Elementi di Teoria dei Gruppi Giovanni Salm` e - Anno Accademico 2007-2008 La nozione di Simmetria ` e tra le pi ` u importanti in Fisica. Sotto l’ azione di una particolare trasformazione (od operazione) il sistema, o alcune propriet` a del sistema, o le leggi che governano il sistema rimangono invariate. Esempio banale: se ruotiamo una sfera attorno ad un qualsiasi diametro, la sfera rimane invariata. Quindi se descriviamo la sfera in termini matematici, tale descrizione matematica deve risultare invariante per trasformazioni di rotazione attorno al diametro. Esempio meno banale: se l’ interazione tra i costituenti di un sistema non varia con il tempo, si ha l’ invarianza (costanza) dell’energia totale del sistema. Di nuovo, una descrizione matematica del sistema dovr` a contenere questa propriet` a di simmetria (invarianza). Le simmetrie possono essere discrete (p.e. parit` a, coniugazione di carica, inversione temporale) o continue (p.e. traslazioni, rotazioni, trasformazioni da un riferimento inerziale ad un altro, ecc.), cio ` e dipendenti da una o pi ` u variabili continue (coordinate, angoli, velocit` a, ecc.). Le simmetrie sono appropriatamente descritte in linguaggio matematico, utilizzando due concetti : Gruppo ed Algebra. 1
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Elementi di Teoria dei Gruppi
Giovanni Salme - Anno Accademico 2007-2008
La nozione di Simmetria e tra le piu importanti in Fisica. Sotto l’ azione diuna particolare trasformazione (od operazione) il sistema, o alcuneproprieta del sistema, o le leggi che governano il sistema rimangonoinvariate.
Esempio banale: se ruotiamo una sfera attorno ad un qualsiasi diametro, lasfera rimane invariata. Quindi se descriviamo la sfera in terminimatematici, tale descrizione matematica deve risultare invariante pertrasformazioni di rotazione attorno al diametro.
Esempio meno banale: se l’ interazione tra i costituenti di un sistema nonvaria con il tempo, si ha l’ invarianza (costanza) dell’energia totale delsistema. Di nuovo, una descrizione matematica del sistema dovracontenere questa proprieta di simmetria (invarianza).
Le simmetrie possono essere discrete (p.e. parita, coniugazione di carica,inversione temporale) o continue (p.e. traslazioni, rotazioni,trasformazioni da un riferimento inerziale ad un altro, ecc.), cioedipendenti da una o piu variabili continue (coordinate, angoli, velocita,ecc.).
Le simmetrie sono appropriatamente descritte in linguaggio matematico,utilizzando due concetti : Gruppo ed Algebra.
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I Gruppi
Un Gruppo G e un insieme di elementi g1, g2, g3....., che deve
• essere dotato di una legge di composizione, ( detta moltiplicazione eche indicheremo con m), che ha le seguenti proprieta
– Chiusura: se g1 ∈ G e g2 ∈ G, anche m(g1, g2) ∈ G– Associativa: m(g1,m(g2, g3)) = m(m(g1, g2), g3)
• contenere i seguenti elementi:– L’identita e, tale che m(e, g) = m(g, e) = g, ∀g ∈ G– L’ inverso g−1, tale che m(g−1, g) = m(g, g−1) = e,∀g ∈ G
Io EsempioI Numeri Interi (positivi e negativi): Z
Legge di composizione: Addizione
• Chiusura: z1 + z2 ∈ Z
• Associativa: z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3
• L’identita: 0 + zi = zi + 0 = zi
• L’ inverso: zi − (zi) = 0
quindi le proprieta gruppali sono verificate
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Se cambiamo legge di composizione ed adottiamo la familiaremoltiplicazione, cosa succede?
Legge di composizione: Moltiplicazione
• Chiusura: z1 × z2 ∈ Z
• Associativa: z1 × (z2 × z3) = (z1 × z2)× z3
• L’identita: 1× zi = zi × 1 = zi
• L’ inverso: 1/zi 6∈ Z !!!
Le proprieta gruppali non sono verificate.
Si puo estendere l’ insieme, includendo i numeri razionali ed escludendo lozero, ottenendo cosı un gruppo per la Moltiplicazione.
IIo Esempio (di rilievo per la Fisica)Il gruppo complesso delle fasi G = U(1) = {eıθ}
Il gruppo U(1) e composto da matrici 1× 1, complesse, unitarie(UU† = U†U = 1). Questo gruppo governa la simmetria del campoelettromagnetico, nel senso che le Equazioni di Maxwell (≡unificazionedell’elettromagnetismo) sono invarianti sotto l’ azione di un elemento∈ U(1).
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Alcune nozioni utili
• L’-ordine di un gruppo e il numero di elementi che compongono ilgruppo. Se l’ordine e finito il gruppo si dice finito. Il gruppo dellepermutazioni di 3 oggetti, S3 e finito (3! = 6 elementi), mentre ilgruppo delle rotazioni proprie nello spazio euclideo tridimensionale,SO(3), e infinito ( SO(3) e un sottogruppo di O(3), che contieneanche le inversioni spaziali).
• Un gruppo infinito e detto continuo se il numero degli elementi einfinito non denumerabile (cioe non in corrispondenza biunivoca conl’insieme dei numeri interi).
• Un gruppo G e detto commutativo o abeliano se ∀{g1, g2} ∈ G siha
m(g1, g2) = m(g2, g1).
Se g1 e g2 matrici e m prodotto righe per colonne: g1 g2 = g2 g1 Ilgruppo delle traslazioni o il gruppo delle rotazioni attorno ad un assesono abeliani, mentre i gruppi S3 e SO(3) (che contiene tutte lepossibili rotazioni) sono non abeliani.
• Un sottoinsiemeH ⊂ G e detto sottogruppo di G se l’insieme deisuoi elementi e un gruppo con la stessa legge di composizione di G.Le permutazioni pari (che si ottengono con un numero pari di scambidalla sequenza principale {1, 2, 3}) costituiscono un sottogruppo diS3. Il gruppo delle rotazioni attorno all’asse z e un sottogruppo diSO(3)
• Un sottogruppo, I, del gruppo G si chiama invariante se ∀i ∈ I e∀g ∈ G si ha
m(g,m(i, g−1)) = i′ ∈ ISe g e i matrici e m prodotto righe per colonne: g i g−1 = i′ ∈ I
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• Un gruppo G si chiama semplice se non ha sottogruppi invarianti (aparte l’identita e il gruppo stesso). E detto semi-semplice se non hasottogruppi invarianti abeliani, ma puo averne di non-abeliani (se ilgruppo e semplice sara anche semi-semplice, ma non sara vero ilviceversa). Nelle applicazioni fisiche i gruppi semisemplici hanno unparticolare rilievo, poiche le loro rappresentazioni matriciali hannoimportanti proprieta che descriveremo di seguito (Teorema di Racah).Esempio I: il sottogruppo delle rotazioni tridimensionale attorno adun asse e un sottogruppo abeliano di SO(3) ma non e invariante,quindi SO(3) ∈Gruppi semisemplici. Esempio II: SU(n) esemplice per n ≥ 2, come vedremo in dettaglio per SU(2).
• A partire da due gruppi G1 e G2 e possibile definire il gruppoprodotto diretto, G1 ⊗ G2, costituito dall’insieme di tutte le coppieordinate (g1, g2), con g1 ∈ G1 e g2 ∈ G2, che verifica le proprietagruppali ed e dotato della seguente legge di composizione,M, tradue coppie ordinate (g1, g2) e (g′1, g
′2)
Mˆ(g1, g2), (g
′1, g
′2)
˜=
ˆm1(g1g
′1),m2(g2g
′2)
˜
L’addizione del momento angolare orbitale e dello spin e unesempio di prodotto diretto tra i gruppi SO(3) e SU(2). Altriesempi rilevantissimi:
– l’unficazione delle interazioni debole (governata dalla simmetriadello spin debole: SU(2)) ed elettromagnetica (U(1)):SU(2)⊗U(1)
– l’unificazione ulteriore con le interazioni forti (SU(3)):SU(3)⊗ SU(2)⊗U(1) (modello standard).
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Come sono state definite le funzioni di numeri reali (complessi) [cioe unaben definita legge che associa ad un numero reale (complesso) uno o piualtri numeri reali (complessi)], cosı si puo definire una funzione (unaapplicazione) che associ ad un elemento di un gruppo uno o piu elementidi un altro gruppo.
Una applicazione φ : G1 → G2 e chiamata omomorfismo se
g1 → φ(g1) g′1 → φ(g′1) ∀{g1, g′1} ∈ G1
implica che
m(g1, g′1)→ φ
ˆm(g1, g
′1)
˜= m
ˆφ(g1), φ(g′1)
˜∈ G2
In particolare,
• se l’omomorfismo e biunivoco ( cioe, esite una relazione uno a unotra gli elementi di G1 e G2) si chiama isomorfismo.
• se l’applicazione e tale che G2 = G1, allora un omomorfismo diventaun endomorfismo ed un isomorfismo un automorfismo. (cioe se ag1 ∈ G1 corrisponde uno ed un solo g2 ∈ G2 ≡ G1
Questo concetto di applicazione, p.e., sara utilizzato per introdurre lanozione di rappresentazione matriciale di un gruppo.
