Si può misurare la fortuna?

5/14/2018 Si può misurare la fortuna? - slidepdf.com

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È possibileÈ possibilemisuraremisurare

la fortuna?la fortuna?

LABORATORIO SCIENTIFICOClassi III

Scuola edia Rainerum



Un po’ di storia…



Il gioco dei dadi ha sempre affascinatol’umanità: era una sfida alla fortuna.

Giocavano a dadi gli Egiziani nel 5000a.C.,i Greci, gli Etruschi, i Romani …

Si giocava a dadi nelle più diverse parti

del mondo e in tutte le epoche: nelMedioevo, nel Rinascimento … sempre.



Il matematico G. Cardano (1501-1576) scrive il

“Liber de ludo aleae” (Libro sul gioco dei dadi),

che verrà pubblicato solo 87 anni dopo la sua morte.

X V I



il cavaliere De Méré si pose questo quesito:

”È preferibile, scommettere sull’uscita di

ALMENO un 6 lanciando 4 volte un dado

oppure

ALMENO un doppio 6 lanciando 24 volte due dadi?”

X V II



De Meré chiese aBlaise Pascal e Pierre De Fermatdi studiare il problema

Dagli studi dei due matematici scaturì la modernaTeoria delle Probabilità (1650 circa)

X V II



1656L’olandese C. Huygens,prendendo spunto dal carteggio tra Pascal e Fermat,pubblica“De ratiociniis in ludo aleae” (Ragionamenti nel gioco dei dadi)

X V II



Nel 1713 viene pubblicato postumo il volume”Ars conjectandi” (L’arte di congetturare)

dello svizzero J. Bernoulli.

Nel volume si propone l’uso della probabilitànel campo della medicina e della meteorologia.

X VIII



Il tedesco C.F. Gauss utilizza la probabilitànello studio della geodesia e topografia.

L’abate G. Mendel pone le basi della genetica usando metodi probabilistici.

X I X



L’inglese K. Pearson introduce l’indaginestatistica nella medicina e nella biologia.

Nel 1944 l’americano di origine unghereseJ.Von Neumann pubblica

“Theory of Games end Economic Behavior”

(Teoria dei giochi e comportamento economico),dando inizio alle applicazioni della teoria dei giochinelle scienze sociali, nelle strategie elettorali,nell’economia.

X X



Un po’ diterminologia

…



T E R M I N O L O G I A

EVENTO (E) Ogni possibile risultato dell’esperimento

Esperimento: lancio di una monetaEvento (Risultati possibili):

Testa , Croce

Esperimento: lancio di un dadoEvento (Risultati possibili):

1, 2, 3, 4, 5, 6,# pari , # dispari,

3 o 5, 1 o 2 o 6, …,# < 2, # <4, … ,# > 1, # >3, … ,



SPAZIO DEGLI EVENTI (S)l’INSIEME di tutti i risultati dell’esperimento

Esperimento: lancio di una moneta Esperimento: lancio di un dado

Spazio degli Eventi:

{1,2,3,4,5,6,#pari,#dispari,3o5,1o2o6,#<2,#<4,#>1,#>3, …}

{Testa, Croce}

Spazio degli Eventi:

S

TC

S1 2

35

46

< 2< 5

pari

dispari

< 6

< 3> 6

> 3 …




EVENTO CERTO

Evento che SICURAMENTE si verificherà

Esperimento: lancio di una moneta

EVENTO CERTO:Esce

TESTA o CROCE

Esperimento: lancio di un dado

EVENTO CERTO:Esce

un numero compreso tra 1 e 6




EVENTO POSSIBILE

Evento che PUÒ verificarsi


EVENTI POSSIBILI:Esce TESTA

Esce CROCE


EVENTI POSSIBILI:Esce 1

Esce 2Esce un # ≥ 3

Esce numero pari…




EVENTO IMPOSSIBILE

Evento che NON PUÒ verificarsi


EVENTI IMPOSSIBILI:Esce 1

Esce Giallo…


EVENTI IMPOSSIBILI:Esce 0

Esce un # ≥ 7Esce Testa

…




Iniziamo (iniziate)a lavorare

…



1^ Prova1^ Prova1^ Prova1^ Prova

Lavoro a coppie ogni coppia lancia un dado

esaedrico regolare NON truccatoe compila la scheda n°1, n°2,

n°4, n°5 consegnatale



Confronta i risultati dell’istogrammacon quanto dichiarato inizialmente.

