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ESERCIZI PRECORSO DI MATEMATICA

EQUAZIONI

1. cot 2x −10°( ) = 3

2. tan2 x = 3

3. 2 cos 2x − 45°( )+1= 0

4. sin x = sin2x

5. tan 180°− 2x( ) = tan −3x( )

6. 5− 2cos2 x − 4sin x = 2cos2 x

7. 3sin x − 3cos x = 0

8. 3cos x + sin x − 3 = 0

9. sin3x = sin 45°+ x( )

10. 6sin2 x −13sin x + 5= 0

11. 2 3 −3( ) tan2 x − 2 3− 3( ) tan x +3= 0

12. 2cos2 2x + cos2x = 0

13. 2sin2 x −3cos x = 0

14. 2sin 60°+ x( ) = 3cos x −1

DISEQUAZIONI

1. 9x2 −18x + 54x2 + 24x − 45

< 0

2. 19x2 −18x + 5

−2

3x2 −8x + 5≤

33x2 − 4x +1

3. x2 −8x +15 ≥ x − 2

4. x − x2 + 2x −3 > 0

5. log2 x >1− log2 x −1( )

6. log1/2 x2 − 5x + 6( ) < log1/2 x − 4( )

7. log3 2− x( ) < log3 2+ x( )− log3 x +1

8. log1/4 x2 − 4( ) < 0

9. log1/3 3− x( ) > log1/3 2x + 6( )

10. log2 x −3( ) > log4 5x −1( )

11. 3arctan x −π1+ log2 x

< 0

12.

5+ x2+ x

<12

1x−14>1

"

#$$

%$$

13.

1− x2− x

> 0

4x +1> 3 x + 12

"

#$

%

&'

9x − 6 x +1( )− 42x −8

>12

(

)

***

+

***

2

14. x2 + 3x −1>1

x2 − x +1 > 2

"

#$

%$

15.

1− x2− x

> 0

4x +1> 3 x + 12

"

#$

%

&'

9x − 6 x +1( )− 42x −8

>12

(

)

***

+

***

16. 2sin2 x −3sin x +1> 0

17. x − b( ) x + 2b( ) > 02x + b( ) x − 2b( ) > 0

"#$

%$

18. x + 2 > 36+ x

19. 212!

"#$

%&2 x

− 7 12!

"#$

%&x

+3< 0

20. x2 −3ax + 2a2 ≥ 02x2 + ax − a2 ≤ 0

$%&

'&

21. x + 2x2 +1> 0

22. x − 2 + x2 − 4 > 0

23. 2x −1+ x − 2 >1

24. 2x + 54x − 2

−x −11− 2x

≤23

25. sin x 2cos x −1( ) > 0

26. 2sin2 x >1

27. 3 − 2sin x( ) 2sin x −1( ) < 0

28. sin xcos x +1

≥ 0

29. log2 x −1( )+ log2 x +1( ) > 3

30. tan2 x −3sin x

< 0

31. x2 − 2x + x2 >1

32. sin x + 3sin x

≥ 3

33. 1− 2 sin x2sin x +1

> 0

34. 2sin x <1+ sin x

35. 4sin2 x −3 >1+ 2sin x

36. x −1( ) ln x +1( )

x − 2> 0

37. log1/3 x

2 −1( ) >1

38. x2 − x − 6 −3x < 2

39. sin x + cos x3− 4cos2 x

< 0

40. 22 x − 22+x +3< 0

41. 3arccos 2x −3x2( ) < 2π

42. 3 1− x( ) < 2x +12x − 6 > 5x − 2

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%$

43. ln2 x − 7ln x +12 < 0

44. 3x − x2 − x > 2

3

45. sin x + 3cos x2sin2 x −1

> 0

46. log1/e

2 x − 5log1/e x + 4 < 0

47. 6arcsin 2x2 − 7x + 4( ) > π

48. 2sin x − 3sin x

< 0

49. cos2 x −3cos x + 2 ≤ 0

50. 3arctan x2 −1( ) > −π

51. 2x +1x −3

< 2

52. tan x > 1

3

cos x > 12

!

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APPLICAZIONE EQUAZIONE DI SECONDO GRADO

1. Data l’equazione 2k −1( ) x2 + 2k −1( ) x − k + 5= 0 stabilire per quali valori di k le radici sono reali.

2. Stabilire per quali valori di a l’equazione 3− 2a( ) x2 + 3a−10( ) x + 2a+8 = 0 ha radici reali che verificano la condizione x1 + x2 − x1x2 > 5 / 2 .

GONIOMETRIA

1. Calcolare i valori esatti delle funzioni goniometriche dei seguenti archi: § 105° osservando che 105° = 60° + 45° § 15° osservando che 15° = 45° - 15° § 75° osservando che 75° = 60° + 15° § 27° osservando che 27° = 45° - 18° § 63° osservando che 63° = 45° + 18° § 33° osservando che 105° = 18° + 15° § 78° osservando che 105° = 60° + 18°

2. Calcolare tan 30°+α( ) e tan 45°+α( ) sapendo che tanα =1/ 3 .

3. Noto che tanα = 3 e cosβ = 4 / 5

con 0 < β < 90°

calcolre tan α +β( ) e tan α −β( ) .

4. In un triangolo si ha cosβ = −1/ 3

e cosγ = 2 / 3

. Calcolare le funzioni del terzo angolo.