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Gruppi di Lie
Un Gruppo di Lie e un gruppo continuo i cui elementi sono funzionianalitiche (continue e infinitamente differenziabili), di un numero finito diparametri (α1, α2, ..., αn). Hanno un particolare rilievo i gruppi di Lieconnessi, poiche grazie alla proprieta di analiticita, si puo connettere concontinuita l’elemento IDENTITA a qualsiasi altro elemento del gruppo. Dirilievo per le applicazioni in Fisica, sono i gruppi di Lie che sono linearinei parametri, quando si e infinitesimalmente vicini all’identita
limpiccolo ~α
g ' 1 + ı~α · ~T
dove
• i parametri (reali o complessi) {αi}, con i = 1, 2, ..., N , sonoparametri continui. Il gruppo si dice compatto se i parametri varianoin un intervallo chiuso e limitato. Esempi: Rotazioni⇒ compatto;Traslazioni⇒ non compatto
• N : e la dimensione del gruppo di Lie in esame,
• L’insieme di operatori {Ti} ≡ {−i∂g/∂αi|~α=0}, coni = 1, 2, ..., N , sono chiamati generatori del gruppo di Lie inesame
I generatori permettono attraverso l’esponenziazione di scrivere unqualsiasi elemento del gruppo in modo economico, nel senso che e piusemplice studiare le proprieta dei generatori che sono soltanto N , invecedelle proprieta degli infiniti elementi che compongono il gruppo di Lie inesame.
g(~α) = limn→∞
»
1 + ı~α
n· ~T
–n
= ( exph
ı~α · ~Ti
D’ora in poi con gruppi di Lie ci riferiremo a gruppi di Lie che si possonoesponenziare
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Se il gruppo di Lie e unitario e a parametri reali, allora i generatori sonohermitiani. Infatti, poiche U†U = UU† = 1, vuol dire che U† = U−1,
U† =n
exph
ı~α · ~Tio†
= exph
−ı~α · ~T†i
=
= exph
−ı~α · ~Ti
= U−1
Nell’ultimo passaggio si e utilizzata l’hermitianita dei generatori ! Leproprieta gruppali, si traducono immediatamente (grazie allaesponenziazione) in relazioni di commutazione tra generatori
• Le regole di commutazione dei generatori e l’identita di Jacobidefiniscono l’algebra associata al gruppo di Lie in esame.Ricordiamo che un’algebra e uno spazio vettoriale lineare dotato diuna legge di composizione. L’algebra di Lie e lo spazio vettorialeastratto i cui elementi sono i generatori, la legge di composizionesono le regole di commutazione (o anticommutazione o miste, ecc.) esi deve verificare l’identita di Jacobi.
• Una subalgebra dell’ algebra di Lie, A, e chiamata un ideale, I, se∀i ∈ I e ∀a ∈ A si ha [i, a] ∈ I.
• Un’ algebra di Lie si dice semplice, se ha solo ideali triviali (p.e.l’algebra stessa). Sara chiamata semi-semplice se non ha idealiabeliani. Un algebra semplice e anche semi-semplice, ma non e veroil viceversa.
• Lo studio delle algebre di Lie semi-semplici e quello piu rilevante perle applicazioni fisiche (vedi SU(n)), poiche le algebre di Liesemi-semplici sono esprimibili come somma diretta di algebresemplici. A livello di gruppi, un gruppo semi-semplice si potraesprimere come prodotto diretto di gruppi semplici. Vedi il Teoremadi Racah per un’altra importante proprieta.
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• Il rango dell’algebra di Lie e dato dal numero massimo digeneratori commutanti tra loro. Quindi da il numero di generatoriche potranno essere rappresentati da matrici diagonalizzabilisimultaneamente.P.e., il rango dell’algebra dei generatori di SU(n) e n− 1 (ladimensione, cioe il numero dei generatori, e n2 − 1).
• Dati due due gruppi G1 e G2, l’algebra del gruppo prodotto direttoe l’algebra dei generatori del primo e del secondo gruppo.
• Gli operatori (del secondo ordine o di ordine superiore) che sicostruiscono a partire dai generatori del gruppo e che 1) commutanocon tutti i generatori e 2) commutano tra di loro, si chiamanooperatori di Casimir. Per esempio, se T2 =
P
i T2i commuta con
tutti i generatori, {Ti}, allora T2 e un operatore di Casimir.L’esempio piu noto e il quadrato del momento angolare. Per i gruppisemisemplici il numero degli operatori di Casimr e uguale al rango(Teorema di Racah).Questa proprieta apre la possibilita, p.e., di identificare i multipletti,
formati da autostati degeneri di una data Hamiltoniana, per mezzo
degli autovalori degli operatori di Casimir relativi al gruppo di
simmetria della Hamiltoniana (vedi il caso di Hamiltoniane con
invarianza rotazionale, SO(3)).
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Dato un gruppo di Lie, si individua una sola algebra. Non e vero ilviceversa. Data un’algebra si possono individuare gruppi di Lie diversi(ovviamente in relazione l’uno con l’altro). Un esempio tipico: l’algebradelle matrici di Pauli e quella dei generatori delle rotazioni tridimensionalie la stessa, ma le matrici 2× 2 di Pauli conducono al gruppo specialeunitario, SU(2) (spin seminteri ed interi), omeomorfo al gruppo specialeortogonale delle rotazioni, SO(3), che ha come generatori delle matrici3× 3.
Gruppo di Lie⇒ Generatori del Gruppo⇒ Algebra di Lie (dei generatori)
Algebra di Lie (dei generatori)⇒
8>><
>>:
Gruppo di Lie
Gruppo di Lie
...
EsempioSO(3): gruppo delle Rotazioni nello Spazio Euclideo R
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Le rotazioni nello spazio euclideo tridimensionale dipendono in modocontinuo da tre parametri che definiscono la rotazione stessa (p.e. i tre
angoli di Eulero) e si puo passare con continuita dalla matrice identita(δi,k) ad una qualsiasi altra rotazione, poiche la dipendenza dagli angoli edata dalle funzioni analitiche coseno e seno. Inoltre il gruppo e compatto,poiche gli angoli variano comunque nell’intervallo [0, 2π].
Le rotazioni agiscono su vettori dello spazio R3 e sono rappresentate da
matrici 3× 3. Vedremo in seguito che se agiranno su spazi di funzioni, laloro rappresentazione potra cambiare dimensionalita, o perfino assumereuna forma differenziale (dimensionalita infinita della rappresentazione).
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Il gruppo delle rotazioni viene indicato con la sigla SO(3), dove S sta perspeciale (le matrici hanno det = +1), ed O per ortogonale. L’aggettivoortogonale ci ricorda la ben nota proprieta delle rotazioni: il prodottoscalare tra due vettori non cambia se applichiamo la stessa rotazione ai duevettori. Vedremo in dettaglio come questa proprieta si traduce in una bendefinita caratteristica delle matrici che descrivono le rotazioni. Comeultima osservazione, e utile sottolineare la differenza con il gruppo O(3),di cui SO(3) e un sottogruppo: O(3) contiene anche l’inversione spaziale,Is, (det = −1), che non puo essere connessa con continuita alle rotazioni(det = +1). Va notato che l’inversione spaziale commuta con tutti e tre igeneratori delle rotazioni, e quindi O(3) = SO(3) ∪ SO(3)⊗ IS .
Per semplicita consideriamo una rotazione attorno all’asse z. Bastera unsolo angolo, θ, per definirla
x′ = cosθ x + sinθ y
y′ = −sinθ x + cosθ y
z′ = z
In forma matriciale, se consideriamo vettori colonna, si ha0
BB@
x′
y′
z′
1
CCA
=
0
BB@
cosθ sinθ 0
−sinθ cosθ 0
0 0 1
1
CCA
0
BB@
x
y
z
1
CCA
= Rz
0
BB@
x
y
z
1
CCA
il determinante diRz e uguale a +1 (!).
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Per vettori riga si ha
“
x′ y′ z′”
=
“
x y z” 0
BB@
cosθ −sinθ 0
sinθ cosθ 0
0 0 1
1
CCA
=
=“
x y z”
RTz
La proprieta di invarianza del modulo del vettore (meglio del prodottoscalare tra due vettori) si traduce in una relazione che lega la matriceRz
alla sua traspostaRTz . In particolare
(x′)2 + (y′)2 + (z′)2 =“
x′ y′ z′”
0
BB@
x′
y′
z′
1
CCA
=
=“
x y z”
RTz Rz
0
BB@
x
y
z
1
CCA
=
= x2 + y2 + z2 ⇒ RTz Rz = I
dove I e la matrice identita. Per una generica rotazione
RT R = I
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Per piccoli valori dell’angolo θ la matrice di rotazione diventa
limpiccoli θ
Rz = limpiccoli θ
0
BB@
1 θ 0
−θ 1 0
0 0 1
1
CCA'
0
BB@
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1
CCA
+
+ θ
0
BB@
0 1 0
−1 0 0
0 0 0
1
CCA
= I + ıθT3 ' exp [ıθT3]
dove T3 e una matrice hermitiana che puo essere diagonalizzata con unaopportuna trasformazione di similitudine S
T3 = −ı S
0
BB@
0 1 0
−1 0 0
0 0 0
1
CCAS−1 =
0
BB@
1 0 0
0 0 0
0 0 −1
1
CCA
Se si esegue una analisi simile per il caso generale si ottiene che
R(α, φ, θ) = exp [ıαT1 + ıφT2 + ıθT3]
dove
T1 = −ı
0
BB@
0 0 0
0 0 1
0 −1 0
1
CCA, T2 = −ı
0
BB@
0 0 −1
0 0 0
1 0 0
1
CCA
che sotto l’azione della trasformazione di similitudine cambierannorappresentazione. N.B. si puo diagonalizzare un solo generatore alla volta,il rango e 1.
