CAPITOLO 5. CORRENTI IN PRESSIONE IN MOTO PERMANENTE 125 Esercizio 5. 5 L’adduttrice A (Figura ??) convoglia una portata q di acqua al torrino B. Quest’ultimo è un serbatoio di trascurabile capacità, la cui sezione è comunque tale da ren- dere piccola la altezza cinetica del liquido in esso contenuto. Il torrino, assieme al serbatoio di estremità G, di capacità illimitata, alimenta la condotta CF, che effettua erogazione in D ed E. Nota la portata erogata in tali due nodi (q 1 ,q 2 ), si chiede di determinare, giustifi- cando il procedimento adottato: 1) il diametro teorico da attribuire al tronco DE; 2) si indichi il procedimento da seguire per individuare i diametri commerciali da adottare in tale tratto e le relative lunghezze di posa; 3) si tracci la linea piezometrica. Dati numerici Z B 5m q 20 l/ s D 3 0.15 m Z G 8m q 1 25 l/ s L 3 450 m ε 0.0001 m q 2 20 l/ s L 2 450 m D 1 0.15 m L 1 450 m D 2 ? Tipologia: Corrente in pressione con erogazione localizzata di portata. Svolgimento Poiché il problema è di moto permanente, l’equazione di continuità per una corrente assicura che la portata uscente è pari a quella entrante. Poiché la sezione del torrino è
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CAPITOLO 5. CORRENTI IN PRESSIONE IN MOTO PERMANENTE 125
Esercizio 5. 5 L’adduttrice A (Figura ??) convoglia una portata q di acqua al torrino B.Quest’ultimo è un serbatoio di trascurabile capacità, la cui sezione è comunque tale da ren-dere piccola la altezza cinetica del liquido in esso contenuto. Il torrino, assieme al serbatoiodi estremità G, di capacità illimitata, alimenta la condotta CF, che effettua erogazione inD ed E. Nota la portata erogata in tali due nodi (q1,q2), si chiede di determinare, giustifi-cando il procedimento adottato:1) il diametro teorico da attribuire al tronco DE;2) si indichi il procedimento da seguire per individuare i diametri commerciali da adottarein tale tratto e le relative lunghezze di posa;3) si tracci la linea piezometrica.
Dati numerici
ZB 5m q 20 l/ s D3 0.15mZG 8m q1 25 l/ s L3 450mε 0.0001m q2 20 l/ s L2 450mD1 0.15m L1 450m D2 ?
Tipologia: Corrente in pressione con erogazione localizzata di portata.
Svolgimento
Poiché il problema è di moto permanente, l’equazione di continuità per una correnteassicura che la portata uscente è pari a quella entrante. Poiché la sezione del torrino è
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tale da rendere trascurabili le velocità medie nel serbatoio (e quindi, a maggior ragione, lealtezze cinetiche), il carico totale coincide con quello piezometrico.
L’analisi delle portate circolanti nella condotta CF mostra che il serbatoio G alimentacon 20 l/ s il nodo E e con 5 l/ s il nodo D.
Noti i livelli dei serbatoi B e G, si calcola dunque il carico in D ed in E. L’integrazionedella equazione (E4), laddove si trascurino le perdite concentrate connesse alle singolaritàdel condotto, permette di scrivere:
Si tratta ora di risolvere un problema di progetto per il tronco 2, laddove è noto ildislivello ∆HDE = 0.9m, la portata q= 5 l/ s e si deve determinare il diametro teorico. Sitratta di risolvere l’equazione nell’incognita D.
Conviene risolvere il problema per tentativi successivi, trasformando il problema postoin un problema di verifica per un tratto nel quale sia ipotizzato il diametro, e nel qualesi vuole verificare che il moto induca una perdita di carico pari a quella disponibile sopracalcolata. Poiché l’effettivo dimensionamento del tronco DE si baserà sui diametri com-merciali effettivamente disponibili, il procedimento iterativo si può fermare abbastanzarapidamente, non appena si verifichi che gli aggiustamenti successivi portano a valori deldiametro comunque compresi all’interno di una data classe commerciale.
Per quanto riguarda il valore di primo tentativo del diametro, un criterio di sceltapuò essere quello di basarsi su di una ipotesi sul valore della velocità media, generalmentecompresa, nella pratica progettuale, tra 1 e 2 m/ s. Ponendo U = 1.5m/ s, si ottiene cosìD1 = 0.065m.