CAMPI DI ESISTENZA

4

1. ( ) ( ) 22 arcsin

24xxxxf −=

2. ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−−= 1

37ln2

2

2x

x

xxxxf

3. ( ) ( )42ln 2 −−−= xxxxf

4. ( ) ( ) ( )1arccoslg1 22

3/1 −−+= xxxxf

5. ( ) ( ) xeexf xx arcsincoslnsin +−=

6. ( ) ( )ee

xxfx −

+=

−1

21ln

7. f x( ) =ln 4arctan x +π( )ln x2 − 4( )

8. f x( ) = log1/2 2sin

2 x −1( )

9. f x( ) = logπ /2 2arcsin x( )−1

10. f x( ) = 1− tan x2cos x −1

11. f x( ) =3tan2 x

2−1

cos x − sin x +1

12. f x( ) = cos x 1− 2sin2 x( )

13. ( ) ( )1arcsin1ln 2

−

+=

xxxf

14. ( )( )

( )1lnarcsin1

21

+−

=+

xexfx

15. ( ) ( )1ln 2 +−−= xxxxf

16. ( ) ( ) xxxxxf

arcsin2 1+−−=

17. ( ) ( )( ) 4/4arctan

2

2

6lnπee

xxfx −

−=

−

18. ( ) ( ) ( )π+= xxxf arcsin2lnlnarcsin

19. ( ) ( ) ( )1coshlnarcsin6 3 −+−= xxxf π

20. f x( ) = 6arccos x −1( )−π

21. f x( ) = ln 9x −8 ⋅3x − 9( )

22. f x( ) = 12− log2

2 x

23. f x( ) = ex

x2+x+1

24. f x( ) = arcsin 3x −1( )

GEOMETRIA ANALITICA

1. Calcolare il punto medio dei lati di un triangolo i cui vertici sono di coordinate (1, 2), (1, 1) e (-1, 3).

2. Calcolare l’equazione della retta passante per il punto (1, 2) e parallela alla retta 2x −3y+1= 0 .

3. Calcolare l’equazione della retta passante per il punto (-1, 3) e perpendicolare alla retta 2x −3y+1= 0 .

4. Calcolare l’equazione della retta passante per i punti (1, 2) e (-1, 3). 5. Calcolare il valore del parametro k affinché dal fascio di rette di equazione

kx − 3− k( ) y+1= 0 si individui la retta parallela all’asse delle ascisse e quella parallela all’asse delle ordinate.

6. Calcolare la distanza del punto di coordinate (2, -3) dalla retta passante per l’origine e per il punto (5, -6).

5

7. Calcolare l’equazione della parabola di vertice (1, 1) e passante per il punto (-1, 2). 8. Calcolare l’equazione della parabola passante per i punti (0, -1), (1, 1) e (2, -2). 9. Determinare le tangenti alla parabola di equazione y = −x2 +3x − 4 e passanti per il punto

(3, 4). 10. Determinare l’equazione della circonferenza di centro (1, 3) e raggio pari a 2. 11. Determinare l’equazione della circonferenza passate per i punti (0, 0), (1, 0) e (3, 4). 12. Condurre dal punto (-3, -2) le tangenti alla circonferenza di raggio 1, passante per il punto

− 22 ,

22

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%&' e centro sulla retta 2y− x = 0 .

13. Calcolare l’equazione della tangente alla parabola di equazione y = x2 + 2x −1 nel punto P0 di ascissa x0 = 1 e disegnarne i grafici.

14.

VETTORI

1. Dato un vettore a = (-1, 3, 2). Calcolare il modulo e l’angolo formato dal vettore con l’asse

z.

2. Calcolare il modulo della proiezione del vettore a = (1, -3, 2) nel piano xy e l’angolo

formato dalla proiezione con l’asse y.

3. Il vettore a di modulo a = 10 forma un angolo di 60° con l’asse z e la sua proiezione nel

piano xy forma un angolo di 45° con l’asse x. Calcolare le componenti di a lungo i tre assi

coordinati.

4. Dati due vettori a = (-1, 0, 3) e b

= (2, 1, -1). Calcolare il vettore risultante ba

+ e b3-a .

5. Dati tre vettori a , b

e c tali che siano soddisfatte le seguenti proprietà: bac

+= , e

bac

+= . Cosa possiamo affermare circa la mutua posizione dei tre vettori? E se la

proprietà tra i moduli fosse 222 bac

+= ?

6. Dati due vettori a , b

tali che baba

−=+ . Quale proprietà soddisfa il vettore b

?

7. Dati due vettori a e b

di modulo a = 2 e b

= 4. Determinare il modulo del vettore

bac

+= sapendo che l’angolo compreso tra i vettori è 45°.

8. Dati due vettori a = (-1, 0, 3) e b

= (2, 1, -1), calcolare il prodotto scalare ba⋅ ed il

prodotto vettoriale ba

× e ab × .

9. Dati i vettori a = (-1, 0, 0), b

= (1, 1, -1) e c = (-1, 1, 3), calcolare )cb(a ×⋅ .

10. I vettori a e b

, appartenenti al piano yz (con y, z > 0), hanno lo stesso modulo ( a = b

=

5) ma formano con l’asse z, rispettivamente un angolo di 30° e 60°. Calcolare le componenti

del vettore ba

+ e ba

− .

6

11. Dati il vettore a = (-1, 0, 3) ed una famiglia di vettori b

= (2, 1, k) con k ε R. Calcolare k

tale che b

sia ortogonale ad a . Per quale valore di k il modulo di ba

× ha un estremo.

12. Calcolare l’angolo compreso tra i vettori a = (-1, 0, 3) e b

= (0, 1, 3).

13. Dato il vettore a = (-1, -5, 0) calcolare l’angolo formato tra a e l’asse x.

14. Un vettore a di modulo 5 è diretto verso est, mentre un vettore b

di modulo 4 è diretto

verso nord-ovest. Calcolare i vettori ba

+ e ba

− ed i rispettivi moduli.