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Come si puo verificare con un calcolo diretto, i generatori, T1,T2,T3
Identita di Jacobie quindi {Ti} fornisce l’algebra di SO(3), che si indica con so(3).
Le regole di commutazione tra due generatori si possono scrivere in modocompatto utilizzando il tensore di Levi-Civita
εikj =
8>><
>>:
0 se due indici sono uguali
−1 se {i, k, j} = permutazione dispari di {1, 2, 3}1 se {i, k, j} = permutazione pari di {1, 2, 3}
Si ha
[Ti,Tk] = ı εikjTj
`εikj ≡ costanti di struttura
´
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E di particolare rilievo la seguente combinazione quadratica dei generatori
T2 = (T1)2 + (T2)2 + (T3)2
Questo nuovo operatore e l’operatore di Casimir e commuta con tutti igeneratori del gruppo. Come facilmente si riconosce, le regole dicommutazione dei generatori delle rotazioni sono le stesse degli operatoridi momento angolare e l’operatore di Casimir per SO(3) non e altro chel’operatore modulo quadro del momento angolare.
Un’ ultima osservazione che mette in luce l’importanza dell’analisi fatta:se invertiamo i passi fatti, 1) consideriamo un’algebra di Lie e 2)esponenziamo i generatori, 3) otteniamo un gruppo di Lie.
E chiaro che lo studio dell’algebra e equivalente allo studio delle proprietadel gruppo, ma risulta piu semplice, poiche il numero di generatori e finito.Questa osservazione sara di particolare rilievo quando si passera dalletrasformazioni delle coordinate cartesiane alle trasformazioni di funzioni(o di vettori di spazi astratti) che dipendono da coordinate cartesiane (→ lateoria delle rappresentazioni).
Infine, va ricordato che oltre alle rotazioni esistono molte simmetrie,rilevanti nello studio di processi fisici, che hanno la proprieta di avere unastruttura infinitesimale, e quindi si possono investigare analizzandodirettamente l’ algebra di Lie dei generatori, piuttosto che il gruppo di Lieassociato alla simmetria (SU(2), SU(3), il gruppo proprio di Lorentz,ecc.).
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Alcuni Gruppi di Lie rilevanti per la Fisica
• Gruppi ortogonali: matrici reali n× n ortogonali con |det(a)| = 1
(a generico elemento). I generatori sono n(n− 1)/2.Se consideriamo l’invarianza del prodotto scalare tra due vettori dellospazio euclideo, si ottiene la proprieta di ortogonalita familiare:OT O = I . Il gruppo si indica con O(n), Esempio I: O(3) descrivenello spazio tridimensionale sia le rotazioni connesse all’identita(det(a) = +1), sia le rotazioni moltiplicate per l’inversione spaziale(det(a) = −1). L’inversione spaziale commuta con tutti i generatori.Se la proprieta di ortogonalita e piu generale: OT gO = g, con gµν
il cosiddetto tensore metrico, (cioe una matrice diagonale che ha melementi = +1 e n elementi = −1), il gruppo si indica conO(m,n), Esempio II: O(3, 1) descrive nello spazio di Minkowskisia le rotazioni spazio-temporali (det(a) = +1), sia le inversionispaziali e temporali (det(a) = −1).
• Gruppi ortogonali speciali (connessi): Hanno n(n− 1)/2 generatorihermitiani, e il rango e [N/2], cioe il piu grande numero intero cheapprossima o e uguale a N/2. Tutti gli elementi hannodet(a) = +1, e a seconda della proprieta di ortogonalita considerataavremo SO(n) o SO(m,n). Esempio I: SO(3)→ rotazioni nellospazio euclideo tridimensionale (e molto rilevante notare che SU(2)
ha la stessa algebra dei generatori di SO(3)). Esempio II:SO(3, 1)→ trasformazioni di Lorentz (rotazioni tridimensionali +cambiamenti di sistema di riferimento, o boosts).
• Gruppi unitari (connessi): si indicano con U(n),⇒ matricicomplesse n× n unitarie (U†U = UU† = 1). Sono definite da n2
parametri, e i generatori hermitiani sono n2. Lasciano invariato ilprodotto scalare tra due vettori complessi. Esempio: U(1)⇒elettromagnetismo
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• Gruppi unitari speciali (connessi): si indicano con SU(n),⇒matrici complesse n× n unitarie con det(a) = +1, ∀a ∈ SU(n).I generatori hermitiani sono n2 − 1 (causa del vincolodet(a) = +1, N.B U(n) ⊃ SU(n)), e devono avere traccia nullapoiche a = exp
ˆı
P
n αn Tn˜
e quindi
det(a) = exp
"
ıX
n
αn Tr (Tn)
#
= 1
Il rango e n− 1. Esempio: SU(2)⇒ interazioni deboli, SU(3)⇒interazioni forti. Per U(n) i generatori hanno Tr (Tn) 6= 0.
• Gruppi speciali lineari complessi: si indicano con SL(n, C), ⇒ matricicomplesse n × n con det(a) = +1, hanno 2(n2
− 1) generatori a traccianulla, e rango 2(n − 1). Esempio: SL(2, C), che ha la stessa algebra deigeneratori di SO(3, 1).
• Gruppi simplettici: Sp(2n), matrici reali 2n × 2n che lasciano invariata(gT Sg = S con g ∈ Sp(2n)) la matrice antisimmetrica
S =
0 In×n
−In×n 0
!
S2
= −
In×n 0
0 In×n
!
= I
Analogia con ı2 = −1 (simplettico come sinonimo di complesso, nel sensoche ci ricorda che il quadrato della matrice = −1). Hanno n(2n + 1)
generatori, e rango n. Lasciano invariata la parte immaginaria del prodottoscalare di due vettori complessi, ~a∗
·~b, che si puo scrivere con la matrice S seordiniamo i vettori in questo modo: (xR, yR, ...; xI , yI ...). Esempio:Sp(6) struttura hamiltoniana dello spazio delle fasi.
• Gruppi eccezionali: sono in totale 5 ,G2, F4, E6, E7, E8 e descrivonosimmetrie sul campo degli ottonioni ( ottuple di numeri, generalizzazione deinumeri complessi). Esempi: E6 → teoria grandunificata, E8 → Teoriagrandunificata supersimmetrica.
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Rappresentazioni di un Gruppo
Finora abbiamo considerato l’azione delle rotazioni sugli elementi di unospazio euclideo tridimensionale (l’insieme delle coordinate cartesiane{x, y, z}). Ora generalizzeremo lo spazio su cui gli elementi del gruppoagiscono. Di particolare rilievo e l’azione sugli elementi di uno spaziovettoriale lineare, che sta alla base del linguaggio matematico utilizzato inMeccanica Quantistica. Per essere concreti la domanda a cui vogliamorispondere, p.e. prendendo in esame il gruppo delle rotazioni, e:
Se applichiamo una rotazione alle coordinate, {x, y, z}, come si trasformala funzione d’onda, ψ(x, y, z), del sistema quantistico in esame ?
Consideriamo un elemento g del gruppo G. Se all’elemento g possiamo farcorrispondere (un’applicazione) l’azione di una trasformazione, lineare edinvertibile, applicata ad un vettore, che appartiene ad uno spazio vettorialelineare a N dimensioni (con N finito), allora avremo una corrispondenzatra l’elemento g e la sua rappresentazione matriciale N ×N , G.
g → G
0
BBBBBBB@
x1
x2
x3
...
xN
1
CCCCCCCA
In generale questa corrispondenza non e biunivoca. Inoltre potremmopensare a spazi vettoriali piu astratti, (p.e. spazi di funzioniquadrato-sommabili, ecc.) e in questo caso avere rappresentazioni infinitodimensionali .Esempio: il caso delle rotazioni, con le differentirappresentazioni possibili per i tre generatori, sia rappresentazioni infinitodimensionali (forma differenziale) che finito dimensionali (quando siapplicano i generatori alle armoniche sferiche).
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Come possiamo costruire le rappresentazione di un certo gruppo G ?
Questo e uno dei problemi fondamentali della teoria delle rappresentazionidei gruppi. La pratica piu usuale in meccanica quantistica e trovare leautofunzioni degli operatori rilevanti per il problema fisico che si staindagando. Come esempio pratico riprendiamo in esame il gruppo dellerotazioni SO(3). Abbiamo precedentemente ottenuto, in modo esplicito,la rappresentazione dei generatori di SO(3) quando lo spazio vettoriale elo spazio euclideo tridimensionale. Vediamo cosa succede se consideriamouno spazio vettoriale piu astratto, p.e. lo spazio delle funzioni scalariintegrabili su R
3
Per semplicita consideriamo una funzione, ψ(~r), scalare (cioe rimaneinvariata se ruotiamo il sistema di riferimento), e rotazioni attornoall’asse z: ~r′ = Rz~r, con ~r ≡ {x, y, z} e ~r′ ≡ {x′, y′, z}. La rotazionepuo essere interpretato in due modi. Il sistema di riferimento rimane fisso ecambiamo la posizione del vettore ~r (trasformazione attiva), oppure ilvettore rimane fisso e trasformiamo il sistema di riferimento(trasformazione passiva). Ora consideriamo un vettore |ψ〉 cheappartiene ad un certo spazio di Hilbert. La sua rappresentazione nellospazio delle coordinate sara un certo prodotto scalare: ψ(~r) ≡ 〈~r|ψ〉, cioela nostra funzione scalare. Se ruotiamo il sistema di riferimento, p.e. unarotazione attorno all’asse z,Rz , allora
|ψ′〉 = U [Rz] |ψ〉
dove U e l’operatore che produce la rotazione nello spazio dei vettori |ψ〉.