D (m) U(m/ s) Re λ U2/2g (m) j jL (m)
0.065 1.51 97942 0.0241 0.1158 0.0429 19.29
Il diametro si dimostra inadeguato. In particolare, le perdite di carico mostrano chiara-mente che si deve procedere con diametri più grandi. Ipotizzando un diametro doppio, siha:
D (m) U(m/ s) Re λ U2/2g (m) j jL (m)
0.15 0.28 42441 0.0238 0.0041 0.0006 0.291
A questo punto, si procede con un criterio di bisezione:
CAPITOLO 5. CORRENTI IN PRESSIONE IN MOTO PERMANENTE 127
La soluzione del problema matematico si colloca dunque tra 0.12 e 0.13 m. Supponiamoche per la tipologia di materiale scelto i diametri interni disponibili siano di 118 e di
Il condotto 2 andrà dunque realizzato giustapponendo due tronchi, con diametro D2a =0.118 e D2b = 0.132. Si dovrà determinare la lunghezza da assegnare a ciascun tronco,sulla base dei due vincoli sulla dissipazione complessiva e sulla lunghezza del tratto DE,che costituiscono un sistema lineare nelle due incognite L2a e L2b.
{L2a + L2b = L2j2aL2a + j2bL2b = ∆HDE
con soluzione L2a = 395m e L2b = 55m. La sequenza di posa dei due diametri ap-pare in questo caso indifferente, ma può essere in generale condizionata da considerazionisull’andamento della piezometrica. La condotta oggetto dell’esercizio ricorda, nella suastruttura, l’adduttrice di un acquedotto, che fa capo, da una parte, ad un serbatoio dialimentazione di grande capacità e dall’altra ad un serbatoio di più piccola estensione cheassolve il compito di mantenere elevata la piezometrica intermedia.
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Esercizio 5. 6 È dato l’impianto a circuito chiuso in Figura 5.8, posto in un piano oriz-zontale, nel quale circola acqua a 20 ◦C. Nota la curva caratteristica della pompa, nellaforma ∆H = aQ2 + b, oltre al coefficiente di perdita k nelle curve dell’impianto, si chiededi determininare la portata circolante, la prevalenza fornita della pompa e il dislivello dipressione tra il punto A e il punto C. Infine, si chiede di verificare come cambino i valoricalcolati qualora la scabrezza omogenea equivalente della condotta aumenti di 10 volte.
Dati numerici
LAB 3m D 0.04m η 0.75LBC 3m k 0.2 ε 0.00001mLCD 3m b 4mLDE 3m a −40000 s2m−5
Tipologia: correnti in pressione in un circuito chiuso, in presenza di una pompa.
Figura 5.8:
Svolgimento
La portata Q incognita circolante nell’anello si ottiene quale intersezione della curvacartteristica della pompa e della curva caratteristica dell’impianto, intesa come relazionetra le perdite energetiche in funzione della portata circolante. In altri termini è possibilescrivere
equazione che afferma che l’energia dissipata dalla corrente nel condotto deve venir fornitadalla pompa. Poiché le caratteristiche geometriche sono costanti in tutti i tronchi, si ha
λQ2
2gDA2
∑
i
Li + 4kQ2
2gA2= aQ2 + b (5.15)
dove il coefficiente λ è fornito da una opportuna legge di resistenza. Useremo in questoesercizio la approssimante proposta da Jain Swamee, che fornisce valori differenti dallasoluzione numerica della eq.ne di Colebrook White al massimo per pochi punti percentuali.In linea di principio l’equazione esplicita di Jain, sostituita nella equazione precedente,fornisce una equazione non lineare nella incognita Q che può riscriversi nella forma
CAPITOLO 5. CORRENTI IN PRESSIONE IN MOTO PERMANENTE 129
A (Q)Q2 +C = 0 (5.16)
ove la dipendenza del coefficiente A dalla portata Q è solo tramite la citata legge di re-sistenza. Si nota che, se fosse lecita l’ipotesi di moto assolutamente turbolento, la soluzionesarebbe immediata, essendo allora λ noto sulla base della sola scabrezza relativa, a pre-scindere da Q. In generale tuttavia il procedimento di ricerca della soluzione è di tipoiterativo, vista la impossibilità di cercare analiticamente lo zero dell’equazione risolvente.
Si può partire da un valore di tentativo di λ (ad esempio, il valore di moto assoluta-mente turbolento, ovvero un valore centrale nel diagramma di Moody), calcolando Q dallaequazione 5.15. Si procede quindi a calcolare il valore conseguente del numero di Reynoldse, dalla approssimante proposta da Jain, il nuovo valore corretto di λ.Il procedimento it-erativo ha termine quando si può ingegneristicamente ritenere trascurabile la variazionedelle quantità calcolate tra un passo e il successivo. A tale scopo, è opportuno concentrarel’attenzione sulla variazione di Q, che è la quantità meglio apprezzabile, fermando la iter-azione quando la variazione è di pochi punti percentuali, potendosi allora ritenere l’errorecommesso comparabile alle incertezze intrinseche del problema. Inizializzando l’iterazioneda una condizione di moto assolutamente turbolento in corrispondenza della scabrezzarelativa ε/D = 0.00025, il processo iterativo è mostrato nella tabella seguente.