Se NON sono coerenti cerca dispiegarne la ragione

Scheda 1Scheda 1Scheda 1Scheda 1

Prima di iniziare a lanciare indica qualenumero, secondo te, uscirà PIÙ

FREQUENTEMENTE.

Se riesci giustifica la risposta

10 lanci di un dado10 lanci di un dado

ISTOGRAMMA

Esegui i 10 lanci riportandoogni volta il risultato (in BLU)

nell’ISTOGRAMMA.

Evento:Numero suldado

N u m

e r o U s c i t e





Scheda 2Scheda 2Scheda 2Scheda 2

Prima di iniziare a lanciare indica quale numero,secondo te, uscirà PIÙ FREQUENTEMENTE.


125 lanci di undado125 lanci di undado

ISTOGRAMMA

Riporta i dati dell’istogrammaprecedente e aggiungi (in VERDE) i

risultati di ulteriori 115 lanci.


N u m

e r o U s c i t e




FREQUENZA ASSOLUTA f A(E)

Numero di volte che si è verificato l’evento E

X

X XX X XX X X XX X X XX X X X XX X X X X X

1 2 3 4 5 6

Rappresenta l’ALTEZZA della colonna dell’istogramma

ISTOGRAMMA


N u m e r o

U s c i t e

f A ( E

)

f A(1) = 5

f A(2) = 4

f A(3) = 6

f A(4) = 1

f A(5) = 2

f A(6) = 7



È il rapporto tra la Frequenza Assoluta e il numerototale di lanci effettuati

X

X XX X XX X X XX X X XX X X X XX X X X X X

1 2 3 4 5 6

ISTOGRAMMA


N u m e r o U s c i t e

f A ( E

)

( )( )

leLanci NumeroTota

E f E f A

r =

( ) ( )( )

.

leLanciNumeroTota

f f f

A

rA===→=

( ) ( ) ( ) .

leLanciNumeroTota

f f f A

rA ===→=

( ) ( )( )

.

leLanciNumeroTota

f f f

A

rA===→=


FREQUENZA RELATIVA f r(E)



Essendo la Frequenza Relativa un numero compreso tra0 e 1,

a volte si preferisce esprimerla in percentuale:

ciò significa che si moltiplica per 100 il suo valore e siscrive il simbolo %

( ) ( ) %20120.01 % =→= f f r

( ) ( ) %8208.02 % =→= f f r

( ) ( ) %4404.04%

=→= f f r


FREQUENZA RELATIVA f r(E)



Relativamente all’ultimo istogramma (quello con i 125

lanci), ogni coppia calcoli, per ogni Evento,

Frequenza AssolutaFrequenza Relativa

Frequenza Relativa in percentuale

Eseguiti i calcoli passare la scheda alla coppia allapropria destra per la correzione

Scheda 3Scheda 3Scheda 3Scheda 3calcolo frequenzecalcolo frequenze



Due gruppi si uniscono e creano un unicoistogramma di 250 dati. Confrontano i treistogrammi (10, 125 e 250 lanci) ponendoattenzione su: Frequenze Assolute e Relative

500 lanci di undado500 lanci di undadoDue gruppi si uniscono, formandone uno di 8 persone, e

creano un unico istogramma di 500 dati. Verificano se leosservazioni precedenti sono ancora valide.Porre l’attenzione su:

Frequenze Assolute (si osservino le differenze)Frequenze Relative (si osservino i valori)

Scheda 4Scheda 4Scheda 4Scheda 4250 lanci di un

dado

250 lanci di un

dado



Creiamo un istogramma di 1000 lanciutilizzando tutti i dati che avete rilevato.