〈~r′|ψ′〉 = 〈~r′|U [Rz ] |ψ〉
Come sara fatto (o meglio, che rappresentazione avra) l’operatore U? Larisposta sara fornita da U nella rappresentazione delle coordinate:
〈~r′|U|~r′1〉.
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Per ottenere 〈~r′|U|~r′1〉 ricordiamo che per ipotesi abbiamo una quantitascalare, cioe
〈~r′|ψ′〉 = ψ′(~r′) = ψ(~r) = 〈~r|ψ〉.Analizziamo questa relazione per una rotazione infinitesima attorno
e ci permette di descrivere una trasformazione attiva da |ψ〉 a |ψ′〉 (vettoridi uno spazio funzionale), avendo fissato il sistema di riferimento.
〈~r′|ψ′〉 = 〈~r′|U|ψ〉
21
Nello spazio infinito-dimensionale della rappresentazione delle coordinate,T3 ha la forma familiare, L3 (con ~L = −ı ~r × ~∇) della derivata rispettoall’angolo di rotazione attorno all’asse z (angolo polare). Se invececonsideriamo gli autostati di questo operatore, possiamo costruire unospazio vettoriale finito dimensionale su cui opera T3. Di nuovo possiamochiederci che rappresentazione ha T3 (e quindiRz) in questo caso. Inquesto caso si otterra una rappresentazione matriciale. Gli autostati sono
exp(ı m φ)√2π
conm ∈ [−mmax,mmax]
dove mmax = 0, 1, 2, 3, ....... Nello spazio vettoriale degli autostati diT3, per un certo valore di mmax (che individua un sottospazio individua,come anche l’autovalore dell’operatore di Casimir T2), il generatore T3
avra la seguente rappresentazione finito dimensionale
T3 =
0
BBBBBBB@
mmax 0 0 ...
0 mmax − 1 0 ...
... ... ... ...
... 0 −mmax + 1 0
... 0 0 −mmax
1
CCCCCCCA
Per mmax = 1, si ottiene una rappresentazione equivalente a quellaottenuta nel caso di uno spazio euclideo tridimensionale.
22
• Un gruppo G puo avere molte (infinite) rappresentazioni.
• Se esiste una corrispondenza biunivoca tra matrici ed elementi g delgruppo G, si parla di rappresentazione fedele.
• Le dimensioni di una rappresentazione sono le dimensioni dellospazio vettoriale su cui si sta applicando il gruppo G. Unarappresentazione puo avere dimensioni finite o infinite.
• La moltiplicazione tra matrici (legge di composizione) e associativa,quindi e automaticamente soddisfatta anche questa proprietagruppale.
• Deve essere possibile costruire l’inversa della matrice cherappresenta l’elemento g del gruppo G, per poter soddisfare laproprieta gruppale di esistenza dell’inverso.
• La rappresentazione fondamentale di un gruppo e la rappresentazionefedele (cioe che rappresenta fedelmente le proprieta del gruppo) conle dimensioni piu piccole. Per i gruppi abeliani la rappresentazionefondamentale e 1× 1 (i numeri commutano tra di loro e quindi siottiene una rappresentazione fedele di un gruppo abeliano), mentreper i gruppi non abeliani ( p.e. i gruppi SU(n) con n ≥ 2) ladimensionalita della rappresentazione fondamentale deve esseremaggiore di 1 (bisogna avere delle matrici per soddisfare le regole dicommutazione ed avere quindi una rappresentazione fedele).
• Le costanti di struttura forniscono un’altra importanterappresentazione dei generatori di un gruppo di Lie: larappresentazione aggiunta.
Cjkl = (T j)kl
La dimensionalita della rappresentazione aggiunta e uguale alnumero dei generatori. Per SU(2) e 3, e per SU(3) e 8.
23
• Una rappresentazione si chiama unitaria se le matrici dellarappresentazione sono unitarie (UU † = I). Le rappresentazioniunitarie di un gruppo, se esistono, sono particolarmente importantipoiche conservano il prodotto scalare tra i vettori di uno spaziovettoriale complesso (p.e. lo spazio di Hilbert).
• Ogni rappresentazione di un gruppo compatto di Lie (o di un gruppofinito) e equivalente ad una rappresentazione unitaria.
• Se D(g) e una rappresentazione dell’elemento g ∈ G, allora D∗(g)
e la rappresentazione complessa coniugata del gruppo. P.e. seabbiamo una certa rappresentazione di g corrispondente ad unarappresentazione dei generatori Ti
D(g) = exp
"
ıX
i
αiTi
#
la rappresentazione complessa coniugata sara
D∗(g) = exp
"
−ıX
i
αiT∗i
#
Quindi i generatori (−T∗i ) sono i generatori della rappresentazione
complessa coniugata. Ultima osservazione, importante per SU(3):se le due rappresentazione dei generatori Ti e −T∗
i non sonoequivalenti,( cioe STiS
−1 6= −T∗i ) allora abbiamo vettori di base
(autovalori) diversi per la rappresentazione e la sua coniugata. PerSU(2) coincidono!
• Date due rappresentazioni D(g) e D′(g) del gruppo G, il prodottodiretto delle due rappresentazioni e la rappresentazione di g cheagisce sullo spazio vettoriale ottenuto dal prodotto tensoriale tra ivettori base delle rappresentazioni D(g) e D′(g), rispettivamente.
ˆD(g)⊗D′(g)
˜(vi ⊗ v′k) = [D(g)vi]⊗
ˆD′(g)v′k
˜.
24
Rappresentazioni Riducibili ed Irriducibili
Una rappresentazione matriciale si chiama rappresentazione riducibile,se si puo trasformare la matrice (attraverso trasformazioni di similitudine)in una matrice a blocchi. P.e., se
D =
0
BB@
A 0 0
0 B 0
0 0 C
1
CCA
dove A,B,C sono rappresentazioni di dimensionalita in generale diversa(a× a, b× b, c× c) e con 0 si intende matrici con tutti zero. Allora D eriducibile, poiche e costruita a partire da ben individuate rappresentazionipiu piccole. Piu esplicitamente, se A e una matrice 2× 2, B e una matrice3× 3 e C e una matrice 2× 2 si ha
D =
0
BBBBBBBBBBBBB@
a11 a12 0 0 0 0 0
a21 a22 0 0 0 0 0
0 0 b11 b12 b13 0 0
0 0 b21 b22 b23 0 0
0 0 b31 b32 b33 0 0
0 0 0 0 0 c11 c12
0 0 0 0 0 c21 c22
1
CCCCCCCCCCCCCA
La matrice A opera su vettori bidimensionali, B opera su vettoritridimensionali e C opera su vettori bidimensionali. Quindi lo spaziovettoriale su cui opera D si decomporre in sottospazi invarianti, grazie allaforma a blocchi. Potra esistere una trasformazione SA che diagonalizza A,ma ovviamente non diagonalizza B e C, lo stesso per SB e SC .
Un generico vettore dello spazio su cui opera D si potra scrivere nel modoseguente: ~d ≡ {~a,~b,~c}, dove ~a ∈ al sottospazio su cui opera A, ~b ∈ alsottospazio su cui opera B e ~c ∈ al sottospazio su cui opera C.
25
Sotto l’azione di D, grazie alla forma a blocchi, i tre sottospazi (quellorelativo ad A, a B e a C) non si mischiano tra di loro, ma ~d′ = D~d saradato da ~d′ ≡ {~a′, ~b′, ~c′}, dove ~a′ ∈ al sottospazio su cui opera A, ecc.
Le rappresentazioni che non possono essere scritte in una forma ablocchi (cioe che non hanno matrici di dimensionalita≥ 2 lungo ladiagonale), si chiamano irriducibili.
Se l’Hamiltoniana di un sistema gode di una certa simmetria, i suoi
autostati si potranno raggruppare per formare multipletti (degeneri). Il
multipletto corrisponde a una ben precisa rappresentazioni irr. del gruppo
che descrive la simmetria dell’Hamiltoniana. Esempio: i multipletti di una
Hamiltoniana che gode della simmetria per rotazioni nello spazio
euclideo. Gli autostati di H, che saranno anche autostati di T2, T3 si
raggrupperanno in multipletti, basi delle rapp. irr. del momento angolare.
La rappresentazione riducibile si puo quindi descrivere completamenteattraverso le rappresentazioni irriducibili che ne formano i blocchi. Inparticolare si dice che e la somma diretta di tali rappresentazioniirriducibili.
D = A⊕ B ⊕ C
Per i gruppi di Lie semisemplici , gli operatori di Casimir permettono dicatalogare le rappresentazioni irriducibili del gruppo stesso (Vedi ilTeorema di Racah).
Per i gruppi di Lie compatti ogni rappresentazione unitaria e
(completamente) riducibile, e ogni rappresentazione irriducibile e finito
dimensionale.
26
Commenti:
Se un certo sistema gode di una certa proprieta di simmetria (segnalatasperimentalmente dall’esistenza di multipletti), vedremo che i seguentipassaggi logici ci permetteranno una analisi astratta di enorme potenzapredittiva.
• Trovare il gruppo di trasformazioni associato alla simmetria in esame
• Trovare tutte le rappresentazioni irriducibili (o meglio darne lacatalogazione)
• Le autofunzioni corrispondenti alle varie rappresentazioneirriducibili sono le uniche autofunzioni permesse per il sistema chegode della simmetria in esame.