Come si vede, l’errore percentuale sulla variazione di portata, E, è già sotto l’1% al-la terza iterazione. In tabella si riportano anche i valori del numero di Reynolds, dellaaltezza cinetica e della cadente. In corrispondenza a tale portata le perdite concentratenelle curve ammontano a 0.421m e le perdite distribuite a 2.927m. Complessivamente,la pompa fornisce quindi una prevalenza di 3.348m, con una potenza prelevata dalla retedi 176.4 W. Come si nota, il peso delle perdite concentrate nelle curve è significativo(circa il 15%), essendo il caso trattato caratterizzato da un basso rapporto L/D = 300.Qualora si supponesse di trascurare le perdite concentrate (si ripetano i calcoli ponendok = 0), la portata aumenterebbe del 5.8%, mentre le perdite distribuite aumenterebberodel 10.38%, quale conseguenza della dipendenza quadratica da Q. La potenza prelevatadalla rete sarebbe allora di 182.56W.
Calcoliamo ora la differenza della pressione tra la sezione di mandata A e la sezione Cdell’impianto. Scrivendo l’equazione di bilancio della energia per la corrente, si ha
HA−λQ2
2gDA2(LAB +LBC)− 2k
Q2
2gA2=HC
ovvero, essendo uguali le altezze cinetiche e le quote geodetiche nelle due sezioni, risulta
pA−pC = γ
[λQ2
2gDA2(LAB + LBC) + 2k
Q2
2gA2
]
pari a 16387Pa. Si noti che è impossibile con i dati del problema determinare il valoredella pressione in un punto dell’impianto, ma solo le differenza tra due punti. Sarebbe
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Figura 5.9:
infatti necessario conoscere la lettura di pressione in un punto, ad esempio mediante unmanometro posto in A.
Infine, ipotizziamo come recitato nel testo, che la scabrezza aumenti di 10 volte (ε/D =0.0025), quale conseguenza di un deterioramento dell’impianto. Dal punto di vista grafico,poichè l’aumento di scabrezza agisce sul coefficiente A(Q) ed induce quindi un irripidimentodella curva caratteristica della condotta a parità di curva caratteristica della pompa, ci siattende che il nuovo punto di funzionamento pass1 da 1 a 2 (si veda Figura 5.9). I calcoliiterativi ripetuti con il nuovo valore sono riportati nella tabella seguente.
Si calcolano di conseguenza anche le perdite concentrate nelle curve (0.321m), perditedistribuite (3.181m), la prevalenza della pompa (3.502m) e la potenza prelevata in rete(161.21 W), oltre alla caduta di pressione tra il punto A in mandata e la progressiva C(pa − pc: 17143Pa).
Si nota quindi che conseguenza dell’aumento di scabrezza è un’avvicinamento alla con-dizione di moto assolutamente turbolento, con una significativa riduzione di portata, unaumento dei dislivelli di pressione tra i diversi punti dell’impianto e una riduzione dellapotenza impressa dalla pompa al liquido. Qualcosa di analogo accade nell’apparato circola-torio umano in seguito a patologie come l’arteriosclerosi, che causano l’occlusione parzialedelle arterie colpite e pertanto una diminuzione del rifornimento di sangue degli organi,con contestuale manifestarsi di ipertensione.
Esercizio 5. 7 Quale evoluzione dell’esercizio precedente, si immagini che nei punti Be D venga effettuata rispettivamente l’erogazione e l’immissione della portata q pari a0.001m3/ s (si veda Figura 5.10). Si chiede, in corrispondenza ai dati iniziali del problemaprecedente, di determininare le portate circolanti e di tracciare le linee dei carichi.
Svolgimento
In linea di principio si danno ora 2 possibilità relative al verso di circolazione delleportate. Posto che nel tratto DEAB la portata fluisce nel verso imposto dalla pompa,nel tratto DCB la portata potrebbe fluire da destra a sinistra o, viceversa, da sinistra a
CAPITOLO 5. CORRENTI IN PRESSIONE IN MOTO PERMANENTE 131
Figura 5.10:
destra. Supponiamo inizialmente che la portata fluisca da sinistra a destra. In questo casola continuità applicata al nodo D porterebbe a scrivere
q = QDEAB +QDCB
relazione che limita superiormente le due portate QDEAB e QDCB , che non possonoquindi essere singolarmente superiori a q. Ci si può facilmente allora rendere conto che talesituazione è impossibile. Infatti, se per assurdo fosse QDEAB = q, la pompa fornirebbe unaprevalenza aq2+b = 3.96m che non può venire dissipata nel tratto DEAB (si vedano i valoridi perdita complessiva precedentemente ottenuti in quel tratto per portate ben superiori).Quindi, ci si troverebbe in B con un carico superiore di quello in D e, conseguentemente,vi sarebbe un reflusso da D verso B che è in contraddizione con l’assunto di partenza. Ilragionamento fatto vale a maggior ragione per le portate QDEAB < q, poichè in tal casoaumenta la prevalenza offerta dalla pompa e diminuiscono le perdite nel tratto DEAB.
