricopriamo un rettangolo con Ricopriamo un rettangolo con PENTAGONIPENTAGONI

Ricopriamo un rettangolo con ESAGONIRicopriamo un rettangolo con ESAGONI

Ricopriamo un rettangolo con ESAGONI Ricopriamo un rettangolo con ESAGONI (senza buchi)(senza buchi)

Ricopriamo un rettangolo con ESAGONI e Ricopriamo un rettangolo con ESAGONI e ROMBIROMBI

Ricopriamo un rettangolo con ROMBIRicopriamo un rettangolo con ROMBI

Ricopriamo un rettangolo con Ricopriamo un rettangolo con RETTANGOLIRETTANGOLI

Ricopriamo un rettangolo con QUADRATIRicopriamo un rettangolo con QUADRATI

Perché l’area si ottiene Perché l’area si ottiene da un prodotto di lunghezze?da un prodotto di lunghezze?

L’area come L’area come prodotto di lunghezzeprodotto di lunghezze deriva dal deriva dal fatto che consideriamo come unità di misura fatto che consideriamo come unità di misura un un poligonopoligono che si possa affiancare in modo che si possa affiancare in modo tale da non lasciare buchi e che abbia i lati tale da non lasciare buchi e che abbia i lati sottomultipli dei lati della figura da sottomultipli dei lati della figura da misurare.misurare.

Affinchè l’unità di misura sia la stessa sia per Affinchè l’unità di misura sia la stessa sia per la lunghezza sia per la larghezza, conviene la lunghezza sia per la larghezza, conviene scegliere come unità di misura un scegliere come unità di misura un QUADRATOQUADRATO di lato unitario. di lato unitario.

Area di poligoniArea di poligoni

RettangoloRettangolo

A = A = b · hb · h

N.B. Tracciando una diagonale del N.B. Tracciando una diagonale del rettangolo, si ottengono due triangoli rettangolo, si ottengono due triangoli rettangoli congruenti. Quindi per il rettangoli congruenti. Quindi per il triangolo rettangolo vale triangolo rettangolo vale A = (A = (b· h)/2b· h)/2

ParallelogrammoParallelogrammo Un parallelogrammo è equivalente ad un Un parallelogrammo è equivalente ad un

rettangolo avente la stessa base e la stessa rettangolo avente la stessa base e la stessa altezzaaltezza

A = A = b · hb · h

TriangoloTriangolo Ogni diagonale del parallelogrammo lo divide in due Ogni diagonale del parallelogrammo lo divide in due

triangoli congruenti (acutangoli o ottusangoli) quindi per triangoli congruenti (acutangoli o ottusangoli) quindi per ogni triangolo ogni triangolo

A = (A = (b· h)/2b· h)/2

QuadratoQuadrato

A = A = ll ·· ll = = ll 22

l l

l l

RomboRombo Un rombo è Un rombo è

equivalente alla metà equivalente alla metà di un rettangolo che di un rettangolo che ha per lati le ha per lati le diagonali del rombodiagonali del rombo

A = (A = (dd11· d· d22)/2)/2

Osservazione: Osservazione: Questo vale per qualsiasi Questo vale per qualsiasi quadrilatero avente le quadrilatero avente le diagonali perpendicolaridiagonali perpendicolari

d1

d2

Considerando il Considerando il quadrato come romboquadrato come rombo

Le due diagonali Le due diagonali sono congruenti sono congruenti quindiquindi

A = (A = (d· d)/2 = dd· d)/2 = d22 / 2 / 2

d

d

TrapezioTrapezio Un trapezio è equivalente alla metà di un Un trapezio è equivalente alla metà di un

parallelogrammo di uguale altezza ed parallelogrammo di uguale altezza ed avente per base la somma delle basi del avente per base la somma delle basi del trapezio stesso. trapezio stesso.

A= A= ((bb11+ b+ b22)· h /2)· h /2

b1

b2 b1

b2

h