Questa catena logica, a volte seguita anche per simmetrie che simanifestano solo in modo approssimato, permette eventualmente dipredire l’esistenza di multipletti ancora non osservati, e/o membri di uncerto multipletto non ancora visti, individuando i numeri quantici che liidentificano.
Da ricordare: per un gruppo di Lie potremmo indifferentemente discuteredelle rappresentazioni degli elementi del gruppo o delle rappresentazionidei generatori, grazie all’esponenziazione che lega i due insiemi
27
Esempio: SU(2)
Il generico elemento di SU(2) e unitario con det = +1, quindi i tre
generatori sono hermitiani e a traccia nulla, e si indicano, come e bennoto, con {Sx, Sy , Sz}. L’algebra ha dimensione 3 (≡ n2 − 1), e rango 1(≡ n− 1), cioe i generatori commutano solo con se stessi, poicheverificano le seguenti regole di commutazione (si somma sugli indiciripetuti)
Al massimo avremo un solo generatore che ha una rappresentazionematriciale diagonale.
F La rappresentazione fondamentale, che si indica con D1/2 o con 2
(mettendo in evidenza la sua dimensionalita) e la 2× 2. Per questadimensionalita e nota la relazione tra i generatori e le matrici di Pauli:~S = ~σ/2. Lo spazio vettoriale su cui si agisce e dato dai due vettori base:| 12,± 1
2〉.
σx =
0
@0 1
1 0
1
A σy =
0
@0 −ıı 0
1
A σz =
0
@1 0
0 −1
1
A
28
Da notare la seguente relazione di anticommutazione
{σi, σj} = 2δi,j
Infine, combinando le regole di commutazione ed anticommutazione sipuo scrivere l’utile relazione valida per i 6= j: σi σj = ı σk
FFUn solo operatore di Casimir (rango = 1, v. Teorema di Racah), datoda
S2 = S2x + S2
y + S2z , con autovalori S(S + 1).
Il valore di S permette di catalogare le rappresentazioni irriducibili.
La forma generica di un elemento del gruppo di SU(2) e
U(~θ) = exph
ı~θ · ~Si
FFFPartendo dalla rappresentazione dei generatori→ larappresentazione irr. degli elementi del gruppo. Esempio: la rapp. 2× 2
per la rotazione,Rz , di uno stato attorno all’asse z
U [Rz(β)] = exp [ıβσz] =X
n
„ıβσz
n!
«n
=
=X
n
»ıβ
(2n)!
–2n
σ2nz + σz
X
n
»ıβ
(2n+ 1)!
–2n+1
σ2nz =
= IX
n
(−1)n»
β
(2n)!
–2n
+ ı σz
X
n
(−1)n»
β
(2n + 1)!
–2n+1
=
= I cosβ + ı σz sinβ
con I la matrice identita 2× 2.
29
Per ottenere la rappresentazione coniugatah
D1
2
i∗si devono costruire i
generatori −σ∗i . Ma questi generatori sono equivalenti ai generatori
iniziali, poiche esiste una trasformazione di similitudine che li mette inrelazione. Infatti
Quindi non si hanno rappresentazioni differenti. Per SU(3) la situazionecambia (!) e D(g) 6= D∗(g).
La rappresentazione aggiunta (D1 indicata anche con 3) dei generatori edata dalle matrici 3× 3
(Tj)kl = −ıεjkl ← costanti di struttura dell′algebra
(confrontare con la rappresentazione dei generatori di SO(3)).
Per costruire rappresentazione irr. di piu alta dimensionalita, analizziamo ilprodotto diretto
2⊗ 2
Si genera uno spazio vettoriale su cui agiranno matrici 4× 4. Lospazio si ottiene dal prodotto diretto dei vettori base, cioe| 12,± 1
2〉1 ⊗ | 12 ,±
1
2〉2. Avremo le seguenti 4 combinazioni:
0
BBBBB@
ψ11 = | 12, 1
2〉| 1
2, 1
2〉
ψ12 = | 12, 1
2〉| 1
2,− 1
2〉
ψ21 = | 12,− 1
2〉| 1
2, 1
2〉
ψ22 = | 12,− 1
2〉| 1
2,− 1
2〉
1
CCCCCA
ovvero un tensore a due indici, ψij = χi χj (i, j = 1, 2)
30
Su questo spazio operano gli elementi del gruppo prodotto diretto
exph
−ıβ · ~S1
i
⊗ exph
−ıβ · ~S2
i
= exph
−ıβ · ~Si
con ~S dato da (grazie alla forma esponenziale e a [~S1, ~S2] = 0),
~S = ~S1 + ~S2
Possiamo catalogare i vettori base utilizzando i) gli autovalori della terzacomponente di ~S (dati dalla somma degli autovalori della terzacomponente di ~S1 e ~S2) e ii) l’autovalore dell’operatore di Casimir (S2).Le componenti del tensore: ψ11 e ψ22, corrispondono direttamente aS3 = ±1 e S = 1 rispettivamente, e sono simmetriche rispetto alloscambio degli indici.
Le componenti del tensore: ψ12 e ψ21 hanno entrambe S3 = 0 mentrenon hanno S definito! Allora, possiamo costruire due opportunecombinazioni lineari, che corrispondono rispettivamente allacombinazione simmetrica, S = 1 e (m1 +m2) = 0, cioe |1, 0〉 eantisimmetrica, S = 0 e m1 +m2 = 0, cioe |0, 0〉.8>><
>>:
| 12, 1
2〉| 1
2,− 1
2〉
| 12,− 1
2〉| 1
2, 1
2〉⇒
8>><
>>:
1√2
ˆ| 12, 1
2〉| 1
2,− 1
2〉+ | 1
2,− 1
2〉| 1
2, 1
2〉˜
1√2
ˆ| 12, 1
2〉| 1
2,− 1
2〉 − | 1
2,− 1
2〉| 1
2, 1
2〉˜
Dal prodotto diretto dei vettori base delle rappresentazioni 2× 2, si ha
2⊗ 2 = 1⊕ 3
Quindi la rappresentazione riducibile 4× 4 si decompone in due rapp. irr.di dimensione 1× 1 e 3× 3, con i ben noti vettori base (singoletto etripletto). E fondamentale notare che per ottenere questa decomposizioneabbiamo sfruttato le proprieta di permutazione degli indici del tensore ψij .Il metodo generale da utilizzare per ottenere i vettori base esplicitamente,si basa sul gruppo delle permutazioni Sn.
31
x = = +Metodo grafico per ottenere gli autovalori che individuano lerappresentazioni irriducibili del prodotto tensoriale 2⊗ 2 = 3 + 1: ilbaricentro del secondo segmento (che rappresenta la seconda rapp. 2), vasovrapposto sugli estremi del primo segmento (cioe la prima rapp. 2)
F Quindi, se siamo interessati soltanto agli autovalori che individuano ivettori base (i multipletti) delle rappresentazioni irriducibili di una datarappresentazione riducibile, si puo generalizzare il Metodo graficoprecedente, che risulta essere nient’altro che la traduzione grafica
dell’azione degli operatori di innalzamento e di abbassamento :
S± = Sx ± ıSy,
Questi operatori fanno passare da un vettore, p.e. |S,S3〉, ad un altro,|S,S3 ± 1〉, che appartiene allo stesso multipletto, identificato dall’autovalore dell’operatore di Casimir S2. Come esempio
2⊗ 1 = 2
2⊗ 3 = 2⊕ 4
FF Se invece siamo interessati alla forma esplicita degli stati dellerappresentazioni irriducibili di dimensionalita n > 2, dobbiamo estenderel’analisi fatta per il caso del prodotto 2⊗ 2, dove abbiamo utilizzato le 2rapp. irr. del gruppo S2, simmetrica e antisimmetrica, cioe gli autostatidell’operatore permutazione. Dobbiamo considerare gli indici del tensorebase della rappresentazione riducibile ψi1i2...in (con i` = 1, 2) e le rapp.irr. del gruppo delle permutazioni di n oggetti,Sn. Questo si puo fare inmodo sistematico utilizzando un ulteriore Metodo grafico detto Metodo deiTableaux di Young.
32
Aggiungendo le proprieta di ortonormalizzazione degli stati di un datomultipletto possiamo arrivare alla costruzione delle familiari tavole deicoefficienti di Clebsch-Gordan che permettono di costruire gli stati diogni multipletto presente nella decomposizione del prodotto tensoriale inesame
DS1 ⊗DS2 = ⊕S1+S2
S=|S1−S2|DS
P.e., gli stati |S,MS〉, del multipletto individuato dall’autovalore Sdell’operatore di Casimir, sono dati da
DS → |S,MS〉 =X
m1,m2
〈S1m1S2m2|SMS〉 |S1,m1〉|S2,m2〉
dove il simbolo 〈S1m1S2m2|SMS〉 indica i coefficienti diClebsch-Gordan.
Questa scrittura ci suggerisce l’immediata generalizzazione al caso di piuparticelle con spin. Le rappresentazioni che appaiono in un prodottotensoriale possono considerarsi come appartenenti ciascuna allo spazioinvariante (con vettori base i vettori del corrispondente multipletto) di unasingola particella.
Sistema di due fermioni
Lo spin totale si otterra dal prodotto diretto di due rappresentazioni irr.2, esattamente come prima. Ma se analizziamo come si trasforma ilvettore base della rappresentazione irr. 1 sotto l’azione dello scambio diposto dei due fermioni, si trova che lo stato base e antisimmetrico, mentrei tre vettori base della rappresentazione irr. 3 sono simmetrici. Quindipossiamo riscrivere la decomposizione del prodotto diretto 2⊗ 2
mettendo in evidenza le proprieta di permutazione dei vettori base.