In definitiva la portata QDCB deve fluire in verso antiorario. Se chiamiamo Q la por-tata circolante attraverso la pompa nel ramo DE-AB, sulla base dell’equazione di bilanciodella massa per il nodo D sarà Q − q la portata circolante nel ramo BCD da B verso D.Conseguentemente, l’equazione di bilancio della energia integrata sulla maglia si scrive
aQ2+b =λQ
2gDA2(LAB+LDE)Q
2+λQ−q2gDA2
(LBC+LCD) (Q− q)2+2kQ2
2gA2+2k
(Q− q)22gA2
ovvero più sinteticamente nella forma:
A(Q)Q2 +B(Q)Q+C(Q) = 0 (5.17)
con i coefficienti dati da
A(Q) = a− λQ2gDA2
(LAB + LDE)− 4k1
2gA2− λQ−q2gDA2
(LBC + LCD)
B(Q) = 2qλQ−q2gDA2
(LBC +LCD) + 4kq
2gA2
C(Q) = b− q2 λQ−q2gDA2
(LBC + LCD)− 2kq2
2gA2
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Il procedimento risolutivo è del tutto identico a quello precedentemente descritto. Par-tendo ora da due valori di λ di moto assolutamente turbolento, si procede a calcolare ilvalore corrispondente dei tre coefficienti A, B e C. Fissato il valore dei coefficienti A, B eC, l’equazione risolvente 5.17 ammette due radici per Q, di cui una è però sempre negativae quindi fisicamente incompatibile con il verso di circolazione imposto dalla pompa. Con ilvalore di portata così determinato il procedimento viene reiterato fino a convergenza, comemostrato nella tabella seguente.
La portata Q incognita è dunque pari a 0.00442 m3/ s, mentre la prevalenza si ottienedalla curva caratteristica, ∆H = 3.217 m. La potenza prelevata dalla rete è di 139.3W.
La linea dei carichi totali e piezometrici si tracciano aprendo il circuito rispetto ad unpunto (nel caso, D; si veda Figura 5.11, dove si mostra la differenza rispetto al carico inD, il cui valore assoluto non è dato dal problema). Quale osservazione finale si nota che ilragionamento fatto in merito al verso di circolazione delle portate dipende evidentementedal particolare valore assunto da q. Risolvendo l’equazione seguente è possibile determinareil valore Q̄ = QDEAB per cui la prevalenza fornita dalla pompa eguaglia esattamente leperdite nel solo tratto DEAB, in modo che HD = HB:
aQ̄2 + b =λQ̄
2gDA2(LAB + LDE)Q̄
2 + 2kQ̄2
2gA2
Tale valore risulta pari a Q̄ = 0.00536m3/ s. Se q > Q̄ si avrà HB < HD con conseguenteflusso da sinistra verso destra nel tratto DCB.
CAPITOLO 5. CORRENTI IN PRESSIONE IN MOTO PERMANENTE 133
Figura 5.11:
Esercizio 5. 8 Quale ulteriore variante dell’esercizio principale, si immagini che in cor-rispondenza del punto C venga inserito un fascio tubiero costituito da n tubicini di diametrod e di lunghezza l (si veda Figura 5.12). In assenza di ogni variazione di portata e incorrispondenza del valore iniziale di scabrezza, si chiede a parità dei dati geometrici nonspecificati nella tabella seguente di determinare la portata circolante.