Simuliamo con un foglio di calcolo (‘Calc’ o ‘Excel’) 1000000 lanci di un dado.

Tiriamo le conclusioni :

Scheda 5Scheda 5Scheda 5Scheda 51000 lanci di un dado1000 lanci di un dado



O S S E R V A Z I O N I

Osservazione QualitativaAumentando il numero dei lanci l’istogramma ‘assume’ la formadi un rettangolo (distribuzione rettangolare)

100 Lanci 1000000 Lanci



Aumentando il numero dei lancile differenze tra i valori delle f

Adi ogni evento si riducono

avvicinandosi a zero, ossia

Frequenza ASSOLUTA:

Frequenza RELATIVA:

Aumentando il numero dei lanci

( )PossibiliNumeroCasi

FavorevoliNumeroCasi

iNumeroLanc

teEventoNumeroUsciEf

r→=


FavorevoliNumeroCasiEf

A→


Osservazione Qualitativa




Osservazione QualitativaAbbiamo un dado NON truccato

con 6 facce uguali tra di loro,allora non vi è alcun motivo di

pensare che una faccia debbamostrarsi più volte di un’altra.

Si può quindi ipotizzare che ognifaccia debba comparire unnumero di volte pari a 1/6 delnumero dei lanci totale

1/6 perché:“1” è il numero dei casi favorevoli

“6” è il numero dei casi possibili DefiniamoPROBABILITÀ Matematica

dell’evento E il numero

( )itiPossibilNumeroEven

FavorevoliNumeroCasiEP =



Abbiamo fatto vedere chel’espressione Matematica

indicante la PROBABILITÀche esca un valore sul dado è nota

prima del lancio

ed è confermata dall’esperienza sevengono effettuate un numero

estremamente elevato di prove

PROBABILITÀ Matematicadell’evento E

( ) itiPossibilNumeroEven


EP =



iNumeroLanc

teEventoNumeroUsciEf

r→=



La

PROBABILITÀ P(E) è una stima numerica del

verificarsi di un determinato

evento




Si vuole studiare cosaavviene se anzichélanciare 1 dado se nelancino 2.

Questo studio avverrà confrontando irisultati del lancio di 2 dadiesaedrici con il lancio di 1 dadododecadrico

Confronteremo poi il risultato anchecon un secondo esperimento chepreveda la somma di 2 numeri‘casuali’: il gioco del ‘pari odispari’



Lavoro: 5 coppie e 2 terne

4 coppie: lancio di due dadiesaedrici regolari NON truccati e

compilazione della scheda n°6,n°7 e n°8

1 coppia: lancio di 1 dadododecaedrico regolare NON

truccato e compilazione dellascheda n°8a

terna: due elementi giocano a‘pari e dispari’ , il terzo segna i

risultati; viene compilata la







FREQUENTEMENTE.

Se riesci giustifica la rispostaEsegui i 50 lanci riportando

ogni volta il risultato (in BLU)in un ISTOGRAMMA.

Scheda 6Scheda 6Scheda 6Scheda 650 lanci di due dadi50 lanci di due dadi






FREQUENTEMENTE.

Se riesci giustifica la rispostaRiporta i dati dell’istogramma

precedente e aggiungi (in VERDE) irisultati di ulteriori 150 lanci.

Scheda 7Scheda 7Scheda 7Scheda 7200 lanci di due dadi200 lanci di due dadi



Creiamo un istogramma di 1000 lanciutilizzando tutti i dati che avete rilevato.

E simuliamo al calcolatore 1000000 di lanci

Scheda 8Scheda 8Scheda 8Scheda 81000 lanci di duedadi1000 lanci di duedadi



Creiamo un istogramma di 1000 lanci.

