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Lezione 5Strumenti statistici:

campioni e stimatori

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Nella lezione precedente, parte 1 ...

La definizione frequentista della

probabilità: N

nE E

N limP

La definizione classica della probabilità:

n

sE P

La definizione assiomatica della

probabilità

11 i

i

i

i EE PP

1

0

S

EEPP

A

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Nella parte 2 ...

Stat 01 - 4 / 48

Nella parte 2 ...

i

a

P

Pguadagno

dBiGdBi 2

2X

i

adBi P

PG 10log10

58,110 10 dBiG

X

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Nella parte 3 ...

Le variabili

casuali X

La funzione distribuzione cumulativa

La funzione densità

di probabilità

Le funzioni di probabilità della variabile casuale X

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Nella parte 3 ...

Le variabili

casuali X

I parametri della distribuzione della variabile casuale X

dxxfxX

xfxX

XX

j jXjX

E

E

dxxfxX

xfxX

XXX

j jXXjX

22

22

var

var

XX var

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dalla caratteristica comune di una popolazioneal suo modello probabilistico …

1,61m < h < 1,63m X = 162

1,59m < h < 1,61m X = 160

1,57m < h < 1,59m X = 158

una popolazione (distribuita in modo) normale

su cui viene definita una variabile casuale continua X

con media e varianza 2 può essere modellata mediante una

funzione di densità di probabilità fX ( x ) espressa nella forma:

2

2

1exp

2

1 xxf X

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dalla caratteristica comune di una popolazioneal suo modello probabilistico …

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Distribuzione normale

al variare del valore della media la fX ( x ) trasla indeformata

la media e varianza 2 ( o la sua radice quadratache viene

indicata come scarto quadratico medio ) costituiscono i parametri di forma della distribuzione normale in quanto

l’andamento della densità fX ( x ) viene condizionato dai valori

di tali parametri:

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Distribuzione normale

al variare del valore della varianza 2 la fX ( x ) si deforma

la media e varianza 2 ( o la sua radice quadratache viene

indicata come scarto quadratico medio ) costituiscono i parametri di forma della distribuzione normale in quanto

l’andamento della densità fX ( x ) viene condizionato dai valori

di tali parametri:

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Dalla distribuzione normale alla “normale standard”

se X è una variabile casuale con distribuzione normale,

media e varianza 2 , allora la variabile casuale Z

ha distribuzione normale, con media nulla e varianza unitaria.

La densità della Z è pertanto espressa dalla:

2exp

2

1 2zzfZ

X

Z

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Dalla distribuzione normale alla “normale standard”

se X è una variabile casuale con distribuzione normale,

media e varianza 2 , allora la variabile casuale Z

ha distribuzione normale, con media nulla e varianza unitaria.

X

Z

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Dalla distribuzione normale alla “normale standard”

• se X è una variabile casuale con media , varianza 2 ed ha distribuzione normale

• allora la nuova variabile casuale Z che assume valore

risulta avere:

– media Z = 0,

dxxfdxxfx

dxxfdxxfxdxxfx

XX

XXXZ

1

xx

z

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Dalla distribuzione normale alla “normale standard”

• se X è una variabile casuale con media , varianza 2 ed ha distribuzione normale

• allora la nuova variabile casuale Z che assume valore

risulta avere:

– media Z = 0,

xx

z

0

1

dxxfdxxfx

dxxf

dxxfx XX

Z

X

X

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Dalla distribuzione normale alla “normale standard”

• se X è una variabile casuale con media , varianza 2 ed ha distribuzione normale

• allora la nuova variabile casuale Z che assume valore

risulta avere:

– media Z = 0, varianza var [ Z ] = 1,

xx

z

2

2

2

2

22 0var

dxxfx

dxxfx

dxxfx

dxxfzZ

X

X

XXz

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Dalla distribuzione normale alla “normale standard”

• se X è una variabile casuale con media , varianza 2 ed ha distribuzione normale

• allora la nuova variabile casuale Z che assume valore

risulta avere:

– media Z = 0, varianza var [ Z ] = 1,

xx

z

1var

var

var

2

2

22

Zdxxfx

Z

Xdxxfx

X

X

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parte 1Campioni, campionamento, stimatori campionari

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Parte I - sommario

• Prove “a tappeto” ed “a campione” • Tecniche di campionamento

– Campionamento “sistematico”– Campionamento “a strati”– Campionamento “con il metodo delle quote”– Campionamento “a grappolo”

• Momenti campionari• Stimatori• Caratteristiche degli stimatori

– Correttezza– Consistenza– Efficienza

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Misurazione della caratteristica comune

• Il valore della caratteristica che accomuna gli elementi della popolazione oggetto può essere determinato con le più diverse procedure di misurazione: quando le misure non sono tali da procurare danni agli elementi misurati si può ipotizzare una prova “a tappeto”.

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Campione

• Non è sempre possibile esaminare l’intera popolazione (per problemi di tempo, per problemi economici, per problemi pratici) pertanto uno degli scopi delle ricerche statistiche è quello di “inferire”, cioè di fare previsioni sulla intera popolazione mediante l’esame di un suo sottoinsieme che viene chiamato “campione”.