2⊗ 2 = 1A ⊕ 3S
33
Sistema di tre fermioni
Per ricavare le rappresentazione irr. di piu bassa dimensionalita, si dovradecomporre il prodotto diretto 2⊗ 2⊗ 2 ricorrendo alle rapp. irr. di S3
con in piu il vincolo i, j, k = 1, 2 (caveat). Grazie alla proprietaassociativa possiamo sfruttare la decomposizione del caso di due fermioni.Quindi si avranno due casi
2⊗ [2⊗ 2] =
8<
:
2⊗ 1A
2⊗ 3S
Il primo caso produce una rappresentazione 2, ma con proprieta discambio di tre particelle diverso dal caso simmetrico o antisimmetrico: glistati base sono misti-antisimmetrici. Sono antisimmetrici nello scambiodi due sole particelle (p.e. {1, 2, 3} → {1, 3, 2}), mentre se scambio tuttee tre le particelle (p.e. {1, 2, 3} → {2, 3, 1}) non si ha una simmetriadefinita. Simbolicamente
2⊗ 1A = 2MA
Per il secondo caso si hanno due rappresentazioni irr. 2 e 4. La prima havettori base misti-simmetrici mentre la seconda ha vettori basecompletamente simmetrici nello scambio di tutte e tre le particelle.Simbolicamente
2⊗ 3S = 2MS ⊕ 4S
E importante notare che nell’ambito di SU(2) non e possibile costruirestati di tre particelle completamente antisimmetrici (poiche in ψijk si hai, j, k = 1, 2, principio di Pauli), mentre nell’ambito di SU(3) questo epossibile.
34
Esempio: SU(3)
Lo studio di SU(3) e una generalizzazione di quanto abbiamo visto perSU(2). Si passa da un’algebra di rango 1 ad un’algebra di rango 2, equindi avremo due generatori diagonalizzabili simultaneamente e dueoperatori di Casimir. Inoltre avremo maggiore liberta nel costruire imultipletti, poiche la rappresentazione coniugata non coincide con quellafondamentale. Questa proprieta gioca un ruolo essenzialenell’applicazione alla fisica adronica di SU(3) (particelle/antiparticelle).
Per poter avere delle rappresentazione unitarie con det = +1, come alsolito i generatori devono essere Hermitiani e a traccia nulla. L’algebra hadimensione 8 = 32 − 1 e rango 2 = 3− 1. Nella letteratura, gli 8generatori di SU(3) sono indicati con Fi con i = 1, 8 (F-spin). Le regoledi commutazione sono date da (si somma sugli indici ripetuti)
[Fi, Fj ] = ı fijk Fk
Le costanti di struttura fijk , come nel caso del tensore di Levi-Civita perSU(2) sono totalmente antisimmetriche, cioe fijk = −fjik = −fikj . Ivalori espliciti per le componenti indipendenti e non nulle, sono 9
Per SU(3) abbiamo 56 identita di Jacobi, poiche abbiamo 8 generatori ene dobbiamo scegliere 3 diversi alla volta (per SU(2), abbiamo 3generatori ed una sola identita di Jacobi). In generale si ha
La rappresentazione fondamentale e la 3× 3 e si indica con 3. In questarapp. i generatori Fi sono dati in termini delle matrici di Gell-Mann, λi:Fi = λi/2.
λ1 =
0
BB@
0 1 0
1 0 0
0 0 0
1
CCA
λ2 =
0
BB@
0 −ı 0
ı 0 0
0 0 0
1
CCA
λ3 =
0
BB@
1 0 0
0 −1 0
0 0 0
1
CCA
λ4 =
0
BB@
0 0 1
0 0 0
1 0 0
1
CCA
λ5 =
0
BB@
0 0 −ı0 0 0
ı 0 0
1
CCA
λ6 =
0
BB@
0 0 0
0 0 1
0 1 0
1
CCA
λ7 =
0
BB@
0 0 0
0 0 −ı0 ı 0
1
CCA
λ8 =1√3
0
BB@
1 0 0
0 1 0
0 0 −2
1
CCA
36
Trλi = 0
Normalizzazione : Trλi λk = 2δi,k
Le regole di anticommutazione sono date da
{λi, λj} =4
3δi,jI + 2 dijk λk
Il tensore dijk e totalmente simmetrico con componenti indipendenti
i j k dijk
118 1/√
3
146 1/2157 1/2228 1/
√3
247 -1/2256 1/2338 1/
√3
344 1/2
i j k dijk
355 1/2366 -1/2377 -1/2448 -1/2
√3
558 -1/2√
3
668 -1/2√
3
778 -1/2√
3
888 -1/√
3
• Da un rapido controllo della tabellina delle costanti di struttura, fijk ,si ottiene che
[F3, F8] = 0
Quindi F3 e F8 sono due candidati per la diagonalizzazione, comeverificato direttamente nella forma esplicita 3× 3.
• Per i = 1, 2, 3
λi =
0
@σi 0
0 0
1
A
che formano un sottogruppo di SU(3) con l’algebra di SU(2),(altri due sottogruppi con l’algebra di SU(2): {λ4, λ5} e {λ6, λ7},con l’opportuno terzo elemento combinazione di {λ3, λ8})
37
FIl generico elemento del gruppo si scrive
U(φ1, φ2, ..., φ8) = exp
"
ıX
i
φiFi
#
FFNelle applicazioni di fisica adronica, dove si utilizza SU(3) di Sapore(Flavour), per catalogare le masse dei barioni e dei mesoni (raccogliendolein multipletti...approssimati...), i generatori diagonali sono interpretaticome terza componente dell’isospin e come ipercarica
T3 = F3 Y =2√3F8
(Nella 3, utilizzando le matrici di Gell-Mann, T3 = λ3/2 e Y = λ8/√
3)
FFF Il rango di SU(3) e due e avremo due operatori di Casimir, p.e.
C1 = F2 =X
i=1,8
F 2i =
= T 23 + 2T3 +
3
4Y 2 + T−T+ + V−V+ + U+U−
dove T± = F1± ıF2 (∆t3 = ±1 e ∆y = 0), V± = F4± ıF5
(∆t3 = ±1/2 e ∆y = ±1) e U± = F6± ıF7 (∆t3 = ∓1/2 e∆y = ±1)
C2 =X
i,j,k
dijk FiFjFk
O combinazioni di C1 e C2. Esempio: il valore di aspettazione di C1 perlo stato piu alto (|ψ〉hi) di un multipletto (cioe quello che e annichilato daitre operatori T+, V+ e U−) e dato in termini dei generatori diagonali
〈F 2〉hi = 〈ψ|T 23 |ψ〉hi + 2〈ψ|T3|ψ〉hi +
3
4〈ψ|Y 2|ψ〉hi
Gli autovalori di C1 e C2 identificano un dato multipletto
38
La rapp. fondamentale, la 3, ha tre vettori base, identificati da una coppiadi autovalori {t3, y} degli operatori diagonali {T3, Y }0
BB@
1
0
0
1
CCA→ (
1
2,1
3);
0
BB@
0
1
0
1
CCA→ (−1
2,1
3);
0
BB@
0
0
1
1
CCA→ (0,−2
3)
.
Lo stato che e annichilato da T+, V+ e U− e (1/2, 1/3), con valor medio〈F 2〉hi = 4/3. Anche per gli altri due stati del multipletto il valor mediodi 〈F 2〉 e 4/3 (F 2 e un Casimr..), ma entrano T+, V+ e U−.
Differentemente da SU(2) dove un solo autovalore distingue gli stati diun dato multipletto (basta una retta per ordinare gli autovalori delmultipletto) per SU(3) abbiamo bisogno di un piano. In particolare seriportiamo sulle ascisse gli autovalori di T3 e sulle ordinate quelli di Y ,per la rappresentazione 3 si ottiene un triangolo isoscele.
-1 -1/2 1/2 1T3
-1/3
1/3
2/3
Y
Rappresentazione grafica (bidimensionale) delle coppie di numeri quantici(ipercarica, terza componente dell’isospin) che individuano i vettori basedella rapp. fondamentale di SU(3), la 3
39
Le rappresentazioni coniugate sono quelle dei generatori(−F ∗
i ) = (−FTi ) e i vettori base sono individuati dagli autovalori degli
operatori −T3 e−Y (T3 e Y sono hermitiani e diagonali, quindi reali). Iltripletto di vettori base della rappresentazione coniugata a quellafondamentale si indica con 3, ed ha i seguenti autovalori (notare anchel’effetto della trasposizione dei generatori)0
BB@
1
0
0
1
CCA→ (0,
2
3);
0
BB@
0
1
0
1
CCA→ (
1
2,−1
3);
0
BB@
0
0
1
1
CCA→ (−1
2,−1
3)
La sua rappresentazione in un piano cartesiano e un triangolo isoscele conorientazione opposta a quella relativa al triangolo di 3. Quindi la 3 edistinta dalla 3. Nel caso di SU(2), 2 e 2 coincidono.
-1 -1/2 1/2 1T3
-2/3
-1/3
1/3
Y
Rappresentazione grafica (bidimensionale) per il tripletto 3 (antitripletto),coniugato al fondamentale 3.
F La rappresentazione aggiunta e la rappresentazione 8, cioe quella datada [Fi]jk = fijk
40
I multipletti di dimensionalita superiore si ottengono decomponendo iltensore base del prodotto diretto, che in generale sara il prodotto diretto dip rapp. 3 e q rapp. 3. (v. anche il caso esplicito 2⊗ 2 di SU(2))
F Per ottenere gli autovalori {t3,y} che individuano i vettori base di undato multipletto si ricorre alla generalizzazione al piano del metodo graficointrodotto per SU(2). Il metodo era basato sull’azione della coppia dioperatori di innalzamento ed abbassamento S±. Per SU(3), abbiamo 3insiemi di operatori, T±, V± e U±.