E simuliamo al calcolatore 1000000 di lanci

Scheda 8aScheda 8aScheda 8aScheda 8a1000 lanci di un dadododecaedrico1000 lanci di un dadododecaedrico





Prima di iniziare a giocare indica quale numero,secondo te, uscirà PIÙ FREQUENTEMENTE.


Esegui i 500 scambi riportando ogni voltail risultato (in BLU) in un ISTOGRAMMA.

IMPORTANTE: “ NON giocare per vincere “

Scheda 6bScheda 6bScheda 6bScheda 6b500 scambi a ‘pari/dispari’500 scambi a ‘pari/dispari’



Creiamo un istogramma di 1000 scambiutilizzando tutti i dati che avete rilevato.

Scheda 8BScheda 8BScheda 8BScheda 8B1000 scambi a‘pari/dispari’1000 scambi a‘pari/dispari’




Lancio di 1 dado dodecaedrico

Avete (abbiamo) ottenuto un risultato analogo al lancio di undado esaedrico in quanto ogni evento (uscita di un numerocompreso tra 1 e 12) è equivalente agli altri.Aumentando il numero dei lanci l’istogramma ‘assume’ la forma

di un rettangolo (distribuzione rettangolare)



Aumentando il numero dei lanci l’istogramma ‘assume’ la formadi un triangolo (distribuzione triangolare)


Lancio di 2 dadi esaedrici



Confrontiamo come si ‘formano’ gli eventi che analizziamo

1 dado 2 dadi


Confronto: 1 dado dodecaedrico e 2 dadi esaedrici



1 dado 2 dadi

121211111010998877665544332211

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

661256,6511

46,55,641036,45,54,639

26,35,44,53,62816,25,34,43,52,617

45,24,33,42,516

41,23,32,41512,22,214

12,213112

+→

++→

+++→

++++→

+++++→

++++++→

+++++→

++++→

+++→

++→

+→


Confronto: 1 dado dodecaedrico e 2 dadi esaedrici



1212111110109988 77

665544332211

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

661256,6511

46,55,641036,45,54,639

26,35,44,53,62816,25,34,43,52,617

45,24,33,42,51641,23,32,415

12,22,21412,213

112

+→

++→

+++→

++++→

+++++→

++++++→

+++++→

++++→

+++→

++→

+→

Ogni determinazione ha unUNICO ‘modo’ per potersiverificare:

(Evento ELEMENTARE)

Le determinazioni hanno unnumero di ‘modi’ diversi perpotersi verificare:

(Evento COMPOSTO)

O S S E R V A Z I O N IConfronto: 1 dado dodecaedrico e 2 dadi esaedrici



Per mostrare l’esito del lancio di 2 dati è anche possibileutilizzare una

TABELLA A DOPPIA ENTRATA

+ 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 94 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12


TABELLA A DOPPIA ENTRATA



Come si legge la Tabella a doppia entrata

+ 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

determinazioni 1° dado

d e t e r m i n a z i o n i 2 ° d a d o

Ci sono 2 casi favorevoli all’ 11

Determinazioni1°+ 2° dado:

36 casi possibili

( )

ibiliEventiPoss

voliCasiFavoreP ==

( )

ibiliEventiPoss

voliCasiFavoreP ==

Ci sono 4 casi favorevoli al 9

( )

ibiliEventiPoss

voliCasiFavoreP ==

Ci sono 6 casi favorevoli al 7


E S E R C I Z I O



E S E R C I Z I OA questo punto, utilizzando la tabella a doppiaentrata, calcola la probabilità di uscita di ogni

determinazione ottenibile con il lancio di 2 dadi

+ 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 83 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