Uno dei pionieri della statistica applicata, William Sealy Gosset

(1876-1937 ) che operava con lo pseudonimo di “Student”, era responsabile del Laboratorio Prove e Ricerche

presso la birreria Guinness a Dublino, Irlanda.

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Campionamento

• La scelta del campione è fondamentale per evitare di trarre delle conclusioni incomplete o, addirittura, errate sulla popolazione.

• Per evitare distorsioni provocate da un campione non rappresentativo della popolazione, si deve dare ad ogni elemento della popolazione oggetto la stessa probabilità di venire estratto a far parte del campione.

• Le principali tecniche con le quali operare il campionamento, cioè la composizione del campione, sono indicate come:– campionamento sistematico;

– campionamento stratificato;

– campionamento con il metodo delle quote;

– campionamento a grappolo.

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Campionamento sistematico

• Nel campionamento sistematico si sceglie ciascun elemento che andrà a costituire il campione in base ad una regola prefissata.

• Ad esempio: si preleva ogni 30-esimo pezzo prodotto da una macchina o da una catena di montaggio.

• Il rischio insito in questa procedura è quello di incorrere in periodicità nascoste nel prodotto: se si producesse, sistematicamente, un pezzo difettoso ogni 29 pezzi “sani”, un campionamento sistematico del tipo “uno ogni 30” potrebbe risultare fatale.

• Anche il caso di un pezzo difettoso ogni 14 pezzi sani porterebbe a fallire il campionamento.

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Campionamento sistematico

• Nel campionamento sistematico si sceglie ciascun elemento che andrà a costituire il campione in base ad una regola prefissata.

• Ad esempio: si preleva ogni 30-esimo pezzo prodotto da una macchina o da una catena di montaggio.

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Campionamento stratificato

• Nel campionamento stratificato si divide preliminarmente la popolazione in un numero prestabilito si sottopopolazioni o “strati” dalle quali si estraggono delle unità che andranno a comporre il campione totale.

• Ad esempio: la suddivisione in strati potrebbe venire effettuata tenendo conto dei turni di lavoro oppure tenendo conto della linea produttiva, ecc.

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Campionamento stratificato

• Nel campionamento stratificato si divide preliminarmente la popolazione in un numero prestabilito si sottopopolazioni o “strati” dalle quali si estraggono delle unità che andranno a comporre il campione totale.

• Ad esempio: la suddivisione in strati potrebbe venire effettuata tenendo conto dei turni di lavoro oppure tenendo conto della linea produttiva, ecc.

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Campionamento con il metodo delle quote

• Si divide la popolazione in gruppi sulla base della caratteristica (oggetto dello studio) per i quali sono noti i pesi percentuali di ciascuno nei confronti della popolazione. A questo punto vengono definite le quote, cioè il numero di elementi da prelevare da ciascun gruppo e si procede con un’estrazione casuale delle unità da ciascun gruppo. Il campione sarà l‘insieme costituito da tutte le unità estratte.

• Ad esempio: nel caso di un’indagine che riguarda una azienda con penetrazione sul mercato che cambia da regione a regione, si chiede alle persone incaricate di allestire il campione intervistando in ciascuna regione un numero di individui legato alla penetrazione della azienda nella regione stessa.

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Campionamento con il metodo delle quote

• Si divide la popolazione in gruppi sulla base della caratteristica (oggetto dello studio) per i quali sono noti i pesi percentuali di ciascuno nei confronti della popolazione. A questo punto vengono definite le quote, cioè il numero di elementi da prelevare da ciascun gruppo e si procede con un’estrazione casuale delle unità da ciascun gruppo. Il campione sarà l‘insieme costituito da tutte le unità estratte.

• Ad esempio: nel caso di un’indagine che riguarda una azienda con penetrazione sul mercato che cambia da regione a regione, si chiede alle persone incaricate di allestire il campione intervistando in ciascuna regione un numero di individui legato alla penetrazione della azienda nella regione stessa.

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Campionamento a grappolo

• Questa procedura è utile quando si è nella impossibilità di estrarre il campione dalla intera popolazione. La popolazione viene allora vista come un insieme di grappoli non ricoprentesi e sono i grappoli ad essere scelti in modo casuale per poi costituire il campione mediante le singole unità costituenti i grappoli prescelti. Si noti che, se i grappoli non sono composti di un ugual numero di unità, la numerosità del campione è nota solamente al termine del campionamento.

• Ad esempio: nel caso di un’indagine che riguarda lo studio della fruizione del servizio di trasporto pubblico in una estesa area urbana si possono considerare come grappoli le famiglie residenti, fra le quali si estraggono a sorte alcuni grappoli: il campione sarà costituito da tutti i componenti delle famiglie estratte.

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Campionamento a grappolo

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Statistichedefinizione 5.1:

• Si definisce “statistica” g ( X1, X2, X3, …, Xn ) una funzione di

variabili casuali che non contiene parametri della popolazione.