Dati numerici
l 3m d 0.002mLBC1 1.5m n 1000LC2D 1.5m
Svolgimento
Al fine di impostare correttamente la equazione di bilancio dell’energia si deve con-siderare che la portata mantenuta in circolo dalla pompa passa ora attraverso il fasciotubiero, in modo tale che ciascun tubino è ora attraversato da una portata q = Q/n.Complessivamente, quindi detta a l’area della sezione retta di ciascun tubino, la perdita incorrispondenza del fascio si può computare come
∆H =λqq2
2gda2l + 0.5
Q2
2gA2+
Q2
2gA2
dove si è considerato che all’imbocco del fascio vada sostanzialmente persa tutta l’altezzacinetica della corrente Q e che allo sbocco del fascio si abbia una perdita assimilabile aquella di imbocco a spigolo vivo da serbatoio infinitamente grande. Per quanto riguarda leperdite distribuite, parrà opportuno ipotizzare nel fascio moto laminare, in considerazionedell’esiguo diametro dei tubini. In definitiva, la nuova portata Q circolante si ottiene dallasoluzione della equazione
λQ2
2gDA2(LAB +LBC1 +LC2D +LDE) +
64aν
d
(Q/n)
2gda2l+ 4k
Q2
2gA2+ 1.5
Q2
2gA2= aQ2 + b
(5.18)
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che viene risolta con procedimento iterativo del tutto analogo a quello precedentementeintrodotto, pervenendo alla soluzione riportata nella tabella seguente
D ε/D Q U Re λ alt.cin. J0.04 0.00025 0.0027 2.147 85040 0.01975 0.2351 0.1160.002 0.005 2.6983E − 06 0.859 1701 0.03763 0.0376 0.7077
Figura 5.12:
Si nota che l’ipotesi di moto laminare all’interno del fascio tubiero risulta soddisfatta.Si osserva che la perdita di carico all’interno di detto fascio si ottiene moltiplicando lacadente associata alla corrente fluente in un tubino per la lunghezza di un solo tubino enon per la lunghezza complessiva del fascio, nl. Infatti, l’equazione di bilancio della energiaper la corrente è scritta con riferimento all’unità di peso di fluido, la quale, nel suo percorsocircolatorio, attraversa il fascio fluendo in uno solo degli n tubini di cui esso è composto.
Esercizio 5. 9 I due serbatoi in figura 5.13 contengono acqua a 20 ◦C, sono di grandeestensione e hanno livello del pelo libero costante ed uguale. I serbatoi sono collegati dauna condotto sulla quale è presente la pompa di caratteristica ∆H = aQ2 + b. Sullacondotta individuata dal numero 4 è presente una valvola che induce una perdita di kaltezze cinetiche, con k assegnato.Supponendo il moto assolutamente turbolento, si chiede di determinare le portate Q fluentinell’impianto in condizioni di moto permanente e di tracciare la linea dei carichi totali epiezometrici.
Dati numerici
yA 0m L3 200m a −928.75 sm−5yC 0m L4 300m b 18mL1 50m D1,2,3 0.2m k 77L2 250m D4 0.125m ε 0.0004m
Tipologia: problema di verifica in una rete di condotte
Svolgimento
CAPITOLO 5. CORRENTI IN PRESSIONE IN MOTO PERMANENTE 135
Figura 5.13:
L’aspetto geometrico caratteristico di questo problema è la presenza della condottaindividuata dal numero 4. A priori, infatti, potrebbero crearsi perplessità sul possibileverso di flusso della portata in quella condotta, mentre è evidente che la presenza dellapompa obbliga la portata nel condotto 1 a fluire verso B. Si deve allora ragionare sul valoreche può assumere in tale nodo il carico della corrente. Considerando la conservazione dellamassa nel nodo è chiaro che il carico in esso può assumere valori solo superiori a quellidei serbatoi A e C. Se così non fosse, infatti, la portata fluirebbe in B da tutte e tre lecondotte che in tale punto convergono. Riconosciuto tale aspetto, è allora evidente che laportata in 3 fluisce verso C e in 4 refluisce verso A. Si tratta ora di calcolare tali portate.A tale scopo è utile osservare che il problema è concettualmente assimilabile al problemadi tre condotte facenti capo a tre serbatoi di eguale livello e convergenti nel nodo B. Lasua risoluzione può dunque condursi con metodologia del tutto simile a quella là delineata.
Noto il verso di flusso delle portate, è allora possibile scrivere il seguente sistema diequazioni risolventi:
HA − 0.5Q212gA2
1
− (L1 + L2)λ1Q212gD1A21
+ aQ21+ b = HB
HB −kQ242gA2
4
−L4λ4Q242gD4A24
= H = 0+Q242gA2
4
HB − L3λ3Q232gD3A
23
= HC = 0 +Q232gA2
3
Q1 = Q3 +Q4
(5.19)
nel quale, essendo noti i coefficienti di resistenza per ipotesi di moto assolutamente tur-bolento, le incognite sono le tre portate e il carico nel nodo B. Il carattere non linearedi questo sistema suggerisce una via risolutiva di tipo iterativo, condotta variando il val-ore del carico in B e determinando, per ciascun valore così fissato la portata circolantedi tentativo. La verifica della soluzione così determinata viene effettuata controllando ilsoddisfacimento della equazione di continuità al nodo B, espressa dalla ultima delle 5.19.La risoluzione del sistema 5.19 presenta richiede di restringere il campo di variazione diHB , che deve evidentemente essere 0 < HB < b = 18m per i ragionamenti pri ma fatti
136 Marco Pilotti e Andrea Maranzoni - Esercizi di Idraulica
e poichè HB deve essere minore del carico fornito allo spunto dalla pompa. Considerati idati geometrici riportati nella tabella seguente
Partendo da un valore di carico intermedio, HB = 9 m, si procede iterativamente conun metodo di bisezione come da tabella seguente. In corrispondenza dell’ultima riga, siottiengono poi i risultati riportati nelle tabelle successive :
CAPITOLO 5. CORRENTI IN PRESSIONE IN MOTO PERMANENTE 137
tratto
1− 2 ∆Himbocco = 0.1255
3 ∆Hsbocco = 0.1860
4 ∆Hvalvola = 2.464
Per quanto il numero di Reynolds d’attrito non sia maggiore di 70, è possibile verificaresull’abaco di Moody che la ipotesi di moto assolutamente turbolento rappresenta una ottimaapprossimazione dell’effettiva situazione di moto. La tipologia presentata è frequente negliimpianti di pompaggio poichè essa consente, mediante regolazione della valvola in k, dicontrollare il valore della portata che viene avviata a valle. Quando la valvola è totalmentechiusa la portata pompata è integralmente avviata a valle mentre quando la valvola ètotalmente aperta la portata pompata si redistribuisce nelle due condotte 4 e 3 in ragionedella diversa conduttività delle due condotte. Nel caso in esame, a titolo di esempio, laportata che si può così avviare al serbatoio di valle varia tra 0.0773 m3/ s e 0.0658 m3/ s.Naturalmente, ciò avviene a prezzo della perdita della potenza γQ∆HBA, dissipata dallacorrente parassita che fluisce in 4.