( )36

1

ibiliEventiPoss

voliCasiFavore2P ==

( )36

2

ibiliEventiPoss

voliCasiFavore3P ==

( )36

3

ibiliEventiPoss

voliCasiFavore4P ==

( )36

4

ibiliEventiPoss

voliCasiFavore5P ==

( )36

6

ibiliEventiPoss

voliCasiFavore7P ==

( )36

1

ibiliEventiPoss

voliCasiFavore12P ==

( )36

2

ibiliEventiPoss


( )36

3

ibiliEventiPoss


( )36

4

ibiliEventiPoss

voliCasiFavore9P ==

( )36

5

ibiliEventiPoss

voliCasiFavore6P == ( )

36

5

ibiliEventiPoss

voliCasiFavore8P ==

E S E R C I Z I O



TC

T C

TT TCCT CC

1ª

moneta

2ª

moneta

Determinazioni 2 monete:TT, TC, CC

( )4

1

ibiliEventiPoss

voliCasiFavoreTTP ==

( )4

2

ibiliEventiPoss

voliCasiFavoreTCP ==

( )4

1

ibiliEventiPoss

voliCasiFavoreCCP ==

E S E R C I Z I OConsideriamo il lancio di 2 monete:

- individua le possibili determinazioni- compila la relativa tabella a doppia entrata

- calcola la probabilità di ogni determinazione




2 dadi Per il gioco del “pari dispari"mi aspetto qualcosa di analogo

al lancio di 2 dadi.

Prima confrontiamo le due tabelle a

doppia entrata

+ 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

67 8 9 10 11 12

+ 1 2 3 4 5

1 2 3 4 5 6

2 3 4 5 6 7

3 4 5 6 7 8

4 5 6 7 8 9

5 6 7 8 9 10

Poi verifichiamo l’ipotesiosservando l’istogramma ottenuto

dai due gruppi

O S S E R V A Z I O N IConfronto: 2 dadi esaedrici e “pari dispari”




RISULTATI STUDENTI

….

O S S E R V A Z I O N IConfronto: 1 dado dodecaedrico e 2 dadi esaedrici

A B B I A M O



L’evento certo ha probabilità 1:

( ) 1EP0 ≤≤



A B B I A M O

V I S T O C H E

La PROBABILITÀ dell’evento E è un numero compreso tra 0 e 1

È possibile determinare la PROBABILITÀdell’evento E tramite la relazione

( ) 1EP =



E ora alcuni calcoli…



Esistono situazioni in cui l’espressione



è di difficile utilizzo perché è complesso il calcolo di- Numero dei casi favorevoli- Numero dei casi possibili

Vediamo alcune situazioni in cui il calcolo dellaprobabilità può essere eseguito con semplici calcoli

Eventi EQUIPROBABILIEventi EQUIPROBABILI

Eventi che SI ESCLUDONORECIPROCAMENTEEventi che SI ESCLUDONORECIPROCAMENTE

Eventi che NON SI ESCLUDONO RECIPROCAMENTEEventi che NON SI ESCLUDONO RECIPROCAMENTE

EventiINDIPENDENTIEventiINDIPENDENTI

Esperimento che genera eventi

Esperimento che genera eventi



Lancio di un dado esaedrico: 6 eventi identici

Lancio di una moneta: 2 eventi identici

Estrazione di una carta da un mazzo da briscola: 40 eventi identici

Estrazione di un numero della tombola: 90 eventi identici

La probabilità di un eventoè data dalla relazione:

( )IdenticiEventiNumero

1EP =

( )40

1EP =

( )901EP =

( )21EP =

( )61EP =

Esperimento che genera eventiequiprobabili

Esperimento che genera eventiequiprobabili

Eventi che si escludono reciprocamente

Eventi che si escludono reciprocamente



Lancio di un dado esaedrico: uscita 3 o 5

Lancio di una moneta: uscita T o C

Estrazione di una carta da un mazzo da briscola: 5 o 3

Estrazione di un numero della tombola: 36 o 57

( ) ( ) ( )3

1

6

2

6

1

6

15P3P5o3P ==+=+=

( ) ( ) ( ) 122

21

21CPTPCoTP ==+=+=

( ) ( ) ( )201

402

401

4013sP5cP3so5cP ==+=+=

( ) ( ) ( )451

902

901

90157P36P57o36P ==+=+=

Dati gli eventi E1 , E2 ed E3

che si escludono vicendevolmenteLa probabilità P(E1 o E2 o E3) è data da:

P(E1 o E2 o E3) = P(E1) + P(E2) + P(E3)

Eventi che si escludono reciprocamenteEventi che si escludono reciprocamente



Eventi che NON si escludono




Lancio di due dadi esaedrici: numero ≥ 8 o numero multiplo 3

In questo modo abbiamo 5 valori ≥ 8 e multiplidi 3 dobbiamo tenerli presente nel calcolo deicasi favorevoli

I casi favorevoli sono dati da12 valori multipli di 315 valori ≥ 8

casi favorevoli = 12 [ mult. 3 ] + 15 [ ≥ 8 ] – 5 [ (mult. 3) ≥ 8 ] = 22

P([mult. 3] o [≥ 8])=

Casi FavorevoliNumero Casi Possibili

2240

=

+ 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 72 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

reciprocamenteEventi che NON si escludono

reciprocamente





Estrazione di un Re o una carta di coppe

A 2 3 4 5 6 7 F C R

A 2 3 4 5 6 7 F C R

A 2 3 4 5 6 7 F C R

A 2 3 4 5 6 7 F C R

Casi Favorevoli = 4 [R ] + 10 [] – 1 [R ]

+ 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

Lancio di 2 dadi # ≥ 8 o # multiplo 3

CF= 12 [mult. 3] + 15 [≥ 8] – 5 [(mult. 3)≥ 8]

Dati i 2 eventi E1 ed E2

che NON si escludono vicendevolmenteLa probabilità P(E1 o E2) è data da:

P(E1 o E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1 e E2)

reciprocamenteEventi che NON si escludono

reciprocamente

Eventi

Eventi



Sono eventi che NON si influenzano reciprocamenteINDIPENDENTI

eINDIPENDENTI

Lancio (consecutivi o contemporanei) di due dadiL’esito del 1° dado non influenza il risultato del 2° dado

Lancio (consecutivi o contemporanei) di due moneteL’esito della 1ª moneta non influenza il risultato della 2ª moneta

Doppia estrazione di una carta da un mazzoL’esito della 1ª estrazione non influenza il risultato della 2ª

Eventi

Eventi



T C( )21TP = ( )

21CP =2ª moneta ( )

21TP = ( )

21CP = T C2ª moneta

( )21TP = ( )

21CP =

Lancio di due monete

( ) ( ) ( )41

21

21TPTPTTP =⋅=⋅= ( ) ( ) ( )

41

21

21CPCPCCP =⋅=⋅=

( ) ( ) ( )41

21

21CPTPTCP =⋅=⋅= ( ) ( ) ( )

41

21

21TPCPCTP =⋅=⋅=

Risultati in accordo con quanto già visto

Sono eventi che NON si influenzano reciprocamenteINDIPENDENTIINDIPENDENTI

T C1ª moneta



Eventi

Eventi



Dati i 2 eventi INDIPENDENTI E1 ed E2 (= NON si influenzano vicendevolmente)

La probabilità P(E1 e E2) è data da:

P(E1 e E2) = P(E1) • P(E2)

Dati i 2 eventi INDIPENDENTI E1 ed E2 (= NON si influenzano vicendevolmente)

La probabilità P(E1 e E2) è data da:

P(E1 e E2) = P(E1) • P(E2)

n

1 2 3 4 5 6

Lancio di due dadiLancio di due monete

T

T C

C

T C

INDIPENDENTIINDIPENDENTI

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Si può misurare la fortuna?

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