Errori casuali

Si dicono casuali tutti quegli errori che possono avvenire, con la stessa probabilità, sia in difetto che in eccesso. Data questa caratteristica, definiamo errori casuali tutte quelle incertezze sperimentali che possono essere rilevate mediante la ripetizione delle misure.Questi tipi di errore si possono manifestare per svariati motivi: ad esempio a causa della variazione del tempo di reazione da un soggetto ad un altro (e anche per lo stesso soggetto in situazioni diverse), per errori di lettura di indici dovuti ad un non perfetto allineamento tra l'osservatore e la scala graduata o anche per semplici fluttuazioni del sistema in esame attribuibili per esempio a degli sbalzi termici. La loro natura di casualità è proprio legata al fatto che essi hanno un'origine aleatoria e molto spesso temporanea: questo, al ripetersi delle misure, determina sull'evento in esame delle fluttuazioni in modo tale che le misurazioni che si ottengono oscillano attorno ad un valore pressochè costante.Ovviamente nel caso in cui sia possibile ripetere le misure l'individuazione di tali errori è abbastanza semplice: inoltre all'aumentare del numero delle misure, le fluttuazioni introdotte tendono a "bilanciarsi" in quanto avvengono sia in difetto che in eccesso con la stessa probabilità.

Errori casuali

Vogliamo ora indagare sulla distribuzione dei risultati di misure ripetute della medesima grandezza, nell’ipotesi che esse siano affette da errori esclusivamente casuali.

La densità di probabilità

La legge dei grandi numeri è fondamentale nella teoria delle variabili casuali. Quella che segue è una sua formulazione in termini semplici ed intuitivi.

Essa afferma che, se E è un evento e p la sua probabilità di successo, cioè la probabilità del verificarsi di E in una prova, allora la frequenza relativa dei successi in n prove indipendenti converge alla probabilità di E, ovvero a p, quando n tende ad infinito (se il numero di prove effettuate è sufficientemente grande, la frequenza relativa dei successi nelle n prove si avvicinerà sempre più alla probabilità di successo nella singola prova, via via che n cresce).

Questo teorema, formulato da Jakob Bernoulli (1654-1705), fornisce una possibile giustificazione della legge empirica del caso, secondo la quale la frequenza relativa di un evento tende a stabilizzarsi all'aumentare del numero delle prove.

La legge dei grandi numeri

La distribuzione di Gauss

La distribuzione di Gauss

(1)

La funzione di Gauss per tre diversi valori di h

h1

h2

h3

h1>h2>h3

La distribuzione di Gauss

2

1

h

(2)(2)

La distribuzione di Gauss è anche nota come legge degli errori, in quanto essa descrive in particolare la distribuzione degli errori casuali relativi a successive misure di una quantità fisica.

La distribuzione di Gauss

La distribuzione di Gauss

2.

Distribuzione normale standardizzata

(3)

Distribuzione normale standardizzata

Scarto quadratico medio o deviazione standard

Scarto quadratico medio

Stima più corretta di

Popolazione e campione. Inferenza statistica.

Spesso ci si trova di fronte al problema di arrivare a conclusioni valide per un ampio gruppo di individui o di oggetti; in questi casi, invece di esaminare l’intero gruppo, detto la popolazione, esame che può comportare notevoli difficoltà o in qualche caso essere perfino impossibile, si può fare ricorso all’esame di una piccola parte della popolazione: questa piccola parte viene definita un campione. Il procedimento mediante il quale dall’analisi dei risultati osservati sul campione si perviene a conclusioni relative all’intera popolazione è conosciuto come inferenza statistica.

Esempi:

1) Vogliamo trarre conclusioni circa la statura media (o il peso) di 12000 studenti adulti (popolazione) esaminando solo 100 studenti (il campione) estratti dalla popolazione.

2) Desideriamo trarre conclusioni circa la percentuale di bulloni difettosi costruiti da una certa fabbrica durante i 6 giorni lavorativi di una settimana, esaminando ogni giorno 20 bulloni prodotti in diverse ore della giornata. In questo caso la popolazione sono i bulloni prodotti nella settimana lavorativa, mentre il campione sono i 120 bulloni scelti.

Popolazione e campione. Inferenza statistica.

Popolazione e campione. Inferenza statistica.

Osservazioni:

1) Il termine popolazione non ha necessariamente il significato che esso possiede nel linguaggio comune; infatti spesso il termine popolazione è usato per denotare osservazioni o misurazioni piuttosto che individui od oggetti.

2) La popolazione può essere finita o infinita; il numero che la definisce sarà detto grandezza della popolazione. Analogamente il numero dei componenti il campione sarà detto grandezza del campione e denotato ad esempio con N.

Mediamente la varianza di un campione di N misure è inferiore alla varianza della intera popolazione per un fattore (N-1)/N.

Questo è il motivo per cui, per avere una stima mediamente corretta di , si usa la quantità:

2

12

11

N

xx

N

N

N

ii

x

Per calcolare lo scarto quadratico medio può essere utile sfruttare la seguente proprietà:

La distribuzione di Gauss

Si può dimostrare che :

Deviazione standard della media

0.1150.115