Una statistica è a sua volta una variabile casuale.

esempio:

sono statistiche:

e

mentre non è una statistica perché contiene la media

della X sulla intera popolazione (che è un parametro incognito)

nnn

n

j

jn

XXXXXXX

Xn

X

,,,min,,,max

1

2121

1

nX

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Principali statistiche:momento campionario

Definizione ?!

• dato un campione { X1, X2, …, Xn } proveniente

da una popolazione avente densità fX (x), si definisce

“momento campionario di ordine p” la statistica :

n

j

pjp X

nM

1

1

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Principali statistiche:momento campionario

… dato un campione

{ X1, X2, …, Xn }

proveniente da una

popolazione avente

densità fX (x), …

n

j

pjp X

nM

1

1

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definizione:

• dato un campione { X1, X2, …, Xn } proveniente

da una popolazione avente densità fX (x), si definisce

“momento campionario di ordine p” la statistica:

definizione 5.2:

• estraendo da una popolazione per cui è definita la variabile

casuale X un campione di n elementi a cui corrisponde

l’insieme di variabili casuali { X1, X2, …, Xn } si chiama

“momento campionario di ordine p” la statistica:

Principali statistiche:momento campionario

n

j

pjp X

nM

1

1

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Principali statistiche:momento campionario

… estraendo da una

popolazione per cui è

definita la variabile

casuale X un

campione di n elementi

a cui corrisponde

l’insieme di v.c.

{ X1, X2, …, Xn } …

n

j

pjp X

nM

1

1

pppn

j

pjp xxxX

nM 232

1 3

11

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Principali statistiche:momento campionario di ordine 1

n

j

nj

n

j

pjp

XXn

M

p

Xn

M

1

11 1

1

1

• Fra i momenti campionari riveste particolare interesse quello di

ordine 1 ( p = 1 ). E’ chiamato “media campionaria” e coincide

con la media della X per il campione: per questo motivo lo

indicheremo con per richiamare il suo significato.nX

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Principali statistiche:momento campionario di ordine 1

Della “media campionaria” si tratterà in dettaglio nelle prossime

lezioni: per ora si segnalano due sue caratteristiche.

Estraendo diversi campioni di n elementi da una popolazione per

cui è definita la variabile casuale X che ha media e varianza 2

• si ha:

nXE

n

X n

2

var

e, nel caso di popolazione infinita o di campionamento con

ripetizione,

• si ha:

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Principali statistiche:momento campionario rispetto a

n

j

p

njp XXn

M1

1

nX

definizione 5.3:• estraendo da una popolazione per cui è definita la variabile

casuale X un campione di n elementi a cui corrisponde

l’insieme di variabili casuali { X1, X2, …, Xn } si chiama

“ momento campionario di ordine p rispetto a ” la statistica:

nX

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Principali statistiche:momento campionariodi ordine 2 rispetto a nX

n

j

nj XXn

M1

2

2

1

• Il momento campionario di ordine 2 rispetto a

riveste interesse particolare in quanto esso coincide

con la varianza del campione:

nX

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Stimatori

definizione 5.4:• Si definiscono “stimatori” quelle statistiche che vengono usate per

stimare un parametro o una sua funzione.

– I valori ottenuti mediante gli stimatori si dicono “stime” del parametro.

esempio: estraendo da una popolazione per cui è definita la variabile

casuale X un campione di n elementi a cui corrisponde

l’insieme di v.c. { X1, X2, …, Xn } si può affermare che:

la “media campionaria”:

è uno stimatore della media della popolazione:

n

j

jn Xn

X1

1

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Caratteristiche degli stimatori: correttezza

definizione 5.5:

• Uno stimatore V = v ( X1, X2, …, Xn ) del parametro si definisce

“corretto” se e solo se il suo valore atteso è uguale al parametro che deve stimare.

VE

– Se lo stimatore risulta corretto solamente quando n tende all’infinito si dice che lo stimatore è “asintoticamente corretto” . Per popolazioni

finite la definizione deve essere intesa nel senso: “quando n risulta sufficientemente grande”.

nXE

– La media campionaria è uno stimatore corretto della media della popolazione in quanto:

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Caratteristiche degli stimatori: consistenza

definizione 5.6:

• Uno stimatore V = v ( X1, X2, …, Xn ) del parametro si definisce

“consistente” se converge in probabilità al parametro che deve stimare.

• Nel caso di uno stimatore corretto o asintoticamente corretto del parametro si può affermare che esso è consistente se:

1lim

V-Vn

EP

nV per0var

nn

X n per0var2

– La media campionaria è uno stimatore consistente in quanto:

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• Nel caso di stimatori corretti il rapporto Eff ( V1 / V2 ) coincide

con il rapporto delle varianze dei due stimatori pertanto lo stimatore più efficiente è quello che ha varianza minore.

Caratteristiche degli stimatori: efficienza

definizione 5.7:• La misura della efficienza tra due stimatori è definita come:

• Se Eff ( V1 / V2 ) > 1 la stima fornita da V1 è più efficiente.

2

11

2

22

21 /V-V

V-VVVEff

E

E

E

E

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La prossima volta…

Lo stimatore “media campionaria” e la sua distribuzione