Esercizio 5. 10 I due serbatoi dell’impianto in Figura 5.14 hanno superficie libera allastessa quota e sono collegati dalla condotta di figura. La portata di acqua a 20 ◦C è man-tenuta in circolo dalla pompa di noto rendimento, attraverso la quale fluisce da C versoD la portata nota Qp. In ipotesi di lunga condotta e di moto assolutamente turbolento, sichiede di determinare la potenza della pompa e di tracciare qualitativamente la linea piezo-metrica.
Dati numerici =
L1 = L2 300m D 0.15m η 0.75L3 = L4 150m k 0.2 ε 0.0004mL5 300m Qp 0.035m3/ s
Figura 5.14:
Svolgimento
Al fine di determinare la potenza della pompa è necessario calcolare la prevalenza ∆Hpdella stessa, il che richiede il calcolo di tutte le portate circolanti nell’impianto. A talescopo è in primo luogo necessario individuare il possibile verso di circolazione delle portate
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nell’impianto, che procede dal valore del carico totale nei nodi C e D. Si osserva allorache il carico non può in tali nodi essere contemporaneamente più alto o più basso delcarico H̄ = hA = hB poichè ciò implicherebbe un accumulo o una generazione di massanella maglia 2-3-4. Qualora poi fosse contemporaneamente uguale ad H̄ non si avrebbecircolazione di portata nell’impianto. Deve dunque essere (HD < H̄; HC > H̄) oppure(HD > H̄; HC < H̄). E’ facile rendersi conto che non può essere vera la prima ipotesi,poichè altrimenti nel nodo C si avrebbe generazione di massa. Deve dunque valere laseconda. Conseguentemente, il verso delle portate è quello evidenziato in Figura 5.15, dovesi riporta fin da ora un andamento qualitativo della linea dei carichi. E’ facile poi rendersiconto che Q1 = Q5 (come può apprezzarsi prendendo un volume di controllo che abbraccil’intera maglia chiusa 2-3-4) come pure scrivere che Q1 +Q2 = Q3 ≡ Qp.
Si può ora procedere a scrivere una prima equazione di bilancio energetico per lacondotta che unisce il serbatoio A a quello B
λ1Q21
2gDA2(L1 + L5) +
λ3Q23
2gDA2(L3 + L4) = ∆Hp (5.20)
ed una seconda relativa alla sola maglia 2-3-4:
λ2Q222gDA2
L2 +λ3Q232gDA2
(L3 + L4) = ∆Hp (5.21)
Da queste due equazioni per sostituzione si può allora ottenere una sola equazione nellaforma
λ1Q212gDA2
(L1 +L5) =λ2Q222gDA2
L2 (5.22)
dove, stante l’ipotesi di moto assolutamente turbolente e le eguali caratteristiche di tuttele condotte del problema, λ1 = λ2. Inoltre, utilizzando il legame tra Q1 e Q2 fornito dallacontinuità, si può riscrivere
Q21(L1 + L5)
L2= (Qp −Q1)2 (5.23)
equazione la cui radice positiva fornisce Q1 = 0.01450 m3/ s. Si ottiene quindi Q2 =0.02050 m3/ s e, da una delle relazioni precedenti, il valore di ∆Hp. =13.594 m e il
corrispondente valore di potenza prelevata P=γQ∆Hp
η = 6.210 kW.