FF Metodo grafico per ottenere gli autovalori che individuano lerappresentazioni irriducibili del prodotto tensoriale 3⊗ 3 = 1 + 8: ilbaricentro del triangolo che rappresenta la rapp. 3, va sovrapposto sui 3vertici del triangolo, che rappresenta la rapp. 3.
-1 -1/2 1/2 1T3
-1
-1/3
2/3
1 Y
=
-1 -1/2 1/2 1T3
-1
-1/3
2/3
1 Y
+-1 -1/2 1/2 1
T3
-1
-1/3
2/3
1 Y
N.B. in 8 c’e un doppietto di SU(2) sulle diagonali, un tripletto e unsingoletto sulle ascisse (SU(3) ⊃ SU(2)⊗U(1)).
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FF Per l’espressione esplicita dei vettori base delle rapp. irr. didimensionalita n > 3 si ricorrera anche questa volta alle proprieta dipermutazione degli indici del tensore base della rappresentazioneriducibile: ψi1i2i3...ip
j1j2j3...jq, composto da p autostati di 3 (indici in alto) e q
autostati di 3 (indici in basso). Utilizzeremo sempre il metodo grafico deiTableaux di Young, basato sulle proprieta di Sn. Infine, considerando leproprieta di ortonormalita si ottengono i Clebsch-Gordan per SU(3).
Alcuni esempi. Se ho il prodotto di due rappresentazioni dovro ricorrerealle rapp. irr. del gruppo S2
F 3⊗ 3 = 6S + 3A
La dimensionalita delle rapp. e legata al fatto che questa voltai1i2i3...in = 1, 2, 3. Tenendo conto del fatto 3→ 3A, poiche leproprieta di trasformazioni degli stati dell’antitripletto, sotto l’azione deigeneratori del gruppo, sono le stesse di uno stato antisimmetrico per loscambio di due indici (ψi(3) = εijkψ
jψk)
F 3⊗ 3A = 1A + 8MA
avendo usato le rapp. irr. di S3, come indica la presenza dello stato asimmetria mista. Notare che lo stato base del singoletto, 1A, eantisimmetrico rispetto ai tre indici degli stati che provengono uno daltripletto e due dall’antitripletto (ψ(1) = εijkψ
iψjψk), mentre per gliotto stati 8MA solo due indici hanno la proprieta di essere antisimmetrici.
F 3⊗ 6S = 8MS + 10S
Inoltre
3⊗ 3⊗ 3 = [3A + 6S ]⊗ 3 = 1A + 8MA + 8MS + 10S
Infine con quattro indici (piu il vincolo i1i2...in = 1, 2, 3):
3A ⊗ 3A = 3 + 6A
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Il problema matematico e stato schematizzato, ora inizia il problema fisico:nell’insieme degli adroni osservati, possiamo individuare una struttura dimultipletti come quella data da SU(3), che ci segnalerebbe una simmetriadell’Hamiltoniana forte?
Se l’Hamiltoniana forte avesse la simmetria per SU(3), i multiplettiavrebbero massa e autovalori dei due operatori di Casimir, di T3 e di Ydefiniti. Questo insieme di valori corrispondono a qualche adroneosservato sperimentalmente? Si ha una esatta degenerazione delmultipletto o soltanto approssimata? Come ispirazione, ricordiamol’analogia con il doppietto di isospin, suggerito dalle masse quasi ugualidel protone e del neutrone. Ovviamente, per completare l’insieme deinumeri quantici, bisogna tener conto anche del momento angolare totale(SU(3)⊗ SU(2)→ SU(6)) e della parita.
L’analisi qui accennata, ha portato negli anni ’60 a catalogare gli adroniper mezzo dei multipletti di SU(3). Questa simmetria approssimata(mu ∼ md 6= ms) degli adroni, che si manifesta in masse quasi ugualiper gli adroni assegnati ad uno stesso multipletto, viene indicata comeSU(3) di Sapore. Dal punto di vista fenomenologico SU(3) di Sapore haavuto un notevole successo nella fisica adronica, con l’identificazione dimultipletti di dimensionalita 8 e 10; inoltre la ricerca di stati mesonici ebarionici appartenenti a ulteriori multipletti e molto attiva.
Il passo successivo e stata la scoperta del gruppo di simmetria esatto(mr = mb = mg per ogni sapore) delle interazioni forti che si indica conSU(3) di Colore.
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Il Gruppo di Poincare
Il gruppo di Poincare riveste un ruolo fondamentale nella classificazionedegli stati di singola particella (cioe senza considerare le possibilisimmetrie interne a parte lo spin) in Meccanica Quantistica Relativistica.
Infatti, alcune delle rappresentazioni irriducibili unitarie (necessariamenteinfinito dimensionali, poiche il gruppo e non compatto) sono utilizzate perrappresentare quello che si e osservato in natura, finora: i) particellemassive con spin intero o semintero, ii) particelle con massa nulla edelicita = ± h.
Per definire il gruppo di Poincare, P , o gruppo di Lorentz inomogeneo,dobbiamo introdurre i) il gruppo delle traslazioni nello spazioquadridimensionale di Minkowski (gruppo non compatto), e ii) il gruppodi Lorentz omogeneo, O(3,1) (gruppo non compatto). Questo gruppo euna generalizzazione del gruppo ortogonale O(n) che trasforma i vettoridi uno spazio euclideo a n dimensioni, lasciando invariato il prodottoscalare, cioe
con i) y′ = Ay, x′ = Ax e ii) A ∈ O(n) una matrice n× n.Ricordiamo che la matrice A puo avere det = +1, ed allora si parlera dirotazioni proprie e si avra il gruppo SO(n) (connesso alla identita),oppure avere det = −1, e in questo caso si avra il sottogruppo checontiene le inversioni.
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Il prodotto scalare tra due quadri-vettori dello spazio di Minkowski, xµ eyµ, e definito per mezzo del tensore metrico gµν
(gµµ ≡ {1,−1,−1,−1}), come segue
x · y = gµνxµyν = x0y0 − x1y1 − x2y2 − x3y3
L’insieme delle matrici Λ, di dimensioni 4× 4, che lasciano invariato ilprecedente prodotto scalare, cioe
x · y = x′ · y′
con x′µ = Λµν x
ν , y′µ = Λµν y
ν , e detto gruppo di Lorentz omogeneo.
Si indica con O(3,1), dove i due indici ci ricordano il numero di segni diun tipo o dell’altro, presenti nel tensore metrico (le proprieta gruppali sidimostrano a partire dalla legge di composizione del gruppo: il prodottomatriciale righe × colonne).
L’invarianza del prodotto scalare porta alla seguente proprieta delle matriciΛ, ovvia generalizzazione di quanto succede per O(3) (OT O = I),
Λµρ gµν Λν
λ = gρλ.
Simbolicamente ΛT g Λ = g.
Anche per il gruppo di Lorentz possiamo distinguere due casi: i) ilsottogruppo delle rotazioni proprie, con det = +1 che si indica conSO(3,1) e ii) il sottogruppo delle inversioni spazio-temporali condet = −1.
Una ulteriore decomposizione di ciascun sottogruppo e legata al valore diΛ0
0: i) Λ00 ≥ 1 oppure ii) Λ0
0 ≤ −1.
Combinando i due valori del det = ± 1 e i due intervalli per Λ00 si
ottengono quattro sottogruppi, che possono essere messi in collegamentoper mezzo dell’inversione spaziale, l’inversione temporale, o dal prodottodelle due.
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Soltanto il sottogruppo con det = +1 e Λ00 ≥ 1 (⊂ SO(3, 1)) e
connesso con continuita alla identita. Sara sufficiente studiare questosottogruppo, che si indica come gruppo delle trasformazioni proprieortocrone di Lorentz, o a volte, piu brevemente gruppo di Lorentz proprio(gruppo di Lie non compatto). La non compattezza del gruppo proprio diLorentz, che ha 6 parametri, e dovuto al fatto che tre parametri possonovariare nell’intevallo [−∞,+∞].
Nello spazio di Minkowski, posso
• trasformare soltanto le componenti spaziali di xµ, lasciando invariatala componente temporale x0 . Allora avremo le familiari rotazioniproprie tridimensionali, che formano un gruppo compatto a treparametri, con i ben noti generatori, Lj , che verificano le regole dicommutazione di SU(2). (Si usa la notazione controvarianteL1 − Lx, ecc.)
• coinvolgere nelle trasformazioni anche la componente x0, ed averetrasformazioni di riferimento inerziale (boosts). Questetrasformazioni dipendono dalla velocita di un sistema di riferimentorispetto all’altro (~β = ~v/c), e quindi dipendono da tre parametri. Sescriviamo i boosts nella forma esponenziale dei gruppi di Lie(sviluppabili al primo ordine dei parametri), otteniamo una forma chericorda quella delle rotazioni, ma con le funzioni iperbolichecosh(αi) e sinh(αi) al posto di cos e sin (formalmente t→ i t).Questo permette di ottenere i tre parametri, αi che intervengononell’esponenziale in funzione delle componenti di ~β. Si ha
tgh αi = βi.
Poiche βi ∈ [−1,+1], allora αi ∈ [−∞,+∞]. In letteratura igeneratori dei boosts, si indicano con Ki.