Esercizio 5. 11
Sia dato l’impianto di figura 5.16, costituito da tre condotti alimentati dai serbatoi dilivello zi costante, contenenti acqua a 20 ◦C. Valendo i dati riportati nella tabella
Condotta D L z1 0.20 1500 110, 02 0.20 1500 75, 03 0.30 1500 140, 0
CAPITOLO 5. CORRENTI IN PRESSIONE IN MOTO PERMANENTE 139
Figura 5.15:
Figura 5.16:
si chiede di determinare:
• Le portate circolanti in corrispondenza della condizione di funzionamento a tubi usati(ε = 0.001m) e a valvole completamente aperte;
• Le portate circolanti in corrispondenza della condizione di funzionamento a tubi nuovi(ε = 0.0001m) e a valvole completamente aperte;
• La perdita da indurre con le tre valvole per ottenere, in corrispondenza della con-dizione di funzionamento a tubi nuovi, le stessa distribuzione di portate del funzion-amento a tubi usati.
Tutti i dati sono espressi nel SI.Si tratta di un classico problema di verifica. In primo luogo si osserva che il verso del
flusso delle portate incognite è noto con eccezione della condotta che fa capo al serbatoiodi livello intermedio, 1. In tale condotta supporremo positiva la portata fluente verso ilnodo.
140 Marco Pilotti e Andrea Maranzoni - Esercizi di Idraulica
Con tale convenzione, in ipotesi di lunga condotta, il sistema risolvente è dato dalleequazioni seguenti corredate dalle 3 leggi di resistenza valide nei tre rami.
H1 − L1λ12gD1A21
Q1 |Q1| − K1
2gA21
Q1 |Q1| =HNH2 = HN − L2J2 −K2 Q2
2
2gA22
H3 −L3J3 −K3
Q2
3
2gA23
= HN
Q1 −Q2 +Q3 = 0
Si noti che la scrittura della equazione per la condotta 1 tiene automaticamente contodel verso effettivo della portata Q1. Infatti qualora la portata risulti negativa, l’equazioneassume la forma:
H1 +L1λ12gD1A21
Q21 +K12gA2
1
Q21 = HN
In definitiva, fissato il livello di chiusura delle valvole (K1, K2 e K3), il problemasi presenta nelle 7 incognite (Qi, λi, HN ) ed è quindi determinato dal sistema scritto,completato dalle opportune leggi di resistenza.
Come vedremo, tuttavia, non conviene risolvere il sistema in modo accoppiato. Talerisoluzione andrebbe nel caso condotta per via numerica, ad esempio con il metodo diNewton-Raphson. Conviene invece procedere disaccoppiando le tre condotte, dopo averfissato un valore di tentativo del carico incognito al nodo N. In questo modo, qualora levalvole siano totalmente aperte e valga l’ipotesi di lunga condotta, è immediato calcolareJi, λi e quindi Qi. In corrispondenza di ogni valore di HN si verifica quindi la continuità alnodo, apportando le opportune modifiche al carico in N qualora questa non sia soddisfatta.
5.0.1 Prima domanda:
Condotta L D ε ε/D A K1 1500.0 0.20000 0.001000 0.005000 0.031416 0.02 1500.0 0.20000 0.001000 0.005000 0.031416 0.03 1500.0 0.30000 0.001000 0.003333 0.070686 0.0
Fissato un valore di carico al nodo di tentativo secondo quanto sopra accennato, nellaipotesi di lunga condotta, si calcola J :
Ji =|HN − zi|Li
Essendo noto Di, dalla Colebrook-White si ricava subito λi, secondo quanto mostratonel problema ++. Questo procedimento, viene ripetuto per tutti e tre i rami che costi-tuiscono l’impianto, calcolando poi per ognuno la portata fluente mediante l’utilizzo dellaformula di Darcy-Weisbach. Si procede infine a verificare la continuità al nodo, modificandodi conseguenza HN fino a convergenza.
Un’ultima osservazione in merito al valore iniziale di HN . Appare opportuno partiredal valore del carico al serbatoio intermedio. In questo caso, infatti, il bilancio delle portate
CAPITOLO 5. CORRENTI IN PRESSIONE IN MOTO PERMANENTE 141
iniziali al nodo, nelle quali sarà evidentemente Q1 = 0, ci dirà subito se il valore successivodi HN è da cercare nell’intervallo (z1, z3) piuttosto che (z2, z1). Si riportano nel seguitoalcuni passi del procedimento risolutivo tratteggiato e la soluzione finale. Come si nota,già la prima iterazione mostra che nel ramo 1 la portata procede dal nodo N al serbatoio1.
Il valore finale del carico al nodo N è quindi 125, 65 m e le portate sono quelle riportatenelle tre righe corrispondenti.
5.0.2 Seconda domanda:
Il secondo quesito viene risolto in modo analogo al primo, ovviamente si adotta lascabrezza omogenea equivalente ε = 0.0001m. Partendo dal carico soluzione sopra deter-minato si perviene rapidamente alla soluzione, indicata in grassetto.