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Gli elementi del gruppo si possono scrivere nel modo seguente
Λ(~φ, ~α) = exph
−i~φ · ~L− i~α · ~Ki
F I sei generatori del gruppo proprio di Lorentz, ottenuti dallo sviluppoinfinitesimale delle Λ, soddisfano le seguenti regole di commutazione(ottenute dalle proprieta di composizione delle Λ)
ˆKi,Kj
˜= −iεijnLn
ˆLi,Kj
˜= iεijnKn
ˆLi, Lj
˜= iεijnLn
Il segno negativo e legato alla metrica dello spazio di Minkowski.
Al posto di ~L e ~K si puo introdurre un generatore tensorialeantisimmetrico Mµν (6 componenti indipendenti), dato da
M0i = Ki = −M i0 M ij = εijkLk
Anche per i parametri si ha un tensore antisimmetrico dei parametri, ωµν .Quindi ~φ · ~L+ ~α · ~K = ω ·M/2 = ωµν Mµν/2 (forma covariante !)
Il gruppo di Poincare, P , o gruppo inomogeneo di Lorentz, e il prodottosemi-diretto del gruppo di Lorentz omogeneo O(3, 1) e il gruppo abelianodelle traslazioni T(a) (aµ fornisce il valore della traslazionespazio-temporale da applicare), cioe
P ≡ O(3, 1) ⊗ T(a).
Il gruppo e non compatto !! Inoltre contiene un sottogruppo abeliano(T(a)), quindi non e semisemplice.
F Il gruppo proprio di Poincare e costituito da infiniti elementi dati dalprodotto t(a) Λ(~φ, ~α), con t(a) ∈ T(a) e Λ(~φ, ~α) ∈gruppo proprio diLorentz. Gli elementi di T(a) sono
t(a) = exp [−ia · P ]
dove con Pµ indichiamo i generatori del gruppo.
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Un elemento del gruppo proprio di Poincare trasforma il vettore xµ in
x′µ = aµ + Λµν(~φ, ~α)xν
Se consideriamo variazioni infinitesime, possiamo ottenere larappresentazione di Pµ (Pµ = i∂/∂xµ, poiche ogni generatore agiscesulla corrispondente variabile continua xµ, e si ha Pµ xν = igµν ) e diMµν (matrici 4× 4 per ogni generatore Mµν ; non confondere gli indiciche individuano il generatore e gli indici matriciali, che nel caso 4× 4
hanno lo stesso intervallo di variabilita).
x′µ =
»
I− ia · P + i1
2ω ·M
–µ
ν
xν =
∼ [I− ia · P ]µρ [I + iω ·M ]ρν xν
Ricapitolando, i generatori del gruppo proprio di Poincare sono 10: Mµν
e Pµ, e verificano la seguente algebra
[Pµ, P ν ] = 0h
Mµν , Pλi
= ı (gνλPµ − gµλP ν)h
Mµν ,Mλσi
= ı (gµσMνλ + gνλMµσ − gµλMνσ − gνσMµλ)
I due operatori di Casimir, che permettono di identificare lerappresentazioni irriducibili del gruppo proprio di Poincare sono
C1 = P · P = [P 0]2 − ~P · ~P C2 = W ·W = [W 0]2 − ~W · ~W
dove Wµ e il quadri-vettore di Pauli-Lubanski definito da
Wµ = −1
2εµνσρPνMσρ.
Da notare che P ·W = 0 data l’antisimmetria del tensore εµνσρ
(ε0123 = +1). Questo vincolo comporta che solo tre componenti di W µ
sono indipendenti. In particolare si ottiene W 0 = ~P · ~J eW i = P 0Ji − ~P × ~K con ~J = ~L+ ~S, Mνσ →Mνσ + Sνσ .
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Rappresentazioni irriducibili del gruppo proprio di Poincare
La non compattezza del gruppo proprio di Poincare (conseguenza dellanon compattezza sia del gruppo proprio di Lorentz sia del gruppo delletraslazioni) conduce al rilevantissimo fatto che le rappresentazioniirriducibili finito-dimensionali non sono unitarie (a parte il caso triviale didimensioni 1).
Per le applicazioni fisiche, invece ci interessano le rappresentazioniirriducibili unitarie (se xµ P→ x′µ cosa succede a ψ(x)
?→ ψ′(x′) , v.SO(3)) . Infatti, se ci chiediamo cosa succede alla funzione d’onda delsistema (che appartiene ad uno spazio di Hilbert infinito dimensionale),quando le coordinate del sistema cambiano sotto l’azione di un elementodel gruppo proprio di Poincare, possiamo trovare una risposta seguendo ilfamoso teorema di Wigner che permette di immergere la MeccanicaQuantistica in un ambito relativistico. Wigner dimostro che
Un teoria quantistica formulata su uno spazio di Hilbertmantiene invariate le probabilita in ogni sistema di riferimentoinerziale, se e solo se la corrispondenza tra stati in differentisistemi inerziali si realizza attraverso trasformazioni unitariedel gruppo di Poincare.
In particolare la rappresentazione infinito dimensionale di Mµν , a cuiabbiamo aggiunto un possibile termine che si applica a variabili nonspazio-temporali (p.e. lo spin per particelle massive o il vettore dipolarizzazione nel caso del fotone) e
Mµν = xµ P ν − xν Pµ + Sµν
con Pµ = i ∂∂xµ
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• Per particelle massive (p2 > 0 e p0 > 0), nel sistema di quiete(p0 = m e ~p = ~0)
W 0|m,~0; jjz〉 = ~P · ~J |m,~0; jjz〉 = 0
W 3|m,~0; jjz〉 = m J3|m,~0; jjz〉 = m jz |m,~0; jjz〉
Gli autovalori di −W ·W/m2 sono dati da j (j + 1), cioe gliautovalori dello spin totale.
• Per particelle con massa nulla (p0 = ±|~p|), per le quali non esiste unsistema di quiete, Wµ e proporzionale a Pµ (Wµ = h Pµ), quindi
W 0|pµh〉 = h p0|pµh〉 = ~J · ~P |pµh〉
La rapp. unitaria di interesse fisico e due volte degenere (±h conh = 0, 1/2, 1, ...). La variabile h si chiama elicita. N.B. non si parladi spin per particelle con p2 = 0. Le particelle con p2 = 0
normalmente considerate hanno p0 = +|~p| > 0
In generale, le rappresentazioni infinito dimensionali irriducibili delgruppo di Poincare si possono identificare attraverso gli autovalori dei dueoperatori di Casimir del gruppo, P 2 e W 2. Indicando con m la massa, slo spin e h l’elicita abbiamo per stati di singola particella
P 2 > 0 |m, ~p, j, jz〉 j = 0, 1
2, 1, ... visto con p0 > 0
P 2 = 0 |~p, h〉 h = ±(0, 1
2, 1, ...) visto con p0 > 0
P 2 = 0 Rap∞− dim. s continuo non visto,
P 2 < 0 Rap∞− dim. tachioni non visto
Commenti; i) per convenzione consideriamo particelle con energiapositiva (p0 > 0); ii) gli stati con h = ±s appartengono allo stessomultipletto se includiamo anche l’inversione spaziale; iii) a partedobbiamo considerare il caso che corrisponde al vuoto: p0 = |~p| = 0; iv)se consideriamo processi virtuali (non particella singola libera) il casoP 2 < 0 gioca un ruolo importante.
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Negli anni ’60, il successo ottenuto con SU(3) di Sapore nellaclassificazione di mesoni e barioni, stimolo il tentativo di combinare lesimmetrie interne (SU(3)⊗ SU(2)→ SU(6)) con il gruppo diPoincare. In particolare le simmetrie considerate fino a quel momentotenevano nettamente distinti i multipletti con spin semintero (fermioni) daimultipletti con spin intero (bosoni). Il tentativo di unificazione si scontrocon un famoso teorema, la cui versione piu completa e dovuta a Coleman eMandula, che dimostrava come necessaria conseguenza di una non trivialecomposizione del gruppo di Poincare e del gruppo di simmetrie interne(spin, sapore ...) la trivialita della matrice di scattering (cioematrice S =identita).
Una strada per sfuggire al teorema di Coleman e Mandula, e quindicostruire una teoria che godesse delle simmetrie sia spazio-temporali cheinterne ed avesse una matrice di scattering non triviale, fu trovata facendoconvivere sia regole di commutazione che di anticommutazione, ecostruendo delle superalgebre (algebre di Lie graduate). Questa possibilitaha condotto alla nascita delle teorie supersimmetriche, anche sel’evoluzione storica non seguı vie cosı dirette.
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Alcuni Riferimenti Bibliografici
1) Ta-Pei Cheng and Ling-Fong Li. Gauge Theory of elementaryparticles. Oxford University Press (1984). In particolare il capitolo IV, peruna introduzione generale.
2) W. Greiner, B. Muller. Quantum Mechanics, Symmetries , SecondEdition, Springer Verlag Berlin Heidelberg (1994).
3) H. J. Lipkin. Lie Groups for Pedestrians. Dover Publications (2002).
4) Fl. Stancu. Group Theory in Subnuclear Physics, Oxford UniversityPress, (1997).
5) Wu-Ki Tung, Group Theory in Physiscs, World Scientific, Singapore(2003).
6) J.J. De Swart, Rev. Mod. Phys. 35, 916 (1963), Per ulteriori dettagli suSU(3).
7) S. Weinberg, The Quantum Theory of Fields, Vol. 1, cap. II,Cambridge University Press (1995), per una ampia illustrazione del gruppodi Poincare in Meccanica Quantistica Relativistica.