Come si nota, la diminuzione della scabrezza delle condotte a parità di carico ai serbatoi,implica un aumento della portata circolante ed una diminuzione della pressione al nodo.
5.0.3 Terza domanda:
Come si vede, all’inizio della propria vita operativa l’impianto consente il deflusso diuna portata diversa da quella di progetto, che è stata determinata al termine della verificaa tubi usati. Conseguentemente, per ristabilire le portate al valore desiderato anche nellacondizione di tubi nuovi si dovrà operare regolando le valvole presenti sui rami. Il problemaè quindi quello di determinare il livello di regolazione di queste valvole, quantificato dalvalore assunto dal coefficiente Ki.
Con le portate (e quindi i numeri di Reynolds) individuate in corrispondenza dellasituazione di funzionamento a tubi usati, si procede quindi a calcolare il coefficiente diresistenza per ciascun tubo con la scabrezza dei tubi nuovi ( ε = 0.0001m), calcolandoquindi la perdita di carico JL.
A questo punto, si osserva che non è più rispettata la congruenza dei carichi al nodoN , poichè il valore di HN risulta diverso per le tre condotte. La congruenza sarà impostaproprio determinando un opportuno valore delle perdite nelle valvole. La scrittura dellaequazione dell’energia per le tre condotte
H3 − L3J3 − K3Q
2
3
2gA23
= H1 + L1J1 +K1Q
2
1
2gA21
H3 − L3J3 − K3Q2
3
2gA23
= H2 + L2J2 +K2Q
2
2
2gA22
(5.24)
evidenzia che non tutte e tre le valvole sono in linea di principio necessarie. Potremmoad esempio decidere di non mettere la valvola sulla condotta 1 (K1 = 0), lasciando quindiil valore al nodo N al valore di 119, 5m. Conseguentemente, la perdita di carico ∆H daintrodurre sulle condotte 3 e 2 per ristabilire la congruenza energetica al nodo risulta paria
CAPITOLO 5. CORRENTI IN PRESSIONE IN MOTO PERMANENTE 143
1 2 3∆H 0 14, 757 11, 66K 0 66, 788 110, 7
cui corrisponde la costante K di perdita della valvola sopra riportata, essendo ∆H =KU2/2g.
Nella figura seguente si riportano le linee dei carichi a parità di portate nelle duecondizioni a tubi nuovi ed usati. In modo analogo a quanto mostrato si risolve il caso incui più di 3 condotte semplici convergono ad un nodo N .
Figura 5.17:
Con approccio simile si possono anche trattare casi come quello sotto mostrato.
Esercizio 5. 12 Nell’impianto in Figura 5.18 circola acqua a 20 ◦C. Esso è costituito daun invaso di monte di capacità V1 e con pelo libero a quota zM da cui si diparte una galleria
144 Marco Pilotti e Andrea Maranzoni - Esercizi di Idraulica
Figura 5.18:
di 1.95diametro Dg, lunghezza Lg, e scabrezza di Strickler ksg=84.3 m1/3 s−1 seguita dadue condotte in parallelo, ciascuna delle quali è costituita da due tronchi di lunghezzaL1 e L2, diametro rispettivamente D1 e D2 e scabrezza di Strickler ksc=100 m1/3 s−1.Ciascuna condotta sbocca in atmosfera con un ugello ben sagomato con asse a quota zVche consente, mediante regolazione di un otturatore, di variare la sua area terminale a.Si chiede di determinare come varia la potenza posseduta dal getto in funzione dell’area adell’ugello.
Dati numerici
V1 37 · 106m3 Dg 3.6 m Lg 4245 mzM 1816.9 m L1 2198 m L2 2189 mzV 398.7 m D1 2.3m D2 1.95 m
Tipologia: correnti in pressione in un circuito chiuso, in presenza di una pompa.
Svolgimento
La potenza posseduta dal getto effluente dall’ugello potrebbe venir sfruttata da unapossibile macchina ad azione. Per tale ragione risulta particolarmente interessante deter-minarne la sua variazione al variare del grado di apertura dell’otturatore. A tale proposito,detta Q la portatta derivata dall’invaso di monte, si osserva che la potenza complessiva deidue getti effluenti dagli ugelli è data dall’espressione
P = 2(γQ
2H) = γQ
U2
2g= γ
Q3
2gC2ca2
essendo Ccil coefficiente di contrazione associato al getto uscente dalla luce di area a. Ladeterminazione della potenza P passa quindi attraverso la determinazione della portata Qfluente nell’impianto, che può a sua volta ricavarsi dalla equazione di bilancio dell’ener-gia meccanica della corrente appplicata alla galleria e ad una delle due condotte, dove sisupponga che nelle condotte in parallelo la portata Q si divida in misura eguale
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